人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体随堂练习题，文件包含专题92用样本估计总体八大题型人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题92用样本估计总体八大题型人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22772" 【题型1 频率分布直方图的绘制】 PAGEREF _Tc22772 \h 2
\l "_Tc7652" 【题型2 频率分布直方图的相关计算问题】 PAGEREF _Tc7652 \h 8
\l "_Tc14432" 【题型3 统计图的综合应用问题】 PAGEREF _Tc14432 \h 10
\l "_Tc25145" 【题型4 百分位数的求解】 PAGEREF _Tc25145 \h 15
\l "_Tc6452" 【题型5 众数、中位数、平均数的应用】 PAGEREF _Tc6452 \h 16
\l "_Tc13660" 【题型6 方差、标准差的求解及应用】 PAGEREF _Tc13660 \h 19
\l "_Tc16778" 【题型7 频率分布直方图中集中趋势参数的计算】 PAGEREF _Tc16778 \h 22
\l "_Tc20283" 【题型8 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 PAGEREF _Tc20283 \h 27
【知识点1 总体取值规律的估计】
1．频率分布直方图
(1)频率分布表与频率分布直方图的意义
为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初
中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.
有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.
(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.
第一步，求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差.
第二步，决定组距与组数
第三步，将数据分组
通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.
第四步，列频率分布表
计算各小组的频率，作出频率分布表.
第五步，画频率分布直方图
画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示.
2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图
【题型1 频率分布直方图的绘制】
【例1】（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：
(1)补全表中所剩的空格；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
【解题思路】（1）分别计算各分数段的频率与频数，再补表格即可；
（2）分别计算各分数段的频率除以组距的值，然后画出频率分布直方图和频率分布折线图即可.
【解答过程】（1）根据题意，[0,20)的频率为360=0.05；[20,40)的频率为660=0.1；
[40,60)的频率为1260=0.2；[60,80)的频率为1−0.05−0.1−0.2−0.3=0.35，
频数为60×0.35=21；[80,100]的频数为60×0.3=18.
填表如下.
（2）计算[0,20)的频率组距=0.0520=0.0025，[20,40)的频率组距=0.120=0.0050，
[40,60)的频率组距=0.220=0.0100，[60,80)的频率组距=0.3520=0.0175，
[80,100]的频率组距=0.320=0.0150.
画出的频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

【变式1-1】（23-24高一下·山西晋中·阶段练习）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：
40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.
【解题思路】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.
(2)计算抽样产品在39.98,40.02的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.
【解答过程】（1）频率分布表如下：
频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．

（2）因为抽样的20只产品中在39.98,40.02范围内的有18只，所以合格率为1820×100%=90%．
所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．
【变式1-2】（22-23高一下·天津河东·期末）《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是大气环境质量改善成效显著.记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米，同比改善8.1%，优良天数222天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平.小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI趋势图）进行数据统计，分析空气质量指数在不同范围内的天数占一个月天数的比例，步骤为“求极差”“决定组距与组数”“数据分组”“列频率分布表”“画频率分布直方图”，请完成上述步骤，绘制频率分布直方图（横轴为空气质量指数，纵轴保留两位有效数字）.


【解题思路】先求极差，分组，然后列出频率分布表，根据频率直方图的作图方法直接作图即可.
【解答过程】由图中数据知，空气质量指数的最大值为64，最小值为23，它们的差是64－23＝41，即极差为41，
根据极差确定组距为7，组数为6，
频率分布表如下：
由频率分布表，可得频率分布直方图，如下：
【变式1-3】（2023高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示：
(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率．
【解题思路】（1）方法一，利用频率总和为1求出N,n，再利用样本容量与各组频率、频数的关系求出m,M作答.
方法二，利用1除以组距求出M，进而得m，由频率总和为1得N，再利用频率的意义求出n作答.
（2）根据已知数表及（1）画出频率分布直方图作答.
（3）利用频率分布直方图求出最大频率的分组区间并求出女生的身高在161.5cm以上的频率作答.
【解答过程】（1）方法一 N=1.00，n=1−(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04，m0.04=80.16，
解得m=2，M=1+4+20+15+8+2=50.
方法二 M=10.02=50，m=50−(1+4+20+15+8)=2，N=1.00，n=mM=250=0.04.
（2）作出平面直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率组距，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．

