高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样练习题，文件包含专题91随机抽样八大题型人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题91随机抽样八大题型人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23574" 【题型1 简单随机抽样的特征及适用条件】 PAGEREF _Tc23574 \h 3
\l "_Tc16099" 【题型2 抽签法的应用】 PAGEREF _Tc16099 \h 5
\l "_Tc16201" 【题型3 随机数法的应用】 PAGEREF _Tc16201 \h 6
\l "_Tc21604" 【题型4 简单随机抽样估计总体】 PAGEREF _Tc21604 \h 8
\l "_Tc24610" 【题型5 抽样方法的选取】 PAGEREF _Tc24610 \h 10
\l "_Tc29159" 【题型6 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】 PAGEREF _Tc29159 \h 12
\l "_Tc6919" 【题型7 分层抽样的概率计算】 PAGEREF _Tc6919 \h 13
\l "_Tc19467" 【题型8 普查与抽样】 PAGEREF _Tc19467 \h 16
【知识点1 简单随机抽样】
1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中
的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
(2)求和符号的性质
①；
②，其中k为常数.
【题型1 简单随机抽样的特征及适用条件】
【例1】（2024高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
【解题思路】
根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取n1≤n≤N个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的.
对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意；
对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意；
对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意；
对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意.
故选：B.
【变式1-1】（22-23高一下·四川乐山·期末）关于简单随机抽样，下列说法错误的是（ ）
A．它是从总体中逐个随机抽取B．被抽取样本的总体可以是无限的
C．它是等可能抽取的D．样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样
【解题思路】
根据简单随机抽样的特点判断即可.
【解答过程】简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，
它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样，
简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，故A、C、D正确，B错误.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高二上·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ）
A．变小B．变大C．相等D．无法确定
【解题思路】
由简单随机抽样的定义可知每个个体被抽取的概率相等.
【解答过程】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，
则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为1N.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一上·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（ ）
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A．0B．1
C．2D．3
【解题思路】根据简单随机抽样的特点逐个判断.
【解答过程】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.
③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.
故选：B.
【题型2 抽签法的应用】
【例2】（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.
【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.
故选：B.
【变式2-1】（2023高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取后不放回
【解题思路】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，分析即得解
【解答过程】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．
故选：B.
【变式2-2】（2023高一·全国·专题练习）某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【解题思路】根据抽签法的步骤即可求解.
【解答过程】(1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
【变式2-3】（23-24高一·全国·课时练习）某地区选拔运动会志愿者，最后阶段要从35名志愿者中去掉5名，由于每名志愿者都很优秀，决定采取抽签法，请写出用抽签法去掉5人的过程．
【解题思路】利用抽签法的步骤即可得解．
【解答过程】利用抽签法抽取样本的具体步骤：
①将这35人编号为1，2，3，…，35；
②将号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽出1个号签，连续抽取5次；
⑤将与号签上的编号一致的人抽出来去掉即可.
【题型3 随机数法的应用】
【例3】（2024高一下·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．29B．21C．14D．09
【解题思路】根据随机数表法分析求解.
【解答过程】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为
27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），
95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.
故最终取得的第6个数字为29.
故选：A.
【变式3-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号001,002,003,⋯,800，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：
在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（ ）
A．036B．341C．328D．693
【解题思路】根据随机数表的用法，依次列出有关数据即可.
【解答过程】由题意，从第2行，第4列开始，横向依次读取的三个数字是：492，434，935（无效，舍去），820（无效，舍去），036，234，869（无效，舍去），693，所以抽中的第5个编号是：693.
故选：D.
【变式3-2】（2024高一上·山东潍坊·竞赛）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为（ ）
随机数表如下0154 3287 6595 4287 5346
7953 2586 5741 3369 8324
4597 7386 5244 3578 6241
A．13B．32C．44D．36
【解题思路】根据已知条件，依次写出满足题意的号码，即可求解.
【解答过程】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下：
32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74， 98不在编号范围内，舍去，
再去除重复的，剩下的号码为：32， 13，36，44；
所以选取的第四个号码为44.
故选：C.
【变式3-3】（22-23高二下·上海浦东新·期末）从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，⋯，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是（注：下面为随机数表的第3~5行）（ ）
91685307 17337298 29849526 37515923 03886191 14679054
49042443 36160865 53317333 03570684 57173171 84357012
17355239 47454753 01644305 44017425 26545229 10694745
A．865B．086C．173D．171
【解题思路】
根据随机数表第4行第5个数开始向右读，找出满足条件的编号即可.
【解答过程】从随机数表第4行第5个数开始向右读，符合条件的有160，173，068，171，
则选出的第4个编号是171.
故选: D.
【题型4 简单随机抽样估计总体】
【例4】（23-24高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800B．1800C．1400D．1200
【解题思路】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.
