高考数学专题练 专题六解析几何 微专题35　直线与圆（含答案）

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典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2
B．若PA⊥PB，则实数a的值为－2
C．若|AB|＝2eq \r(2)，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0
D．弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
典例3 (1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”．据此请回答如下问题：
已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝________；若S＝1，则a的取值范围为________．
(2)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为( )
A．16＋8eq \r(3) B．8＋4eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
[总结提升]
解决圆的方程或弦长、面积等问题一般有两种方法，一是几何法，通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．二是代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，联立直线与圆的方程，利用弦长公式求弦长，进一步求面积等问题．
1．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq \f(3\r(2),4)，则实数a等于( )
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
2．(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
3．(2023·湛江模拟)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或eq \f(14,3)
C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)或eq \f(16,3)
4．(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
5．(2023·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq \r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C．[1,4] D．[1,7]
6．(2023·济南模拟)在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)．现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
7．(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )
A．线段AP长的最大值为6
B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq \r(6)
C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O
D.eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20
8．(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A．直线l1与圆C相切时k＝eq \f(4,3)
B．M到l1距离的最大值是2＋2eq \r(5)
C．直线l2被圆C所截的最短弦长为2eq \r(2)
D．|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(10)
9．(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝________.
10．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝________.
12．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是 __________.
专题六 解析几何
微专题35 直线与圆
[考情分析] 高考中，直线与圆的方程偶尔单独命题，此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现．直线与圆的方程综合命题时会有一定的深度，常常与圆锥曲线结合在一起以解答题的形式出现，难度中等偏上．
考点一 直线、圆的方程
典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ∵直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行，
∴a(a－3)－1×4＝0，解得a＝4或a＝－1，
当a＝4时，两直线分别为4x＋y＋4＝0,4x＋y＋9＝0，两直线平行，符合题意；
当a＝－1时，两直线分别为－x＋y－1＝0,4x－4y＋4＝0，即为x－y＋1＝0，x－y＋1＝0，
两直线重合，不符合题意，综上所述，a＝4.
故“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的充要条件．
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
答案 ACD
解析 对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))
解得m－2n＋3＝0，
所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，
所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－3|,\r(5))＝eq \f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，
当a＝0时，r＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)；当a＝6时，r＝eq \f(9,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故B错误；
对于C，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq \f(|a－2b＋3|,\r(5))，
解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；
对于D，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，
所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，
解得a＝b或a＝－b，当a＝b时，由题意可知eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq \f(3\r(5)＋1,4)或a＝b＝eq \f(3\r(5)－1,4)，
当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．
跟踪训练1 (1)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1,2)到直线l2的距离d等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 D
解析 ∵直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，
∴2×1－1×a＝0，解得a＝2，
∴点P(1,2)到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq \f(4\r(5),5).
(2)(2023·济南模拟)已知圆C1：x2＋y2＝2关于直线l对称的圆为圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，则直线l的方程为________________．
答案 2x－4y＋5＝0
解析 圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
由题意可知圆C1的圆心为C1(0,0)，圆C2的圆心为C2(－1,2)，
圆C1与圆C2关于直线l对称，
则两圆心C1，C2关于直线l对称．
＝eq \f(2－0,－1－0)＝－2，且C1，C2的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以直线l的方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即2x－4y＋5＝0.
考点二 直线、圆的位置关系
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
答案 ACD
解析 对于A，圆B的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆B的圆心坐标为(2,2)，故A正确；
对于B，圆A的圆心为A(0,0)，半径为r1＝1，圆B的半径为r2＝2，
圆心距为|AB|＝eq \r(2－02＋2－02)＝2eq \r(2)∈(1,3)，即|r1－r2|