高考数学专题练 专题四立体几何 微专题25　空间几何体（含答案）

这是一份高考数学专题练 专题四立体几何 微专题25　空间几何体（含答案），共26页。

典例1 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4eq \r(3)π
C．AC＝2eq \r(2)
D．△PAC的面积为eq \r(3)
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为________．
典例2 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km，山高为40eq \r(15) km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A．60 km B．12eq \r(6) km
C．72 km D．12eq \r(15) km
(2)(2023·黄山模拟)如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P－EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P－EFGH体积的最大值为( )
A.eq \f(32\r(10),3) B.eq \f(64\r(10),3)
C.eq \f(128\r(10),3) D.eq \f(256\r(10),3)
典例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3eq \r(3)，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(18，\f(81,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,4)，\f(81,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,4)，\f(64,3))) D．[18,27]
(2)(2023·南昌模拟)如图，在正四棱锥P－ABCD框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若∠APB＝eq \f(π,3)，且OP＝2，则球O的表面积为________．
[总结提升]
空间几何体在高考题中主要考查表面积、体积问题，常见题型求解思路有两种，一是对于规则的几何体直接使用公式法求解，二是将不规则的几何体分解成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积或体积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积或体积．
提醒：组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
1．(2023·深圳模拟)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为( )
A．384π B．392π C．398π D．404π
2．(2023·惠州模拟)如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为△A1B1C(如图2)，则容器的高h为( )
A．2eq \r(2) B．3 C．4 D．6
3．(2023·日照模拟)红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S＝2πRh.如图1，已知该灯笼的高为58 cm，圆柱的高为5 cm，圆柱的底面圆直径为14 cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为( )
A．1 940π cm2 B．2 350π cm2
C．2 400π cm2 D．2 540π cm2
4．(2023·娄底模拟) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，点D是棱AA1上的点，AD＝eq \f(1,4)AA1，若截面BDC1分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为( )
A．1∶2 B．4∶5
C．4∶9 D．5∶7
5．(2023·佛山模拟)科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．截至2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9 050 m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(参考数据：9.52≈90,9.53≈857,315×1 005≈316 600，π≈3.14)( )
A．9 064 m3 B．9 004 m3
C．8 944 m3 D．8 884 m3
6．(2023·西宁模拟)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，AB＝3，BC＝eq \r(3)，且四棱锥O－ABCD的体积为4eq \r(3)，则球O的表面积为( )
A．76π B．112π
C.eq \f(76\r(3)π,3) D.eq \f(224\r(7)π,3)
7.(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则( )
A．该圆台的高为1 cm
B．该圆台轴截面面积为3eq \r(3) cm2
C．该圆台的体积为eq \f(7\r(3)π,3) cm3
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm
8．(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
9．(2023·辽阳模拟)将3个6 cm×6 cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为3eq \r(2) cm的正六边形上，如图(2)所示．若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为________ cm3.
10．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
11.如图，在多面体ABCEF中，D为AB的中点，四边形CDFE为矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为________．
12．(2023·济宁模拟)l，l′为两条直线，α，β为两个平面，满足：l∩l′＝O，l与l′的夹角为eq \f(π,6)，α∥β，l⊥α，α与β之间的距离为2.以l为轴将l′旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O(点O在平面α与β之间)的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为V1，V2，则V1＋V2的最小值为__________．
微专题25 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一 表面积与体积
典例1 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4eq \r(3)π
C．AC＝2eq \r(2)
D．△PAC的面积为eq \r(3)
答案 AC
解析 依题意，∠APB＝120°，PA＝2，
所以OP＝1，OA＝OB＝eq \r(3).
