第02讲 与三角形有关的角-【同步精品】2024年八上数学同步精品讲义（人教版）

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第02讲 与三角形有关的角 知识点01 三角形的内角和定理三角形内角和定理的内容：三角形的三个内角之和等于 180° 。三角形内角和定理的证明：证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。如图：过点A作PQ平行于BC。∵PQ∥BC∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC 。∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° 。∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° 。题型考点：①利用三角形的内角和计算角度。②判断三角形的形状。【即学即练1】1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　）A．50° B．55° C．45° D．40°【解答】解：∵△ABC中，∠C＝55°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣55°＝125°①，∵∠A﹣∠B＝35°②，∴①﹣②得，2∠B＝90°，解得∠B＝45°．故选：C．【即学即练2】2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形【解答】解：由题意，得，③﹣①，得∠C＝39°，③﹣②，得∠A＝15°，∴∠B＝126°．∴该三角形是钝角三角形．故选：C．知识点02 直角三角形的性质与判定直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角 互余 。 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° 。直角三角形的判定：有两个角 互余 的三角形是直角三角形。数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形。 题型考点：①利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的内角和进行角度计算。②直角三角形的判断。【即学即练1】3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　）A．145° B．125° C．65° D．55°【解答】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°，故选：D．4．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（　　）A．62° B．52° C．38° D．28°【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠BAC＝∠2，∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°．故答案为：C．【即学即练2】5．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，解得，∠C＝90°，故①能确定△ABC是直角三角形；②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，故②不能确定△ABC是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，故③能确定△ABC是直角三角形；④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝90°，故④能确定△ABC是直角三角形；∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．故选：C．知识点03 三角形的外角定理外角的定义： 如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。外角性质： ①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。 即∠1= ∠2+∠3 。 ②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。 ③三角形的外角与相邻的内角 互补 。 ④三角形的外角和都等于 360° 。 题型考点：根据外角定理求值。【即学即练1】6．已知：如图所示，则∠A等于（　　）A．60° B．70° C．50° D．80°【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°．故选：B．7．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　）A．60° B．55° C．50° D．45°【解答】解：∵∠A＝10°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝80°，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ADC＝∠DCE﹣∠A＝70°，∵∠ADC＝∠EDF，∴∠CED＝∠AED＝∠EDF﹣∠A＝60°，∵∠CED＝∠FEG∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝60°﹣10°＝50°，故选：C．题型01 内角和判断三角形的形状【典例1】一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（　　）A．40°，70° B．30°，90° C．60°，50° D．50°，20°【解答】解：A、第三个角为180°﹣40°﹣70°＝70°，三角形中有两个角都等于70°，所以三角形为等腰三角形，所以A选项符合题意；B、第三个角为180°﹣30°﹣90°＝60°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以B选项不符合题意；C、第三个角为180°﹣60°﹣50°＝70°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以C选项不符合题意；D、第三个角为180°﹣50°﹣20°＝110°，三角形中没有角相等，所以三角形不为等腰三角形，所以D选项不符合题意．故选：A．变式1：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（　　）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x＝180，解得x＝15，∴∠A＝3x°＝45°，∠B＝4x°＝60°，∠C＝5x°＝75°，∴△ABC为锐角三角形，故选：A．变式2：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解答】解；设∠A＝x°，则∠B＝3x°，∠C＝4x°，x+3x+4x＝180，解得：x＝22.5，∴∠B＝67.5°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．变式3：在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠C＝∠A，∴BC＝AB，∴这个三角形是等腰三角形，故选：B．题型02 三角形内角与外角综合计算【典例1】如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）A．80° B．82° C．84° D．86°【解答】解：设∠1＝∠2＝x，∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，∴∠DAC＝180°﹣4x，∵∠BAC＝108°，∴x+180°﹣4x＝108°，∴x＝24°，∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．故选：C．变式1：如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（　　）A．110° B．120° C．130° D．140°【解答】解：∴∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，故选：B．变式2：如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　）A．59° B．60° C．56° D．22°【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB＝90°∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，∵AF是角平分线，∴∠1＝∠CAB＝31°，在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EFA＝59°，故选：A．题型03 三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）A．45° B．60° C．50° D．55°【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，∵∠AED＝∠B+∠BAE，∴∠B＝80°﹣30°＝50°，故选：C．变式1：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（　　）A．60° B．65° C．75° D．85°【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，∴∠ADB＝90°﹣15°＝75°．∵∠C＝35°，∴∠CAD＝75°﹣35°＝40°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故选：B．变式2：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．【解答】解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝35°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°；（2）同（1），可得∠ADE＝75°．∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°．题型04 三角形的两条内角平分线形成的夹角【典例1】如图，BD、CE是△ABC角平分线，交于O，若∠A＝50°，则∠BOC＝　 　．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．变式1：如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（　　）A．60° B．120° C．110° D．40°【解答】解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，于是∠A＝180°﹣120°＝60°．故选：A．变式2：如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数是 　 　．【解答】解：∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠ABC，∠ACD1＝∠BCD1＝∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1＝（∠ABC+∠ACB）＝×128°＝64°，∴∠BD1C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣64°＝116°，同理可得∠BD2C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣96°＝84°，…依此类推，∠BDnC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠BD4C＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣124°＝60°．故答案为：60°．题型05 三角形的内角平分线与外角平分线构成的夹角【典例1】如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝　 　．【解答】解：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，∴2∠P+2∠PBC＝∠ABC+∠A，∴2∠P＝∠A，即∠P＝∠A．∵∠A＝50°，∴∠P＝25°．故答案为：25°．变式1：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝　 °．