【解答过程】设估计该池塘内鱼的总条数为n，
由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：270=135，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，
所以40n=135，解得n=35×40=1400，
即估计该池塘内共有1400条鱼.
故选：C.
【变式4-1】（22-23高一下·安徽阜阳·期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（ ）
A．321石B．166石C．434石D．623石
【解题思路】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答.
【解答过程】设粮仓内的秕谷有x石，依题意，x3318=22168，解得x=434.5，
所以粮仓内的秕谷约为434石.
故选：C.
【变式4-2】（2023·河南·三模）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（ ）
A．23B．92C．128D．180
【解题思路】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可
【解答过程】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为100−32−45=23人
故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为400100×23=92人
故选：B.
【变式4-3】（2024·广西来宾·模拟预测）为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
【解题思路】求出阅读过《西游记》的人数为160人，即得解.
【解答过程】由题意知：该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人，
所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人，
则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该小区学生总人数之比的估计值为160320=0.5.
故选：A.
【知识点2 分层随机抽样】
1．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比
较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和
为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
2．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【题型5 抽样方法的选取】
【例5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，O型､A型､B型和AB型血的学生依次有300,200,180,120人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
【解题思路】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断.
【解答过程】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，
对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.
故选：C.
【变式5-1】（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样D．随机数法
【解题思路】根据抽样方法确定正确答案.
【解答过程】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，
“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，
所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.
故选：C.
【变式5-2】（23-24高三上·陕西榆林·期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法
【解题思路】根据简单的随机抽样和分层抽样的概念及方法，进行判定，即可求解.
【解答过程】根据题意，第①项调查中，甲、乙、丙、丁四个地区情况不同，即总体中的个体差异较大，
符合分层抽样的概念与方法，应采用分层抽样的抽法进行抽取；
第②项调查中，从丙地区20个特大型销售点中抽7个，数量较小，且无差异，
可采用简单的随机抽样进行抽取.
故选：B.
【变式5-3】（23-24高一上·全国·课时练习）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查．
③某中学共有320名教职工，其中教师240名，行政人员32名，后勤人员48名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为40的样本．
较为合理的抽样方法的选择是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③分层随机抽样
B．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③简单随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样，③分层随机抽样
D．①分层随机抽样，②抽签法，③简单随机抽样
【解题思路】根据抽样定义判断各个小题即可.
【解答过程】①总体和样本量都很小，用简单随机抽样；
②③总体由差异明显的几部分构成，用分层随机抽样．
故选：A.
【题型6 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】
【例6】（23-24高一上·河南驻马店·期末）我市某所高中共有学生6000人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:5，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ）
A．50B．60C．70D．80
【解题思路】
根据分层抽样的知识求得正确答案.
【解答过程】应抽取一年级的人数为240×33+4+5=60人.
故选：B.
【变式6-1】（23-24高三上·四川·期末）某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28B．30C．32D．36
【解题思路】
根据抽样比即可求解.
【解答过程】由题意可知抽取到的男性职工人数为320×100500=64，女性职工人数为100−64=36，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多64−36=28．
故选：A.
【变式6-2】（2024·贵州贵阳·一模）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5:3:2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（ ）
A．60棵B．100棵C．144棵D．160棵
【解题思路】由己知比例求出中年教师应分得树苗的数量，再由饼图中梧桐占比求中年教师应分得梧桐的数量即可.
【解答过程】由题意，中年教师应分得树苗的数量为1200×35+3+2=360棵，
所以中年教师应分得梧桐的数量为360×40%=144棵，
故选：C.
【变式6-3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（ ）
A．128人B．130人C．132人D．134人
【解题思路】
利用分层抽样公式，即可求解.
【解答过程】
设从南乡征集x人，则1368758=x8356，解得：x≈130人.
故选：B.
【题型7 分层抽样的概率计算】
【例7】（22-23高一下·广西柳州·期末）某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（ ）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大D．每位学生被抽到的概率相等
【解题思路】根据分层抽样的定义和性质判断即可.
【解答过程】由题意知，抽样比例为15700+400+400=1100，
所以15人中，高一要抽7人，高二要4人，高三要4人，
故高一每位学生被抽到的概率为7700=110，
高二每位学生被抽到的概率为4400=110，
高三每位学生被抽到的概率为4400=110，
在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，
故每位学生被抽到的概率相等.
故选：D.
【变式7-1】（2023·广西柳州·模拟预测）某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（ ）
A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人
B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人
C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D．政史地组合学生小刘被选中的概率为150
【解题思路】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，即可得出答案.
【解答过程】对于A项，用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生为 25×600600+400+250=12人，故A项正确；
对于B项，用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生为25×250600+400+250=5，故B项正确；
对于C项，根据分层抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为25600+400+250=150，故C项错误；
对于D项，由C知，每位同学被选中的概率均为150，故D项正确.
