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人教A版 (2019)7.1 复数的概念当堂检测题
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这是一份人教A版 (2019)7.1 复数的概念当堂检测题,文件包含专题71复数的概念七大题型人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题71复数的概念七大题型人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29519" 【题型1 复数的分类及辨析】 PAGEREF _Tc29519 \h 2
\l "_Tc1868" 【题型2 根据复数的相等条件求参数】 PAGEREF _Tc1868 \h 2
\l "_Tc984" 【题型3 复数的几何意义】 PAGEREF _Tc984 \h 4
\l "_Tc21848" 【题型4 复数的向量表示】 PAGEREF _Tc21848 \h 5
\l "_Tc31072" 【题型5 共轭复数的求解】 PAGEREF _Tc31072 \h 6
\l "_Tc14817" 【题型6 复数的模的计算】 PAGEREF _Tc14817 \h 6
\l "_Tc20483" 【题型7 复数的模的几何意义】 PAGEREF _Tc20483 \h 7
【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1.数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题,我们引入一个新数i,规定:
①=-1,即i是方程+1=0的根;
②实数可以和数i进行加法和乘法运算,且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下,实数a与i相加,结果记作a+i;实数b与i相乘,结果记作bi;实数a与bi相加,结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样,方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫做虚数;当a=0且b≠0时,它叫做纯虚数.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.
复数z=a+bi可以分类如下:
复数,
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可用图表示.
2.复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时,两个复数才相等.
【题型1 复数的分类及辨析】
【例1】(2023·高一课前预习)在2+7,27i,8+5i,(1−3)i,0.618这五个数中,纯虚数的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【变式1-1】(2023·全国·高一专题练习)下列关于复数x+i的说法一定正确的是( )
A.是虚数B.存在x使得x+i是纯虚数
C.不是实数D.实部和虚部均为1
【变式1-2】(2023下·高一课时练习)下列四种说法正确的是( )
A.如果实数a=b,那么a−b+(a+b)i是纯虚数.
B.实数是复数.
C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数.
D.任何数的偶数次幂都不小于零.
【变式1-3】(2023下·湖南长沙·高一校考阶段练习)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若x2+1=0,则x=iB.实部为零的复数是纯虚数
C.z=x2+1i可能是实数D.复数z=2+i的虚部是i
【题型2 根据复数的相等条件求参数】
【例2】(2023·全国·校联考模拟预测)已知x12−i2=1−yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x−y=( )
A.1B.2C.3D.4
【变式2-1】(2023下·全国·高一专题练习)已知a,b∈R,且a−1+ai=3+2bi,则b=( )
A.1B.52C.2D.4
【变式2-2】(2023·全国·高一专题练习)若z1=−3−4i,z2=n2−3m−1+n2−m−6im,n∈R,且z1=z2,则m+n=
A.4或0B.-4或0C.2或0D.-2或0
【变式2-3】(2023下·山西阳泉·高一统考期末)已知复数z1=m+4−m2i,z2=2csθ+λ+3sinθi,m,λ,θ∈R,且z1=z2,则λ的取值范围是( )
A.−916,1B.−916,7
C.−916,+∞D.1,7
【知识点2 复数的几何意义】
1.复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义,可得复数z=a+bi有序实数对(a,b),而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此,复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量,这是复数的另一种几何意义.
2.复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知,|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3.共轭复数
(1)定义
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示,即若z=a+bi,则=a-bi.特别地,实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地,实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合,且在实轴上.
(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身,即z=z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数.
