专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一1．（2023上·辽宁大连·高三校联考期中）已知a,b,c是△ABC的内角A,B,C的对边，AD是BC边上的中线，设∠BAD=α，且α+C=90°.(1)试判断△ABC的形状；(2)若b=8,c=6，试求∠ADC的余弦值.2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=π6，sin2B−sin2A=sinAsinC．(1)判断△ABC的形状，并给出证明；(2)若c=2，点D在边AC上，且△ABD的周长为7+333，求△BCD的周长．3．（2023下·陕西安康·高一校联考期末）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a+b+cb+c−a=3bc.(1)求A的大小；(2)若b+c=2a=23，试判断△ABC的形状.4．（2023下·河北沧州·高一统考期末）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且a−b+cc=ba+b−c.(1)求A；(2)若b−c=33a，证明：△ABC是直角三角形.5．（2023下·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AB⋅AC+BA⋅BC=2CA⋅CB；(1)若cosAb=cosBa，判断△ABC的形状并说明理由；(2)若△ABC是锐角三角形，求cosC的取值范围.题型二几何图形中的计算用向量证明线段垂直用向量证明线段垂直6．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，c=22，D是BC上的中点，AD⊥AC.(1)求∠BAD的大小；(2)E是AB上一点，DE⊥AB，求DE的长度.7．（2023上·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且sinB+3cosB=2.(1)求B;(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的长.8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C2．(1)求A；(2)已知c=3，b=1，边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD．9．（2023上·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形ABCD中，对角线AC､BD交于点E，且BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=22.(1)若EC=1，求∠BAD的余弦值；(2)若∠ABD=π4，求边BC的长.10．（2023·全国·模拟预测）在①3b−ccosA=−asinC；②sinC−sinAb=sinB+sinAa+c这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．(1)求C；(2)点D在边AB上，且AD=3DB，AC⊥DC，求cosB．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．题型三 11．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c.(1)若2a=3b，求sinA；(2)证明：ab=b+ca;12．（2023上·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．  (1)试证明：BDDC=ABsin∠BADACsin∠DAC(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面积．13．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2tanA+tanB=tanAcosB+tanBcosA．（1）证明：a+b=2c；（2）求C的最大值．14．（2023下·浙江宁波·高一校联考期末）在△ABC中，内角A，B都是锐角.(1)若∠C=π3，c=2，求△ABC周长的取值范围；(2)若sin2A+sin2B>sin2C，求证：sin2A+sin2B>1.15．（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且12sin2BcosC+cos2BsinC−sinA2cosA2=0．(1)求B；(2)若△ABC外接圆的半径为3，点D为AC边的中点，证明：BD=2a2+2c2−92．题型四16．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知△ABC中，BC=3,M在线段BC上，2BM=MC,∠BAM=π6．(1)若AB=2，求AC的长；(2)求△AMC面积的最大值．17．（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA−sinCsinB+sinC=sinA+CsinA+sinC．(1)求A；(2)若角A的平分线AD交BC于点D，且AD=2，求△ABC面积的取值范围．18．（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，a2−c23=cosC−bcosAcosC+bcosA≠1.(1)求sinAsinC的值；(2)求△ABC面积的最大值.19．（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120∘≤θ0,−π2