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO＝，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝ACE，∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝180°＝90°，∵∠DOC＝48°，∴∠D＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．变式1：如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为　 　．【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……则∠A2021＝∠A1＝．故答案为：．题型06 三角形的外角平分线构成的夹角【典例1】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　）A．40° B．50° C．60° D．80°【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠ACB+∠ABC＝100°，∴∠ECB+∠DBC＝260°，∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，故选：B．变式1：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+40°，∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠CAP＝∠NAP＝＝50°．故选：C．变式2：如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　）A． B．∠D+∠G＝180° C． D．【解答】解：方法一：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝，∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，∴，，∴∠G＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝＝＝＝＝，∴．变式3：综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝　 　°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴，，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；故答案为：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴，．∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°﹣∠A，∴2∠A＝90°﹣∠A，∴∠A＝36°．1．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．B．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故B符合题意．C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠ADE＝∠B，由DF∥AC，得∠A＝∠FDB，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠C+∠A＝180°，故C不符合题意．D．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故D不符合题意．故选：B．2．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形【解答】解：由题意，得，③﹣①，得∠C＝39°，③﹣②，得∠A＝15°，∴∠B＝126°．∴该三角形是钝角三角形．故选：C．3．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　）A．45° B．60° C．15° D．75°【解答】解：∵∠2＝30°，∠3＝45°，∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．故选：D．4．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　）A．20° B．30° C．18° D．15°【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣65°＝90°．∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°．∵CD⊥AB，∴∠ADB＝90°，∴∠BCD＝90°，∠B＝90°﹣65°＝25°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣25°＝20°．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（　　）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵DF∥EB，∠D＝70°，∴∠D＝∠CEB＝70°，∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，故选：A．6．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（　　）A．60° B．90° C．110° D．125°【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝ABC，∠ACE＝ACB．∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE＝∠A+∠ABD+∠ACE＝∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠ABC+∠ACBA＝（∠A+∠ABC+∠ACB）+．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，∴∠BHC＝180°+×70°＝90°+35°＝125°．故选：D．7．若直角三角形的一个锐角等于20°，则它的另外一个锐角等于（　　）A．160° B．70° C．80° D．60°【解答】解：∵三角形是直角三角形，它的一个锐角等于20°，∴它的另一个锐角为：90°﹣20°＝70°，故选：B．8．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（　　）A．22° B．25° C．28° D．30°【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠PAC＝∠CAD，∠PBC＝∠CBD，∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，同理：∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，∠P＝＝＝25°．故选：B．9．在△ABC中，如果∠B＝52°，∠C＝68°，那么∠A的外角等于 　 　度．【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝68°，∴∠A的外角的度数为：∠B+∠C＝120°．故答案为：120．10．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为 　．【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，则x+5x＝90°，解得：x＝15°，则较大的一个锐角为15°×5＝75°，故答案为：75°．11．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 　 ．​【解答】解：如图，由折叠得：∠A＝∠A′，∵∠1是△MDA的外角，∴∠1＝∠A+∠MDA，同理：∠MDA＝∠2+∠A′，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，即：∠1＝2∠A+∠2，故答案为：∠1＝2∠A+∠2．12．如图，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，点M，E，N分别是射线OA，OC，OB上的动点（M，E，N不与点O重合），且ME⊥OA，垂足为点M，连接MN交射线OC于点F．若△MEF中有两个相等的角，则∠OMN的度数为 　 　．【解答】解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∵ME⊥OA，∴∠OEM＝90°﹣∠AOC＝50°，①当∠EMF＝∠MEF＝50°时，则∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣50°＝40°；②当∠EMF＝∠MFE时，则∠EMF＝（180°﹣∠OEM）＝×（180°﹣50°）＝65°，那么∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣65°＝25°；③当∠MFE＝∠MEF＝50°时，则∠EMF＝180°﹣∠MEF﹣∠MFE＝180°﹣50°﹣50°＝80°那么∠OMN＝90°﹣∠EMF＝90°﹣80°＝10°；综上，∠OMN的度数为10°或25°或40°，故答案为：10°或25°或40°．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠1，又∠1＝∠D，∴∠DCB＝∠D，∴DF∥BC．（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，∴∠B＝∠DFE＝36°，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠ACB＝52°，∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．14．综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的度数．【解答】解：（1）如图，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∠CNM＝180°﹣∠ANM，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM，∵∠2＝4∠1，∠CMN+∠CNM＝90°，∴∠1+180°﹣4∠1＝90°，解得∠1＝30°．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点．（1）∠BIC＝　 　°；（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°；（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°，∵BI是∠ABC的平分线，∴∠CBI＝∠ABC，∵CI是∠ABC的平分线，∴∠BCI＝∠ACB，∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣50°）＝65°，在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°，∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115．（2）∵∠FBC是△ABC的外角，∴∠FBC＝∠A+∠ACB，∵∠MCB是△ABC的外角，∴∠MCB＝∠A+∠ABC，∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°．∵BD是∠FBC的平分线，∴∠CBD＝∠FBC．∵CD是∠MCB的平分线，∴∠BCD＝∠MCB．∴∠CBD+∠BCD＝（∠FBC+∠MCB）＝×230°＝115°．在△BCD中，∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°．故答案为：65．（3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBE＝∠ABC．∵∠ACG是△ABC的外角，∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ECG＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC．∵∠ECG是△BCE的外角，∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC．∴∠BAC＝2∠BEC．课程标准学习目标①三角形的内角和定理②三角形的外角定理掌握三角形的内角和定理，并能够利用三角形的内角和定理解相关题目掌握三角形的外角定理，并能够利用三角形的外角定理解相关题目。结合三角形的内角和定理，外角定理，三角形的中线、高线、角平分线解决相关题目。