2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷02）（解析版）

这是一份2024年高考第二次模拟考试：数学（新高考Ⅱ卷02）（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，若抛物线等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限，故选:A.
2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
且，解得：，即的取值范围为，故选：D.
3．若，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，
则，故选：B.
4．在等比数列中，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，，且，
则，故选：D
5．要从10名女护工和5名男护工中选出6名护工组成抗击疫情医疗支援小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此医疗支援小组的方法总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】一共15人，选出6人，根据分层抽样方法，女生、男生各抽取：（人），（人）．所以组成此小组的方法总数为，故选：A
6．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A．，b＝0B．
C． D．，
【答案】B
【解析】因为偶函数的定义域为，
所以，解得，所以，
由偶函数定义得，所以，即，
所以，故，故选：B.
7．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，则在上恒成立，
所以，在上恒成立，设函数，则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围是，故选：D.
8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】椭圆的半焦距，则，设点，
于是，消去得，
所以的面积，故选C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB＝BC，则（ ）

A．三棱锥S-ABC的体积为12B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为14πD．该圆锥的母线长为5
【答案】ABD
【解析】对于A项，由题意可得是等腰直角三角形，由AC=6可得，即，故A正确；
对于B项，由圆锥体积公式可得，故B正确；
由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA=，故D正确；
则C项，由圆锥的表面积公式可得，故C错误.
故选：ABD
10．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（ ）
A．到直线的距离为B．的面积为
C．的垂直平分线过点D．以为直径的圆过点
【答案】BC
【解析】对A，易知抛物线的焦点，直线即为，
故到直线的距离为，故A错误；
对B，设直线方程为，代入，
得，解得，则直线方程为
联立抛物线方程，解得或，
因为点在第一象限，故取，即，
则，故B正确，
对C，根据抛物线定义得，则的垂直平分线过点，故C正确，
对D，，，故以为直径的方程为，
将点代入左边得，故D错误.
故选：BC.
11．已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．一定有两个极值点D．一定存在单调递减区间
【答案】BCD
【解析】函数定义域为R，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，符合题意，
则，A不正确，B正确；函数在处取得极大值，一定有两个极值点，C正确；
一定存在单调递减区间，D正确.
故选：BCD
12．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（ ）
A．该棋手三盘三胜的概率为0.12
B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4
C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26
D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大
【答案】ACD
【解析】对于A，棋手胜三盘的概率为，故A正确；
对于B，棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件，
其概率为，故B错误；
对于C，连胜两盘事件的概率为，故C正确；
对于D，第2盘与甲比赛连胜两盘的概率，
第2盘与乙比赛连胜两盘的概率，
第2盘与丙比赛连胜两盘的概率，
因此，故D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，为两个互相垂直的单位向量，则 .
【答案】
【解析】因为，为两个互相垂直的单位向量，
所以
所以，
14．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于棱锥底面且距离底面长度为3的平面去截棱锥，所得棱台的体积为 .
【答案】28
【解析】如图，由题意可得.
因为，所以，
解得，
则，，，
所以.
15．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点.当的面积最大时，实数的值为 ．
【答案】或
【解析】由，
则圆心，，
点到直线的距离，
由弦长公式，
，
设，则，
当时，，
此时，即，
，解得或.
16．如图是函数的部分图像，A是图像的一个最高点，D是图像与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且，的面积等于．则的解析式为 ．
【答案】
【解析】由图像可知，的最大值为，又，所以，
因为的面积等于，所以，则，
所以，即，得，又，故，
将代入，得，即，
因为，所以，
所以.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本小题满分10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若，为AB的中点，求CD的取值范围．
【解析】（1）若选①，
，
∵；
若选②，，
∵；
若选③
∵，
而.
（2）
如图所示，设，则，，，
∵是锐角三角形，∴，
，当时取得最小值，故.
18．（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
19．（本小题满分12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品.现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.
（1）将表示为的函数，求出该函数表达式；
（2）根据直方图估计利润不少于57万元的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.
【解析】（1）当时，；
当时，，
所以，；
（2）根据频率分布直方图及（1）知，
当时，由，得，
当时，由
所以，利润不少于57万元当且仅当，
于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为
，
所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为0.7；
（3）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为
（吨）
由频率分布直方图易知，
由于时，对应的频率为，
而时，对应的频率为，
因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间，于是估计中位数应为（吨）.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面底面，且.
(1)证明：.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）证明：取的中点，连接.
因为，所以.
又，所以.
又，所以为正三角形，所以.
因为在平面内相交，所以平面.
又平面，所以.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
由题可知，平面的一个法向量为.
设平面和平面所成的锐二面角为，
则.
21．（本小题满分12分）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
22．（本小题满分12分）已知函数．
(1)当为函数的极值点时，求函数的单调区间．
(2)当时，求证：．
【解析】（1）的定义域为，
，
若为函数的极值点，则，解得，
当时，，，
令，则，
∴在区间上单调递增，
∵，
∴当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
∴当时，为函数的极小值点，满足题意，
即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，
设，，
则，易知在上单调递增，
又∵，，
∴，使，（即），
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，，
当时，，∴，
∴，，
∴当且时，，原命题得证.