数学13.1.1 轴对称精品学案

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知识点01 轴对称作图与轴对称图形作图
轴对称与轴对称图形的作图：
具体步骤：
找图形的 。
过关键点作对称轴的 并延长，使延长部分的长度等于关键点到 的长度，从而得到关键点的 。
（3）按照 连接各对应点。
题型考点：①作图。
【即学即练1】
1．如图，以直线l为对称轴，画出轴对称图形的另一半．
【即学即练2】
2．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．
（1）已知△ABC和△A1B1C1关于x轴对称，点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对称点，请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
知识点02 画轴对称与轴对称图的对称轴
垂直平分线的画法：
具体步骤：
如图①：分别以线段AB两端点为 ，大于线段长度的 为半径画圆弧。两弧分别交于两点M，N。
如图②，连接MN，MN所在直线即为线段AB的垂直平分线。
垂直平分线的证明：
如图③，连接MA，MB，NA，NB。
由作图过程可知
MA＝MB＝NA＝NB
在△MAN与△MBN中

∴△MAN≌△MBN
∴∠AMO＝∠BMO
在△AMO与△BMO中

∴△AMO≌△BMO
∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°
∴MN垂直平分AB。
对称轴的画法：
对称轴过任意一组对应点连线的中点且与线段垂直，所以对称轴是任意一组对应点的垂直平分线。作对称轴即是作任意一组对应点的垂直平分线。按照垂直平分线的作图即可。
题型考点：①尺规作图垂直平分线。
②根据作图痕迹求解题目。
③画对称轴。
【即学即练1】
3．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【即学即练2】
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以A、B为圆心，AC为半径画弧，两弧分别交于E、F，直线EF交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．
【即学即练3】
5．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△CDB的面积为12，△ADE的面积为9，则四边形EDBC的面积为（ ）
A．15B．16C．18D．20
【即学即练4】
6．如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴．
知识点03 用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为 。
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为 。
关于x＝m或y＝m对称的点的坐标：
P（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为 。
P（a，b）关于直线y=m对称的点的坐标为 。
题型考点：根据坐标特点求坐标。
【即学即练1】
7．已知点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝（ ）
A．﹣6B．6C．2D．﹣2
【即学即练2】
8．已知点A（m，2021）与点B（2022，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．﹣1B．1C．4043D．﹣2022
【即学即练3】
9．已知点A（4，﹣3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝2对称，则平面内点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（4，﹣9）C．（4，0）D．（﹣10，3）
【即学即练4】
10．如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝ ．
题型01 轴对称与轴对称图形的作图与计算
【典例1】
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【典例2】
如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1；
（2）求三角形A1B1C1的面积；
（3）在直线MN上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形PAC的面积．
【典例3】
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【典例4】
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
题型02 垂直平分线的作图
【典例1】
如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】
如图，已知△ABC，请用尺规作图法在BC边上找一点D，使得点D到A、B两点距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【典例3】
（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．
（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【典例4】
如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB内部修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
题型03 利用垂直平分线的作图痕迹解题
【典例1】
如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
【典例2】
如图，△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，分别交AB，AC于点E和点F．若BC＝3，AB＝9，则BE的长为​（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例3】
如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．58°C．60°D．64°
【典例4】
如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（ ）
​
A．5B．4C．3D．2
题型04 关于坐标轴对称的点的坐标
【典例1】
点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【典例2】
在平面直角坐标系中，点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a﹣b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【典例3】
已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．7D．﹣7
【典例4】
在平面直角坐标系中，点P（4，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，1）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣4，1）D．（4，﹣1）
【典例5】
若点M（a，﹣1）与点N（﹣2，b）关于y轴对称，则（a+b）2022的值是（ ）
A．2022B．﹣2022C．1D．﹣1
【典例6】
已知点A（4，a﹣5）与点B（b﹣1，﹣3）关于y轴对称，则ab的值为（ ）
A．﹣6B．﹣8C．D．﹣
题型05 关于直线对称的点的坐标
【典例1】
点（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标为 ．
【典例2】
点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于直线x＝2对称D．关于直线y＝2对称
【典例3】
若点A（a，4）在第二象限，则点A关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点坐标是（ ）
A．（﹣a，4）B．（4﹣a，4）C．（﹣a﹣4，﹣4）D．（﹣a﹣2，﹣4）
【典例4】
点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（ ）
A．（2m﹣1，1）B．（﹣1，2m﹣1）
C．（﹣1，1﹣2m）D．（2m﹣1，2m﹣1）
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于y轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
3．已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．3
4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与△ABC边的交点），则∠DAE的度数是（ ）
第4题 第5题
A．25°B．30°C．35°D．40°
5．如图，在△ABC中，结合尺规作图的痕迹，已知AD＝2cm，△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长是（ ）
A．17cmB．18cmC．19cmD．20cm
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．BD＝CDC．∠A＝∠BEDD．∠ECD＝∠EDC
7．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标（2，n），则（m+n）2022的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32022D．0
8．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若点C坐标是（6，2），则经过第2022次变换后，点C的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣2）B．（6，﹣2）C．（﹣6，2）D．（6，2）
9．把点A（a+2，a﹣1）向上平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 ．
11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝24°，则∠CDA的度数为 ．
12．已知点E（x0，y0），F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，则点P2023的坐标是 （2，﹣4） ．
13．如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图，（保留必要的画图痕迹）
（1）在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；
（2）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；
（3）在（1）、（2）小题的基础上，请在直线AB上确定一点M，使MP+MO的值最小．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）点A关于y轴的对称点的坐标为 （3，4） ；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（3）将△ABC向右平移2个单位，向下平移1个单位，它的像是△A2B2C2，请写出△A2B2C2的顶点坐标．
15．已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出AB与CP的位置关系；
（3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
课程标准
学习目标
①轴对称与轴对称图形作图
②画对称轴
③用坐标表示轴对称
掌握轴对称与轴对称图形的作图，能够熟练的作出轴对称与轴对称图形的另一半。
掌握对称轴的画法，能够数量画出轴对称与轴对称图形的对称轴。
掌握点关于坐标轴对称以及关于特殊直线对称的对称特点，熟练应用其应用。