（3）由频率分布直方图知，样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，
且身高在161.5cm以上的频率为0.16+0.04=0.20，
由此可估计全体女生中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率约为0.20.
【题型2 频率分布直方图的相关计算问题】
【例2】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组､第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）
A．140B．240C．280D．320
【解题思路】根据频率分布直方图的性质，求得a的值，进一步计算即可 .
【解答过程】由已知得5a+0.06+0.04+0.02+0.01=1，
所以a=0.07，因为第五组的员工人数为80，
所以第二组的员工人数为80×
故选：C.
【变式2-1】（2024·四川成都·模拟预测）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在50,100内，将其分成5组：50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间80,90内的人数为（ ）

A．10B．20C．30D．40
【解题思路】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间80,90内的人数.
【解答过程】由频率直方图可知，成绩落在区间80,90内的人数为
100×1−0.01+0.015+0.04+0.005×10=30.
故选：C.
【变式2-2】（23-24高三上·天津南开·期末）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a的值为（ ）
A．0.02B．0.2C．0.04D．0.4
【解题思路】根据题意结合频率和为1列式求解.
【解答过程】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10a,0.45,10a,0.05，
则0.1+10a+0.45+10a+0.05=20a+0.6=1，解得a=0.020.
故选：A.
【变式2-3】（23-24高三上·天津河北·期中）某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）

A．40B．45C．50D．60
【解题思路】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.
【解答过程】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005+0.010)=0.300，
由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是150.300=50，
故选：C.
【题型3 统计图的综合应用问题】
【例3】（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是（ ）
A．2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B．2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C．2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的13
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
【解题思路】
设2022年总收入为m，则2023年总收入为2m，A选项，分别计算出2022年和2023年种植收入，得到A正确；B选项，计算出0.35×2m+0.2×2m=1.1m，B正确；C选项，分别计算出2022年和2023年外出务工收入，得到C错误；D选项，分别计算出2022年和2023年其他收入，得到D正确.
【解答过程】
设2022年总收入为m，则2023年总收入为2m，
对于A，2022年种植收入为0.4m，2023年种植收入为0.2×2m=0.4m，A正确；
对于B，2023年养殖收入和第三产业收入之和为0.35×2m+0.2×2m=1.1m，B正确；
对于C，2022年外出务工收入为0.15m，2023年外出务工收入为0.05×2m=0.1m，
是2022年外出务工收入的23，C不正确；
对于D，2022年其他收入为0.15m，2023年其他收入为0.2×2m=0.4m，
由于0.4m>2×0.15m，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多，D正确．
故选：C．
【变式3-1】（2023·河南·二模）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）
A．44~56周岁人群理财人数最多
B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐
D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
【解题思路】A.由扇形图判断；B.设总人数为a，按照扇形图得到各段人数，再由折线图求解判断；C.利用条形图判断；D.利用折线图判断.
【解答过程】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；
B.设总人数为a，
则18~30周岁人群的人均理财费用约为0.28a×3500=980a，
31~43周岁人群的人均理财费用约为0.3a×4500=1350a，
44~56周岁人群的人均理财费用约为0.37a×5500=2035a，
57周岁人群的人均理财费用约为0.05a×6200=310a，
所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误；
C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确；
D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，
故选：B.
【变式3-2】（2023·陕西商洛·模拟预测）如图为国家统计局于2023年1月20日发布的2016-2022年全国R&D经费总量与R&D经费与GDP之比的数据图表，则（ ）