4.复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离,这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心,r为半径的圆,|z|r表示圆的外部.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】(2023上·山西·高二统考学业考试)在复平面内,表示复数z=1−i的点所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【变式3-1】(2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习)在复平面内,复数z和2−ii表示的点关于虚轴对称,则复数z=( )
A.1+2iB.−1+2iC.−1−2iD.1−2i
【变式3-2】(2023上·黑龙江·高二统考学业考试)如图,复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)( )
A.2+2iB.3+iC.3+3iD.3+2i
【变式3-3】(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知z=1+im+3−i在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.−3,1B.−1,3
C.1,+∞D.−∞,−3
【题型4 复数的向量表示】
【例4】(2023下·高一课时练习)向量AB=2,−3对应的复数为( )
A.2−3iB.2+3iC.3+2iD.−3−2i
【变式4-1】(2023下·河北张家口·高一校考阶段练习)已知复数z1=1−i,z2=−1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点分别为A,B,将向量OA绕着点O(O为复平面内的原点)逆时针旋转90∘得到向量OC,则OC+OB对应的复数为( )
A.−1+2iB.2iC.3iD.1−2i
【变式4-2】(2023下·高一课时练习)在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数为5+3i,OB与OA关于y轴对称,则点B对应的复数是( )
A.5−3iB.−5−3iC.5+3iD.−5+3i
【变式4-3】(2023·北京东城·统考二模)在复平面内,O是原点,向量OZ对应的复数是−1+i,将OZ绕点O按逆时针方向旋转π4,则所得向量对应的复数为( )
A.−2B.−2iC.−1D.−i
【题型5 共轭复数的求解】
【例5】(2023上·北京顺义·高三校考期中)在复平面内,z对应的点的坐标是(1,3),则z的共轭复数z=( )
A.1+3iB.1−3i
C.−1+3iD.−1−3i
【变式5-1】(2023上·广东江门·高二校考阶段练习)设a,b∈R,i是虚数单位,若复数a+i与−1+bi互为共轭复数,则实数复数a,b的值为( )
A.a=−1,b=1B.a=−1,b=−1
C.a=1,b=1D.a=1,b=−1
【变式5-2】(2023下·新疆喀什·高一统考期末)设复数z=3−4i,则z的共轭复数的模为( )
A.7B.1C.5D.25
【变式5-3】(2023下·湖南长沙·高二校考期中)在▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3−5i,则点D对应复数的共轭复数是( )
A.2−3iB.4+8i
C.4−8iD.1+4i
【题型6 复数的模的计算】
【例6】(2023上·浙江绍兴·高三校考阶段练习)已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则|z|=( )
A.1B.4C.3D.5
【变式6-1】(2023下·河南·高三校联考阶段练习)设复数z在复平面内对应的点为0,a,若z=2,则a=( )
A.2iB.2iC.±2D.±2
【变式6-2】(2023下·北京大兴·高一统考期末)已知在复平面内复数z对应的点的坐标为−3,4,则z=( )
A.3B.4
C.5D.42
【变式6-3】(2023·高一课时练习)在复平面内,复数z=2−mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|=4,则m=( )
A.−23B.43C.2D.23
【题型7 复数的模的几何意义】
【例7】(2023·全国·高一专题练习)已知复数z满足|z+2−2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.
(1)确定点M的集合构成图形的形状;
(2)求|z−1+2i|的最大值和最小值.
【变式7-1】(2022下·高一课时练习)已知复数z1=2+i,z2=a+b2+3b−3i;
(1)若z1=z2,求实数a,b的值;
(2)若复数z=x+yix,y∈R,且满足z−z1=1,求复数z在复平面内所对应的点x,y到−2,4的距离的最大值.
【变式7-2】(2023下·广东江门·高一校考阶段练习)若z=x+yix,y∈R,i为虚数单位,在复平面内z所对应的点为Z,且z+2−2i=1,
(1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并且求该图形的方程;
(2)z−2−2i的最小值.
【变式7-3】(2023下·广东东莞·高一统考期末)设复数z=x+yi,z0=x0+y0i,记复数z与z0分别对应复平面内的点Zx,y和Z0x0,y0.
(1)根据复数及其运算的几何意义,求Z和Z0两点间的距离;
(2)已知z−z0=r(r为正实数)表示动点Z的集合是以点Z0为圆心,r为半径的圆.那么满足条件1≤|z−1+i|≤3的点Z的集合是什么图形?并求出该图形的面积.
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