四川省仁寿县第一中学北校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省仁寿县第一中学北校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数y=2024−8x3的导数y'=( )
A. 32024−8x2 B. −24x
C. −242024−8x2 D. 242024−8x2
2. 若曲线y=x+1x上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是( )
A. −∞,−1B. −1,1C. −∞,1D. 1,+∞
3. 已知f'x是fx的导函数，且f'1=3,则( )
A. 3B. −6C. 6D. −32
4. 已知fx=14x2+sinπ2+x,f'x为fx的导函数，则f'x的大致图象是( )
A. B. C. D.
5.若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26B．23C．15D．11
6．函数在处取极小值，则（）
A．6或2B．或C．6D．
7.已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分．
9.下列求导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数取得极小值
C．函数在区间内单调递增
D．当时，函数有极小值
11．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（ ）
A.B．3C.2D．4
12．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立 B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为
D．时.有唯一零点且
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知点P是曲线上的点，且点P的横坐标是2，求在点P处的切线方程为
14. 已知函数fx=x2+f0⋅x−f'0⋅csx+2,其导函数为f'x,则f'0=__________
15．函数的单调递减区间为
16．若对区间D上的任意都有成立，则称为到在区间D上的“任性函数”，已知，若是到在上的“任性函数”，则的取值范围是____________
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设函数
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
18.已知函数
(1)当时，求的最小值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
20．已知函数，若的图象在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)如果在区间上是增函数，求实数的取值范围．
21．已知函数 ．
(1)当时，函数满足，求实数的取值范围。
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
22．已知函数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．数学答案
1.[解析]选C .y′=32024−8x2×2024−8x′
=32024−8x2×−8=−242024−8x2 .
2.[解析]选C .y=x+1x 上任意一点Px0,y0 处的切线斜率为k=y′|x=x0=limΔx→0x0+Δx+1x0+Δx−x0+1x0Δx=limΔx→01−1x02+x0Δx=1−1x02<1
.即k<1 .
3.[解析]选B .因为f′1=3 ,所以limΔx→0f1−f1+2ΔxΔx
=limΔx→0−2[f1+2Δx−f1]2Δx
=−2limΔx→0f1+2Δx−f12Δx=−2f′1=−6 ,
故选B .
4.[解析]选A .因为fx=14x2+sinπ2+x=14x2+csx ,所以f′x=12x−sinx .
易知f′x=12x−sinx 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D .
由f′π6=π12−12<0 ,排除C ，故选A .
5．D
【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.
【详解】解：因为，
所以，由，解得或（舍去），
所以切点为，
因为切点在切线上，解得，
所以切线方程为，
设切点为，
由题意得，解得，
所以，
故选：D
6.【答案】D
【分析】
先求导数，根据求得，再代入验证是否满足题意.
【详解】
或
当时，，
当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去；
当时，，
当时，当时，函数在处取极小值，
故选：D
【点睛】
本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．A
【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得．
当时，得或，当时，，
可得函数的单调增区间为，．减区间为，
即时，函数取得极小值，

当时，即，
解得或，
故要使函数在区间上存在最小值，
需有，解得，
即实数a的取值范围为
故选：A．
8.【答案】B
【解析】设，
，即，
所以函数是偶函数，
并且，所以函数在单调递减，
，，
，
因为，所以，
即.
故选：B
多选
9．BCD
【分析】根据导数的运算法则依次判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确；
对于，故C正确；
对于，故D正确.
故选：BCD.
10.【答案】BC
【解析】
对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；
对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，故D不正确.
故选：BC
11．AB
【分析】
利用导函数判断的单调区间进行求解即可.
【详解】的定义域为，所以，A错误；
由题意可得，令解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为在区间上不单调，所以，即，
选项B：当时，，正确；
选项A：当时，，
所以，正确；
选项D：当时，，错误；
故选：AB
12．CD
【分析】对于AB,将和代入，判断函数的单调性，即可求解，对于D，将代入，利用零点存在性定理判断即可；对于C，将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解.
【详解】对于A，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,，故A错误；
对于B，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误；
对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，
令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确，
对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，
又，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确；
故选：CD．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
填空
13.[解析]或
14.[解析]选BC .因为fx=x2+f0⋅x−f′0⋅csx+2 ,
所以f0=2−f′0 .
因为f′x=2x+f0+f′0⋅sinx ，
所以f′0=f0 .故f′0=f0=1 .
15.[解析]
16【详解】由题意，对区间D上的任意都有成立，即对上的任，都有.由，
设，
因此在上单调递增，；
由，
设，
因此在上单调递减，在上单调递增，
即是的极小值点，也是最小值点，
故.综上，
解答题
17．
【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间；
（2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．
【详解】（1）函数的导数为．
令，解得，．
由，得，即的单调递增区间为，
由，得或，即的单调递减区间为，．
的极大值点，极小值点．
（2）列表
当x变化时，，的变化表为：
当时，，
当时，，
当时，．
∴在区间上的最大值为63，最小值为0
18.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）当时，，则
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故．
（2）由题意可得．
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故．
因为不等式恒成立，所以，解得．
当时，，不符合题意．
综上，a的取值范围是．
19.【答案】（1） （2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元
【解析】
（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.
依题意得，当时，，
当时，，
；
（2）当时，，
当时，的最大值为（万元），
当时，，
当时，单调递增，当单调递减，
当时，取最大值（万元），
当时，取得最大值万元，
即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.
20．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为对恒成立求解即可．
【详解】（1）的图象在点处的切线方程为，
又，，即①，
又，即切点为，代入得②，
联立①②得：．
（2）在上是增函数，
则对恒成立，
即对恒成立，
又在上为增函数，
则在上为增函数，
则，
∴实数的取值范围是．
21．(1)单调递增区间为
(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
当时， ，
当时，，，
当时，，
恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
故
（2）
当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
22．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）令，；
令，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，．
要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．
则，即实数的取值范围为．
（2），；
设，；
设，，则在上单调递增.
又，.，使得，即，.
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减.
.
设，.
当时，恒成立，则在上单调递增，
，即当时，.
当时，关于的不等式在上恒成立.x
0
－
0
＋
极小值