2022-2023学年安徽省滁州市定远二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省滁州市定远二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2+3x+2≥0}，集合B={y|y=1−2x,x≤1}，则∁AB=( )
A. (−∞,−2]B. (−∞,−2]∪[1,+∞)
C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪[1，+∞)
2.函数y=x 2x−1的定义域为( )
A. (0,+∞)B. [12,+∞)C. (0,12)D. (12,+∞)
3.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,3)，则2a+b=( )
A. (4,−2,6)B. (−8,4,6)C. (0,0,9)D. (−2,1,6)
4.(x−1)10的二项展开式中，二项式系数最大的项是第项．( )
A. 6B. 5C. 4和6D. 5和7
5.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图(图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩)，则下列说法不正确的是( )
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
6.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cs(x+3π2)，则下列结论中正确的是( )
A. 函数y=f(x)⋅g(x)的周期为2
B. 函数y=f(x)⋅g(x)的最大值为1
C. 将f(x)的图象向左平移π2个单位后得到g(x)的图象
D. 将f(x)的图象向右平移π2个单位后得到g(x)的图象
7.已知函数f(2x+1)的定义域为[−2,2]，函数g(x)=f(x2−3)的定义域为( )
A. [−2 2,2 2]B. [0,2 2]
C. [−2 2,0)∪(0,2 2]D. [−2 2,−1]∪[1,2 2]
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=3|F2B|，|AB|=2|AF1|，且△ABF1的面积为4 15，则椭圆C的方程为( )
A. x225+y215=1B. x225+y210=1C. x210+y26=1D. x210+y24=1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1、F2分别是以y=±34x为渐近线且过点A(4 2,3)的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点P(x0,y0)(x0>4,y0>0)处的切线l交x轴于点Q，则( )
A. 双曲线C的离心率为 74
B. 双曲线C的方程为x216−y29=1
C. 过点F1作F1K⊥PQ，垂足为K，则|OK|=8
D. 点Q的坐标为(16x0,0)
10.杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时36min，样本方差为36；骑自行车平均用时35min，样本方差为4，假设坐公交车用时X(单位：min)和骑自行车用时Y(单位：min)都服从正态分布，正态分布N(μ,σ2)中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则( )
A. P(X≤25)41)
C. P(Y≤30)b>0)，A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q.若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论；
(3)记△APQ的面积为S，求S的最大值．
19.(本小题12分)
已知点P(t,−t−1)，圆C：(x−3)2+y2=4．
(1)判断点P与圆C的位置关系，并加以证明；
(2)当t=5时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(3)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，求点P横坐标的取值范围．
20.(本小题12分)
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型“”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X−Y|，求E的分布列及数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
21.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D是AB的中点，AA1=A1C，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为45°．
(1)求证：BC1/​/平面A1CD；
(2)求二面角B−A1C−C1的余弦值．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率为2，A1，A2分别是左、右顶点，点M是直线x=1上一点，且满足3tan∠MA1A2=tan∠MA2A1，直线MA1，MA2分别交双曲线右支于B，C两点.记△MA1A2，△MBC的面积分别为S1，S2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求S1S2的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由A中不等式变形得：(x+1)(x+2)≥0，
解得：x≤−2或x≥−1，即A=(−∞,−2]∪[−1,+∞)，
与B中y=1−2x，x≤1，得到1>y≥−1，即B=[−1,1)，
则∁AB=(−∞,−2]∪[1,+∞)．
故选：B．
求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，根据全集A求出B的补集即可．
此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得：2x−1>0，解得x>12，
故y=x 2x−1的定义域为(12,+∞)．
故选：D．