A．R&D经费总量的平均数超过23000亿元
B．R&D经费总量的中位数为19678亿元
C．R&D经费与GDP之比的极差为0.45%
D．R&D经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年
【解题思路】根据数据图表逐项判断可得答案.
【解答过程】对于选项A，R&D经费总量的平均数为17×15677+17606+19678+22144+24393+27956+30870≈22617.7，
所以A错误；
对于选项B，R&D经费总量的中位数为22144亿元，所以B错误；
对于选项C，R&D经费与GDP之比的极差为2.55%−2.10%=0.45%，所以C正确；
对于选项D，R&D经费与GDP之比增幅最大的是2019年到2020年，所以D错误．
故选：C.
【变式3-3】（23-24高一下·全国·课时练习）给出如图所示的三幅统计图及四个命题：
①从折线图能看出世界人口的变化情况；
②2050年非洲人口将达到大约15亿；
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.
其中命题正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【解题思路】根据所给折线图、扇形图及条形图,可依次判断各选项.
【解答过程】①从折线图中能看出世界人口的变化情况,故①正确；
②从条形图中可得到2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错；
③从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确；
④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.
因此正确的命题有①③.
故选:B.
【知识点2 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计】
1．总体百分位数的估计
(1)概念
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个
值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)求解步骤
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p
百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
2．总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度
刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：
3．总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的
方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式.
我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差.
(2)总体（样本）方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差=
.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出
现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=.
总体标准差：S=.
(3)标准差与方差的统计意义
①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则
标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.
4．频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用
中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.
因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分
布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
【题型4 百分位数的求解】
【例4】（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85，则该学生这8次成绩的75%分位数为（ ）
A．85B．85.5C．87D．88.5
【解题思路】将题设中的数据按由小到大排列后可求75%分位数.
【解答过程】8次的数学成绩由小到大排列为：81,82,84,85,86,87,90,92，
因8×75%=6，故75%分位数为87+902=88.5，
故选：D.
【变式4-1】（23-24高三下·河北·开学考试）已知一组数据3，7，4，11，15，6，8，13，去掉一个最大值和一个最小值后所得数据的上四分位数为（ ）
A．4B．6C．11D．13
【解题思路】把新数据按由小到大排列，利用上四分位数的定义求解即得.
【解答过程】依题意，所得新数据按由小到大排列为：4，6，7，8，11，13，
由6×75%=4.5，得所得数据的上四分位数为11.
故选：C.
【变式4-2】（2024·安徽安庆·二模）在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（ ）
A．80B．78C．76D．74
【解题思路】
借助百分位数的定义计算即可得.
【解答过程】由0.005×10+0.015×10+0.020×10=0.4，
0.005×10+0.015×10+0.020×10+0.030×10=0.7，
故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，
设这次调查数据的第64百分位数为x，
则有x−7010=0.64−0.40.7−0.4，解得x=78.
故选：B.
【变式4-3】（23-24高三上·山东德州·期末）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30,31,37,m,42,60；乙组：28,n,33,44,48,70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n=（ ）
A．60B．65C．70D．71
【解题思路】根据给定条件，利用第p百分位数的定义分别求出第30百分位数和第50百分位数即可得解.
【解答过程】由30%×6=1.8，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即n=31，
第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为33+442，甲组数据的第50百分位数为37+m2，
于是37+m2=33+442，解得m=40，
所以m+n=71.
故选：D.
【题型5 众数、中位数、平均数的应用】
【例5】（2023高二下·湖南·学业考试）某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（ ）
A．162cmB．164cmC．166cmD．168cm
【解题思路】
由分层抽样与平均数的概念求解，
【解答过程】由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，
故样本平均数为170×6+160×410=166，估计该校学生的平均身高是166cm
故选：C.
【变式5-1】（23-24高二上·云南昆明·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200户居民月均用水量（单位：t），绘制成频率分布直方图如图1，则下列说法不正确的是（ ）

A．图中小矩形ABCD的面积为0.24
B．该市居民月均用水量众数约为6t
C．该市大约有85%的居民月均用水量不超过19t
D．这200户居民月均用水量的中位数大于平均数
【解题思路】由概率和为1，求得a=0.06，求出矩形ABCD的面积判断A；求出众数判断B；求出用水量不超过19t的概率判断C；求出中位数及平均数判断D.
【解答过程】解：由4(0.01+0.075+a+0.045+0.03+0.02+0.01)=1，可得a=0.06，
所以SABCD=4×0.06=0.24，故A正确；
由题意可知该市居民月均用水量众数约为4+82=6，故B正确；
由题意可得该市居民月均用水量不超过19t的频率为：4×(0.01+0.075+0.06+0.045)+19−164×4×0.03=0.76+0.09=0.85，故C正确；
设200户居民月均用水量的中位数为x1，
因为第一个矩形的面积为0.04，第二个矩形的面积为0.3，第三个矩形的面积为0.24，
所以中位数x1∈[8,12],
则x1=8+0.5−4×0.01−4×0.0754×0.06×4=8+83=323，
这200户居民月均用水量的平均数x=4×0.01×2+4×0.075×6+4×0.06×10+4×0.045×14+4×0.03×18+4×0.02×22+4×0.01×26=11.76,
因为323s2B．x1