2024七年级数学下册第3章因式分解练素养2因式分解的八种常见应用习题课件新版湘教版

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练素养　2.因式分解的八种常见应用集训课堂应用1 简便计算1.(母题：教材P69复习题T5)利用因式分解计算：(1)1012＋492＋101×98；【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22 500.(2)8002－1 600×798＋7982.原式＝(800－798)2＝22＝4.集训课堂应用2 化简求值2.[2023·十堰]若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是 ⁠.6　  (2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值.【解】原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.当x－y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2.应用3 判断整除4.[2023·河北]若k为任意整数，则(2k＋3)2－4k2的值总能(　B　) (2k＋3)2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3(4k＋3)，因为k为任意整数，所以(2k＋3)2－4k2的值总能被3整除，故选B.B【点拨】5.当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由.【解】能被4整除.理由如下：因为(n＋1)2－(n－1)2＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n，所以当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除.6. [新考法 阅读类比法]先阅读材料，再解答问题.材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除.所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.(1)[类比思考](x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能被 整除，所以 是x2＋5x＋6的一个因式，且当x＝ 时，x2＋5x＋6＝0；x＋2或x＋3　x＋2或x＋3　－2或－3　(2)[拓展探究]根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能被x ＋2整除，试求m的值.【解】因为x2＋mx－14能被x＋2整除，所以当x＝－2时，x2＋mx－14＝0.所以(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.应用4 判断正负7.若a，b，c为三角形的三边长，试说明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负.【解】(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c).因为a，b，c为三角形的三边长，所以a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0，所以(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0，故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负.应用5 比较大小8. [新考法 作差法]已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小.【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.因为(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，所以P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1，所以P＞Q.应用6 判断三角形的形状9.[2023·衡阳华新实验中学模拟]已知a，b，c为三角形ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac.试判断三角形ABC属于哪一类三角形.【解】因为b2＋2ab＝c2＋2ac，所以(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.所以(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.所以(b－c)(b＋c＋2a)＝0.因为a，b，c为三角形ABC的三条边的长，所以b＋c＋2a＞0，所以b－c＝0，即b＝c.所以三角形ABC是等腰三角形. (1)用配方法因式分解：x2＋2x－8；【解】x2＋2x－8＝x2＋2x＋1－1－8＝(x＋1)2－9＝(x＋1＋3)(x＋1－3)＝(x＋4)(x－2).(2)求多项式x2＋4x－3的最小值； 【解】因为a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，所以a2＋b2＋c2＋50－6a－8b－10c＝0，所以a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25－9－16－25＋50＝0，所以(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，所以a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5，因为3＋4＋5＝12，所以三角形ABC的周长为12.(3)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2 ＋50＝6a＋8b＋10c，求三角形ABC的周长.应用8 探究规律11. [新考法 规律探究法]观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32；22＋(2×3)2＋32＝49＝72；32＋(3×4)2＋42＝169＝132；……你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由.【解】规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.理由如下：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝[n(n＋1)＋1]2.