故选：C.
【变式7-2】（22-23高一下·海南·期末）甲、乙、丙三个社区居民的人数之比为3:5:2，新冠疫苗接种率分别为40%，26%，30%，则这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为（ ）
A．33%B．32%C．31%D．30%
【解题思路】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k，即可算出.
【解答过程】设甲、乙、丙三个社区居民的人数分别为：3k，5k，2k，
则新冠疫苗接种人数分别为：1.2k，1.3k，0.6k，
故这三个社区的居民总体的新冠疫苗接种率为1.2k+1.3k+0.6k3k+5k+2k×100%=31%,
故选：C.
【变式7-3】（23-24高三上·江西吉安·期末）垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．厨余垃圾占垃圾总量的60%B．有害垃圾投放正确的概率为75%
C．厨余垃圾投放正确的概率为90%D．生活垃圾投放错误的概率为15%
【解题思路】根据表中数据计算出厨余垃圾、垃圾总量可判断A；计算出正确投放有害垃圾的总量和有害垃圾的总量可判断B；计算出正确投放厨余垃圾的总量和厨余垃圾的总量可判断C；先计算出生活垃圾投放正确的概率再用1减去这个值，可得生活垃圾投放错误的概率可判断D．
【解答过程】厨余垃圾共10+40+540+10=600（吨），占垃圾总量的60%，选项A正确；
有害垃圾投放正确的概率为6060+5+5+10×100%=75%，选项B正确；
厨余垃圾投放正确的概率为540600×100%=90%，选项C正确；
生活垃圾投放正确的概率为60+185+540+801000×100%=86.5%，生活垃圾投放错误的概率为13.5%，选项D错误．
故选：D．
【知识点3 获取数据的途径】
1．获取数据的途径
(1)通过调查获取数据
我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.
(2)通过试验获取数据
没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.
(3)通过观察获取数据
自然现象只能通过长久的持续观察获取数据.
(4)通过查询获得数据
通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.
【题型8 普查与抽样】
【例8】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）
①调查一个班级学生的吃早餐情况
②调查某种饮料质量合格情况
③调查某批飞行员的身体健康指标
④调查某个水库中草鱼的所占比例
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】结合全面调查和抽样调查的特点进行判断.
【解答过程】①因为一个班级学生的人数不太多，吃早餐情况的全面调查也容易操作，所以适合全面调查；
②某种饮料数量太多，质量合格情况适合抽样调查；
③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查；
④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多，不适合全面调查.
故选：B.
【变式8-1】（23-24高一上·广西南宁·开学考试）下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．调查某池墙中现有鱼的数量
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛
D．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
【解题思路】选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．
【解答过程】调查某池塘中现有鱼的数量，应采用抽样调查，故选项A不合题意；
调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查，故选项B不合题意；
选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛，适宜采用全面调查，故选项C符合题意；
调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应采用抽样调查，故选项D不合题意．
故选：C．
【变式8-2】（22-23高一下·山西吕梁·阶段练习）在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温；
小爽：判断某种新药是否有效；
小夏：“山西新闻联播”的收视率；
小天：近年来我市普通高中人学人数.
其中，通过调查获取数据的是（ ）
A．小凉B．小爽C．小夏D．小天
【解题思路】根据收集数据的不同方法，逐一判断各选项即可.
【解答过程】邯郸市今年“五一”前后的气温，通过观察获取数据；
判断某种新药是否有效，通过试验获取数据；
“山西新闻联播”的收视率，通过调查获取数据；
近年来我市普通高中人学人数，通过查询获得数据.
故选：C.
【变式8-3】（22-23高一下·北京顺义·期末）在以下4项调查中：
①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；
②调查某省的一种结核病的发病率；
③调查一批食品的合格率；
④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例；
适合用全面调查的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】根据全面调查的定义判断即可.
【解答过程】根据全面调查的定义可知，①适合用全面调查，②③④适合用抽样调查.
故选：A.名称
定义
全面调查（普查）
对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体
调查对象的全体.
个体
从总体中抽取的那部分个体.
样本
从总体中抽取的那部分个体.
样本量
样本中包含的个体数.
抽样方法
优点
缺点
适用范围
抽签法
简单易行.
总体量较大时，操作起来比较麻烦.
适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法
简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题.
总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.
总体量较大，样本量较小的情形.
名称
定义
总体均值（总体平均数）
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数）
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9243
4935
8200
3623
4869
6938
7481
2976
3413
2841
4241
2424
1985
9313
2322
“有害垃圾”箱
“可回收物”箱
“厨余垃圾”箱
“其他垃圾”箱
有害垃圾
60
5
5
10
可回收物
5
185
10
10
厨余垃圾
10
40
540
10
其他垃圾
5
15
10
80