2024年初中毕业班第一次适应性数学测试题（原卷+解析版）

这是一份2024年初中毕业班第一次适应性数学测试题（原卷+解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间120分钟 满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 在，0，5，7中最小的数是（ ）
A. 0B. C. 5D. 7
2. 在下面的四个几何体中，三视图相同的是（ ）
A. B.
C. D.
3. “沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为吨，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，点为的中点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ）
A B. C. D.
10. 生活中，可以用身体上尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ）
A. B. C. D.
11. 某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线AC的中点，若矩形的面积为16，则的值为（ ）

A. B. 4C. D. 8
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
14. 分解因式： _______.
15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
16. 某商场要招聘电脑收银员，应聘者需进行计算机、语言和商品知识三项测试，小红的三项成绩（百分制）依次是70分，50分，80分，其中计算机成绩占50%，语言成绩占30%，商品知识成绩占20%，小红的综合成绩是______分．
17. 土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为______尺．
18. 如图，正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转转得到线段，连接，则线段长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
20 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，已知，平分．
（1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：．
22. 为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）
进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
分析数据
（1）填空：_____，_____；
（2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．
23. 第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同．
（1）“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
24. 如图，为的直径，为圆上一点，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，，求的长．
25. 某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
（3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
26. 【探究与证明】学校开展艺术作品展示活动，九年级数学兴趣小组制作菱形木质框架时（如图①），通过平移支架开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】菱形框架固定不动，在平移支架顶点G．
如图，菱形中，已知，的顶点在菱形对角线上运动，角的两边分别交边于点E、F．
如图②，当顶点G运动到与点A重合时，观察图中和，试猜想这三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【类比探究】（1）如图③，当顶点G运动到中点时，请直接写出线段和的数量关系；
（2）在顶点G的运动过程中，若，请直接写出线段和的数量关系．
【问题解决】如图④，已知菱形边长为8，，，当时，求的长度．
2024年初中毕业班第一次适应性测试
九年级数学（解析版）
（考试时间120分钟 满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 在，0，5，7中最小的数是（ ）
A. 0B. C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越小进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴四个数中最小的数为，
故选：B．
2. 在下面的四个几何体中，三视图相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见的几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A、球的主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，不符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，不符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，不符合题意；
故选：A．
3. “沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为吨，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
4. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵上图是梯形铁片
∴
则
则
故选：C
5. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键，根据整式的运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、 ，故D错误；
故选A．
7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点式求出新抛物线解析式．
【详解】∵ 抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴ 向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴ 新抛物线的解析式为+2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的顶点坐标是解题的关键．
8. 在中，点为的中点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点，
∴方程组的解是，
故选：B．
10. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：多媒体屏幕的对角线长度（拃），
∵1拃，
∴多媒体屏幕的对角线长度约为，
故选：C．
11. 某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
12. 如图所示，反比例函数图象经过矩形的对角线AC的中点，若矩形的面积为16，则的值为（ ）

A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形性质以及反比例函数比例系数的几何意义，先根据矩形的面积为16，得到四边形的面积为，结合反比例函数比例系数的几何意义以及反比例函数在第二象限，即可作答．
【详解】解：过D分别

∵四边形是矩形
∴
∵
∴四边形是矩形
∵矩形的面积为16，且是对角线AC的中点
∴四边形的面积是
∵反比例函数在第二象限
∴反比例函数的
故选：A
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
14. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
16. 某商场要招聘电脑收银员，应聘者需进行计算机、语言和商品知识三项测试，小红的三项成绩（百分制）依次是70分，50分，80分，其中计算机成绩占50%，语言成绩占30%，商品知识成绩占20%，小红的综合成绩是______分．
【答案】74
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式，代入值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵小红的三项成绩（百分制）依次是70分，50分，80分，其中计算机成绩占50%，语言成绩占30%，商品知识成绩占20%，
∴（分）
故答案为：74
17. 土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为______尺．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，得出，然后代入数据求出结果即可．
【详解】解：如图，
根据题意可知，，尺，尺，，
∴，，
∴，
即，
解得：，
即第二时刻的影长为40尺．
故答案为：40．
18. 如图，正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转转得到线段，连接，则线段长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先证明，可得，由，可得点在以G为圆心，半径为1的圆上运动，则当三点共线时，最小，则最小，再利用勾股定理求出的长，即可得答案．
【详解】解：如图所示，
∵四边形正方形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴点在以G为圆心，半径为1的圆上运动，