由分式和偶次根式有意义的基本要求可得不等式，解不等式可求得定义域．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a=(2,−1,3)，所以2a=(4,−2,6)，又b=(−4,2,3)，所以2a+b=(0,0,9)．
故选：C．
根据空间向量的坐标运算公式求解即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：展开式中共有11项，
据展开式中中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数最大，
故选：A．
直接根据展开式中间项的二项式系数最大得出第6项的二项式系数最大．
本题考查二项式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩进行排序，又6×25%=1.5，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90(分)，
将乙成绩进行排序，又6×75%=4.5，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90(分)，
从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；
甲成绩均集中在90(分)左右，而乙成绩大多数集中在60(分)左右，故C正确．
故选：B．
分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案．
本题主要考查方程、极差、百分位数的定义，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式和平移变换问题，是基础题．
将函数f(x)，g(x)根据两角和与差的三角函数公式化简，再求出f(x)⋅g(x)的解析式，
得到f(x)⋅g(x)的最小正周期和最大值，判定A、B正误；
依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证对错．
【解答】
解：f(x)=sin(x+π2)=sinxcsπ2+csxsinπ2=csx，
g(x)=cs(x+3π2)=csxcs3π2−sinxsin3π2=sinx，
对于A，函数y=f(x)⋅g(x)=sinxcsx=12sin2x，周期为T=2π2=π，A错误；
对于B，函数y=f(x)⋅g(x)=12sin2x的最大值是12，B错误；
对于C，将f(x)的图象向左平移π2个单位后，
得到y=cs(x+π2)=csxcsπ2−sinxsinπ2=−sinx≠g(x)，C错误；
对于D，将f(x)的图象向右平移π2个单位后，
得到y=cs(x−π2)=csxcsπ2+sinxsinπ2=sinx=g(x)，D正确．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：因为函数f(2x+1)的定义域为[−2,2]，
所以−2≤x≤2，所以−3≤2x+1≤5，
所以−3≤x2−3≤5，解得−2 2≤x≤2 2，
所以函数g(x)=f(x2−3)的定义域为[−2 2,2 2]．
故选：A．
函数的定义域都是x的取值范围，根据函数f(x)的结构特点确定函数的定义域．
本题考查抽象函数的定义域问题，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设|BF2|=m，则|AF2|=3m，|AB|=|AF2|+|BF2|=4m=2|AF1|，则|AF1|=2m，
由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2m+3m=5m=2a，
所以m=25a，
所以|AF2|=65a，|AF1|=45a，|AB|=85a，
|BF1|=2a−|BF2|=2a−m=2a−25a=85a，
在△ABF1中，cs∠F1AB=|AB|2+|AF1|2−|BF1|22|AB|×|AF1|=(8a5)2+(4a5)2−(8a5)22×8a5×4a5=14，
则∠F1AB∈(0,π2)，所以sin∠F1AB= 1−cs2∠F1AB= 154，
在△AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|cs∠F1AF2，
即4c2=(4a5)2+(6a5)2−2×4a5×6a5×14，
整理可得5c2=2a2，
因为三角形ABF1的面积为4 15，
故12|AF1||AB|sin∠F1AB=4 15，
即12×4a5×8a5× 154=4 15，
得a2=25，
所以c2=10，b2=a2−c2=25−10=15，
所以椭圆C的方程为x225+y215=1，
故选：A．
设|BF2|=m，则|AF2|=3m，|AF1|=2m，由椭圆的定义得m=25a，在△ABF1中，由余弦定理得cs∠F1AB=14，根据同角三角函数的平方关系得sin∠F1AB= 154，在△AF1F2中，由余弦定理得5c2=2a2，再结合△ABF1的面积为4 15，即可求出a2，进而得出椭圆的方程．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，由题意知a=4，b=3，所以双曲线方程为x216−y29=1，
由于c= 16+9=5，所以e=ca=54，A错误；
对于B，由上可知B正确；
对于C，当P点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为y=34x，
则直线F1K为y=−43(x+5)，联立二式解得x=−165，y=−125，此时|OK|= (165)2+(125)2=4，C错误；
对于D，将x216−y29=1变形为9x2−16y2=144，左右同时对x求导得18x−32yy′=0，
当x0>4，y0>0，y′=9x16y=9x16 9(x216−1)=34x x2−16，
所以P点切线方程为y−34 x02−16=34x0 x02−16(x−x0)，令y=0，解得x=16x0，D正确．
故选：BD．
求出双曲线的方程而后用P点坐标表示出P点切线方程即可．
本题主要考查双曲线有关性质，属中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：随机变量X的均值为E(X)=36，方差为D(X)=36，则X～N(36,36)，μ1=36，σ1=6，
随机变量Y的均值为E(Y)=35，方差为D(Y)=4，则Y～N(35,4)，μ2=35，σ2=2，
所以P(X≤25)