2024七年级数学下册第3章因式分解全章热门考点整合应用习题课件新版湘教版

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全章热门考点整合应用本章的主要内容是因式分解，难点是运用提公因式法和公式法进行因式分解，其主要考点可概括为一个概念、两个方法、三个应用、四个技巧和一种思想.考点1 一个概念——因式分解1.(母题：教材P56例1)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　C　)C考点2 两个方法方法1提公因式法2.[2023·苏州]因式分解：a2＋ab＝ ⁠.a(a＋b)　(1)x2y－xy2，其中x－y＝1，xy＝2 025；【解】x2y－xy2＝xy(x－y).当x－y＝1，xy＝2 025时，原式＝xy(x－y)＝2 025.3.[2023·郴州二中模拟]求下列代数式的值：  (3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.【解】a2b＋2a2b2＋ab2＝ab(a＋2ab＋b)＝ab[(a＋b)＋2ab].当a＋b＝3，ab＝2时，原式＝ab[(a＋b)＋2ab]＝2×(3＋2×2)＝14.方法2 公式法4.把下列各式因式分解：(1)[2022·济南]a2＋4a＋4；【解】原式＝(a＋2)2.(2)[2023·张家界]x2y＋2xy＋y；原式＝y(x＋1)2.(3)(m2＋4m)2＋8(m2＋4m)＋16；【解】原式＝[(m2＋4m)＋4]2＝[(m＋2)2]2＝(m＋2)4.(4)81x4－y4.原式＝(9x2－y2)(9x2＋y2)＝(3x＋y)(3x－y)(9x2＋y2).5.对于任意自然数n，代数式(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？【解】(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1).因为n为自然数，24(n＋1)中含有24这个因数，所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除.【解】(n＋7)2－(n－5)2＝＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1).因为n为自然数，24(n＋1)中含有24这个因数，所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除.考点3 三个应用应用1 应用因式分解解决整除问题应用2 应用因式分解解决几何问题6. [新考法 学科内综合]已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状.【解】因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b).所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－b)(a＋b－c)＝0.因为a，b，c是三角形ABC的三边长，所以a＋b－c＞0.所以a－b＝0.所以a＝b.所以三角形ABC为等腰三角形.应用3 应用因式分解进行简便计算7.计算：5.69×512－5.69×492.【解】原式＝5.69×(512－492)＝5.69×(51＋49)×(51－49)＝5.69×100×2＝1138.考点4 四个技巧技巧1 巧用乘法公式计算8.[2023·扬州三中二模]已知a，b满足｜a2＋b2－10｜＋(a－b－2)2＝0.(1)求ab的值；【解】因为｜a2＋b2－10｜＋(a－b－2)2＝0，｜a2＋b2－10｜≥0，(a－b－2)2≥0，所以a2＋b2－10＝0，a－b－2＝0，所以a2＋b2＝10，a－b＝2，所以－2ab＝(a－b)2－(a2＋b2)＝22－10＝－6，所以ab＝3.(2)先化简，再求值：(2a－b)2－(a＋2b)(a－b).【解】(2a－b)2－(a＋2b)(a－b)＝4a2－4ab＋b2－(a2＋2ab－ab－2b2)＝4a2－4ab＋b2－a2－2ab＋ab＋2b2＝3a2＋3b2－5ab＝3(a2＋b2)－5ab＝3×10－5×3＝15.技巧2 先分组再分解9.因式分解：(1)x3＋2x2y－9x－18y；【解】原式＝x2(x＋2y)－9(x＋2y)＝(x＋2y)(x2－9)＝(x＋ 2y)(x＋3)(x－3).(2)xy2－x－y2＋1.原式＝(xy2－x)－(y2－1)＝x(y2－1)－(y2－1)＝(y2－ 1)(x－1)＝(y－1)(y＋1)(x－1).技巧3拆项后用公式法10. [新考法 阅读类比法]阅读下面的材料：将一个多项式因式分解的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实因式分解的方法还有拆项法等.拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).请你仿照以上方法，因式分解：(1)x2－6x－7；【解】原式＝x2－6x＋9－16＝(x－3)2－42＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7).(2)a2＋4ab－5b2.原式＝a2＋4ab＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b).技巧4 换元法11.因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.【解】令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式得，原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.考点5 一种思想——整体思想12.[2023·凉山州]已知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2 027的值等于 ⁠.因为x2－2x－1＝0，所以x2－2x＝1，所以3x3－10x2＋5x＋2 027＝3x(x2－2x)－4(x2－2x)－3x＋2 0272023　【点拨】＝3x×1－4×1－3x＋2 027＝3x－4－3x＋2 027＝2 023.13.已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值.【解】因为x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，所以原式＝72＋2×10＝69.