∴当三点共线时，最小，即此时最小，
∵是BC 中点，，
∴，
在中，由勾股定理得
∴
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，旋转的性质和全等三角形的性质与判定，熟练利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据平方差公式及多项式除以单项式法则分别计算乘除，再相加即可．
【详解】解：
，
把代入，．
21. 如图，已知，平分．
（1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义分别证明，，据此可利用证明．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
22. 为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）
进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
分析数据
（1）填空：_____，_____；
（2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
（3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．
【答案】（1）90；
（2）650人 （3）甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、频数分布表、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）由甲小区共有人数乘以甲小区成绩大于80分的人数所占的比例即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数，做出判断即可．
【小问1详解】
解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数；
把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数,
故答案：90；；
【小问2详解】
解：人，
∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；
【小问3详解】
解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下：
①甲小区的平均数大于乙小区的平均数；
②甲小区的中位数大于乙小区的中位数；
③甲小区的众数大于乙小区的众数．
综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好．
23. 第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同．
（1）“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元
（2）商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为元，根据用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同列出方程求解即可；
（2）用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同，根据利润单价利润销售量求出“宸宸”和“琮琮”的利润，然后求和得到W关于m的一次函数关系式，再根据“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
小问1详解】
解：设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元；
【小问2详解】
解：设购买“宸宸”m个，总利润为W元，则购买“琮琮”个，
由题意得，，
∵“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
∴，
解得，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W最大，最大值为，
∴
∴商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元．
24. 如图，为的直径，为圆上一点，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角；
（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再由等边对等角和已知条件证明，进而证明，即可证明结论；
（2）过点A作于H，先解得到，再解得到，即可解得到．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，过点A作于H，
在中，，
在中，，
在中，．
25. 某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
（3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
（2）当时，，当时，，
当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
（3）画图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据公式“总利润单件利润数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：设当时的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴当时的函数解析式为；
设当时的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴当时的函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∵，
∴w随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大为万元；
当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大为万元；
∵，
∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
【小问3详解】
解：由（2）得第一年的年利润为万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润，
当时，解得，
在坐标系中画函数图象如下：
∴由函数图象可知，当时，第二年年利润不低于103万元．
26. 【探究与证明】学校开展艺术作品展示活动，九年级数学兴趣小组制作菱形木质框架时（如图①），通过平移支架开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】菱形框架固定不动，在平移支架顶点G．
如图，菱形中，已知，的顶点在菱形对角线上运动，角的两边分别交边于点E、F．
如图②，当顶点G运动到与点A重合时，观察图中和，试猜想这三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
【类比探究】（1）如图③，当顶点G运动到中点时，请直接写出线段和的数量关系；
（2）在顶点G的运动过程中，若，请直接写出线段和的数量关系．
【问题解决】如图④，已知菱形边长为8，，，当时，求的长度．
【答案】动手操作：，证明见解析；类比探究：（1），证明见解析；（2），证明见解析；问题解决：
【解析】
【分析】动手操作：先证明都是等边三角形，得到，进而证明，得到，由此即可得到结论；
类比探究：（1）如图所示，过点A作交于，过点A作交于，同理可证明；证明，得到，同理可得，即可得到；
（2）同类比探究（1）求解即可；
问题解决：如图所示，连接交于H，先解，求出，，进而得到，，则，则；由类比探究（2）的结论可知，即可得到．
【详解】解：动手操作：，证明如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
类比探究：（1），证明如下：
如图所示，过点A作交于，过点A作交于，
同理可证明；
∵顶点G为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；

（2），证明如下：
如图所示，过点A作交于，过点A作交于，
同理可证明；
同理可证明，，
∴

问题解决：如图所示，连接交于H，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴；
由类比探究（2）的结论可知，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键成绩x（分）
甲小区
2
5
8
5
乙小区
3
7
5
5
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
87
a
乙小区
b
80
成绩x（分）
甲小区
2
5
8
5
乙小区
3
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统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
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