人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题

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\l "_Tc3639" 【题型1 用基底表示向量】 PAGEREF _Tc3639 \h 1
\l "_Tc14700" 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 PAGEREF _Tc14700 \h 2
\l "_Tc16991" 【题型3 平面向量基本定理的应用】 PAGEREF _Tc16991 \h 3
\l "_Tc17089" 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc17089 \h 6
\l "_Tc32540" 【题型5 平面向量数量积的坐标表示】 PAGEREF _Tc32540 \h 6
\l "_Tc9206" 【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc9206 \h 7
\l "_Tc12376" 【题型7 向量坐标运算的几何应用】 PAGEREF _Tc12376 \h 8
【知识点1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
【题型1 用基底表示向量】
【例1】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，记AE=a，CD=b，则AC=（ ）
A．13a−bB．12a−bC．12a−13bD．23a−b
【变式1-1】（2023上·河北保定·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F． 记 AB=a，AD=b，则（ ）

A．CF=−23a−13bB．CF=23a+13b
C．CF=−13a−23bD．CF=13a+23b
【变式1-2】（2023下·广东佛山·高一校考期中）如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点．设CA=a，CB=b，则EA=（ ）

A．23a−16bB．23a+16bC．16a−23bD．16a+23b
【变式1-3】（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=（ ）

A．115a−815bB．23a−815b
C．−23a+815bD．−1115a+815b
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB，且BA=4PA，则（ ）

A．x=13，y=23B．x=23，y=13
C．x=34，y=14D．x=14，y=34
【变式2-1】（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若EF=xOC+yOD，则x−2y=（ ）

A．1B．2C．53D．32
【变式2-2】（2023上·四川乐山·高二校考开学考试）如图，在△ABC中，AN=2NC，P是BN上一点，若AP=tAB+12AC，则实数t的值为（ ）

A．16B．13C．14D．12
【变式2-3】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD=2DB，P为CD上一点，CP=3PD，且AP=mAC+nABm,n∈R，则m+n的值为（ ）

A．14B．13C．12D．34
【题型3 平面向量基本定理的应用】
【例3】（2023上·宁夏银川·高三校考期中）在△ABC中，D为BC上一点，若AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），当3μ+14λμ取得最小值时，三角形ABD与三角形ADC的面积比值为（ ）
A．13B．12C．3D．2
【变式3-1】（2023上·广西玉林·高一校考开学考试）如图，在△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为△ABC的重心，那么AG:GD是（ ）

A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3
【变式3-2】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，AD=λAB，AE=μAC，则1λ+1μ的最小值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【变式3-3】（2023下·江苏苏州·高一统考期中）点P是△ABC所在平面内一点且满足AP=xAB+yAC，则下列说法正确的个数有（ ）
①若x=y=12，则点P是边BC的中点；②若点P是BC边上靠近B点的三等分点，则x=13,y=23；③若点P在BC边的中线上且x+y=12，则点P是△ABC的重心；④若x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 平面向量的坐标表示】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】
【例4】（2023上·新疆·高二学业考试）若向量a=3,−2，b=0,−1，则向量2b+a的坐标是（ ）
A．3,−4B．−3,4C．3,4D．−3,−4
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知向量a=(5,2),b=(−4,−3),c=(x,y)，若3a−2b+c=0，则c=（ ）
A．(−23,−12)B．(23,12)
C．(7,0)D．(−7,0)
【变式4-2】（2023下·西藏林芝·高一校考期末）已知向量a=3,2，b=0,−1，则−2a+4b等于（ ）
A．6,0B．−6,0C．−6,−8D．6,8
【变式4-3】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a ,b满足2a −b→=0,3，a→ −2b→=−3,0，λa→ +μb=−1,1，则λ+μ=（ ）
A．-1B．0C．1D．25
【题型5 平面向量数量积的坐标表示】
【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知向量a=1,3,b=−2,−1，则a+b⋅2a−b=（ ）
A．10B．18C．−7,8D．−4,14
【变式5-1】（2023·四川内江·统考一模）设x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,−2)，且a⊥b，则csa+b,b=（ ）
A．210B．22C．510D．25
【变式5-2】（2023·四川达州·统考一模）已知向量a=sinθ,csθ，b=22,2，a，b夹角为π6，则a+b为（ ）
A．19B．19C．32D．18
【变式5-3】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知向量a=λ,2,b=3,1，若a与b的夹角的余弦值为31010，则实数λ的值为（ ）
A．83B．43C．3D．3
【题型6 向量共线、垂直的坐标表示】
【例6】（2023上·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知平面向量a=1,x，b=2x+3,−x，x∈R．
(1)①若a∥b，求x；②若a⊥b，求x；
(2)若向量a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
【变式6-1】（2023下·江苏南通·高一校考阶段练习）已知向量a=(−3,1),b=(1,−2),m=a+kb(k∈R)．
(1)若向量m与2a−b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c=(1,−1)，且m与向量kb+c平行，求实数k的值．
【变式6-2】（2023下·江苏盐城·高一校考期中）已知向量a=3,1，b=−1,−2，c=4,1．
(1)若a+kc⊥a+b，求实数k；
(2)设d满足d−c∥a−b，且d−c=1，求d的坐标．
【变式6-3】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知a=(1,0)，b=(1,3)，设m=3a−b，n=ka+2b.
(1)若m⊥n，求实数k的值；
(2)当k=2时，求m与n的夹角的余弦值；
(3)是否存在实数k，使m//n，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．
【题型7 向量坐标运算的几何应用】
【例7】（2023上·广东深圳·高二校联考期中）在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A0,−1,1,B0,1,2,C3,1,3．
(1)求D的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）已知A,B,C的坐标分别为0,0,−1,1,csα,sinα,a∈0,π.
(1)若A,B,C三点共线，求角α的值；
(2)若Ds,t，且四边形ABCD为平行四边形，求s+t的取值范围.
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系中，OA=2AB=4，∠OAB=2π3，BC=−2,23
（1）求点B,C的坐标；
（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．
【变式7-3】（2023下·福建福州·高一校考期中）四边形ABCD中，AB=6,1，BC=x,y，CD=−2,−3．
（1）BC//DA，试求x与y满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有AC⊥BD，求xy的值和四边形ABCD的面积．
区 别
表示形
式不同
向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.