A项，圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×1＝π，故A正确；
B项，圆锥的侧面积为π×eq \r(3)×2＝2eq \r(3)π，故B错误；
C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示，
则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，
则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，
故AD＝CD＝eq \r(3－1)＝eq \r(2)，
则AC＝2eq \r(2)，故C正确；
D项，PD＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，
所以S△PAC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝2，故D错误．
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为________．
答案 eq \f(7\r(6),6)
解析 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，
易知A1M为四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，
因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，
则A1O1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)×eq \r(2)A1B1＝eq \f(\r(2),2)，
AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)AB＝eq \r(2)，
故AM＝eq \f(1,2)(AC－A1C1)＝eq \f(\r(2),2)，
则A1M＝eq \r(AA\\al(2,1)－AM2)＝eq \r(2－\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)，
所以所求体积为V＝eq \f(1,3)×(4＋1＋eq \r(4×1))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(7\r(6),6).
跟踪训练1 (1)(2023·广州模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶eq \r(2) C．1∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶1
答案 C
解析 设圆锥和圆柱的底面半径为r，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长l＝2r，
则圆锥和圆柱的高h＝eq \r(4r2－r2)＝eq \r(3)r，
所以圆锥的侧面积S1＝πrl＝2πr2，
圆柱的侧面积S2＝2πr×h＝2eq \r(3)πr2，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为S1∶S2＝1∶eq \r(3).
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A．V3＝2V2 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
答案 CD
解析 如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.
设AB＝ED＝2FB＝2，
则AB＝BC＝CD＝AD＝2，
FB＝1.
因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，
所以FB⊥平面ABCD，
所以V1＝VE－ACD＝eq \f(1,3)S△ACD·ED＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AD·CD·ED＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3)，
V2＝VF－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·FB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AB·BC·FB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×1＝eq \f(2,3).
因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以ED⊥AC，
又AC⊥BD，
且ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.
因为OE，OF⊂平面BDEF，
所以AC⊥OE，AC⊥OF.
易知AC＝BD＝eq \r(2)AB＝2eq \r(2)，
OB＝OD＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(2)，
OF＝eq \r(OB2＋FB2)＝eq \r(3)，
OE＝eq \r(OD2＋ED2)＝eq \r(6)，
EF＝eq \r(BD2＋ED－FB2)
＝eq \r(2\r(2)2＋2－12)＝3，
所以EF2＝OE2＋OF2，所以OF⊥OE.
又OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE，
所以OF⊥平面ACE，
所以V3＝VF－ACE＝eq \f(1,3)S△ACE·OF
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AC·OE·OF
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(6)×eq \r(3)＝2，
所以V3≠2V2，V1≠V3，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1，
所以选项A，B不正确，选项C，D正确．
考点二 空间几何体的折展问题
典例2 (1)“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40 km，山高为40eq \r(15) km，B是山坡SA上一点，且AB＝40 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A．60 km B．12eq \r(6) km
C．72 km D．12eq \r(15) km
答案 C
解析 该圆锥的母线长为eq \r(40\r(15)2＋402)＝160(km)，
所以圆锥的侧面展开图是圆心角为eq \f(2×π×40,160)＝eq \f(π,2)的扇形，
如图为圆锥的侧面展开图，连接A′B，
由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A′B，A′B＝eq \r(SA′2＋SB2)＝eq \r(1602＋1202)＝200(km)，
过点S作A′B的垂线，垂足为H，
记点P为A′B上任意一点，连接PS，当上坡时，P到山顶S的距离PS越来越小，当下坡时，P到山顶S的距离PS越来越大，
则下坡路段为图中的HB，
由Rt△SA′B∽Rt△HSB，
得HB＝eq \f(SB2,A′B)＝eq \f(1202,200)＝72(km)．
(2)(2023·黄山模拟)如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P－EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P－EFGH体积的最大值为( )
A.eq \f(32\r(10),3) B.eq \f(64\r(10),3) C.eq \f(128\r(10),3) D.eq \f(256\r(10),3)
答案 D
解析 根据题意，PG是侧棱，底面正方形EFGH的对角线的一半是GC，
设GC＝x,0