专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1根据复数的相等条件求参数1．（2023·高一单元测试）已知复数1+xii=2−yi，x，y∈R，则x−y=（    ）A．3 B．1 C．−1 D．−32．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b∈R，复数z1=−1+ai，z2=b−3i（i为虚数单位），若z1=z2，则a+b=（    ）A．1 B．2 C．－2 D．－43．（2023·江苏·高一专题练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．(1)2x−1+(y+1)i=x−y+(−x−y)i ；(2)x2−x−6x+1+(x2−2x−3)i=0.4．（2023·全国·高一随堂练习）求满足下列条件的实数x，y的值：(1)12x−y+4x+23yi=5+14i；(2)x+y−xyi=−2+15i；(3)x2−x−2+2y2+5y+2i=0.题型2复数的模的几何意义1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知z1=2−2i，|z2−i|=1，则z2−z1的最大值为（    ）A．23 B．22 C．5+1 D．13+12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设z∈C，则在复平面内3≤z≤5所表示的区域的面积是（    ）A．5π B．9π C．16π D．25π3．（2023·全国·高一课堂例题）设z∈Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)z=2；(2)20时，该方程无实数根．4．（2023下·浙江温州·高一统考期末）关于x的一元二次方程x2+a+1x+4=0a∈R有两个根x1,x2，其中x1=1+3i.(1)求a的值；(2)设x1,x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度.题型6三角表示下复数的乘方与开方1．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω=cos2π3+i⋅sin2π3，则ω4的值是（    ）A．−ω B．1ω C．ω D．ω2．（2023·全国·高一专题练习）若ω=−12+32i，则1+ω+ω2+ω3=（    ）A．1 B．3i C．−1 D．−3i3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）任意一个复数z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcosθ+isinθ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数z1=r1cosθ1+isinθ1，z2=r1cosθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2cosθ1+θ2+isinθ1+θ2，已知复数z=12+32i，则z2023+z2+z=（    ）A．12 B．12+32i C．12−32i D．14．（2022·全国·高一专题练习）设z1=3+i，z2=1−i，z3=sinπ12+icosπ12，求z1⋅z23i9⋅z3的值.题型7复数乘、除运算的几何意义的应用1．（2023·高一课时练习）将复数1+3i对应的向量ON绕原点按顺时针方向旋转π2，得到的向量为ON1，那么ON1对应的复数是A．3−i B．3+i C．−3−i D．−3+i2．（2023·全国·高一专题练习）设复数z1=−1−i在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数为z2的辐角主值为θ，则tanθ=（    ）A．2−3 B．−2+3 C．2+3 D．−2−33．（2023下·全国·高一专题练习）把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，与向量OM重合且模相等，已知z2=−1−3i，求复数z1的代数式和它的辐角主值.4．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，点A对应的复数是3+i，向量OA绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量OC.(1)求点C对应的复数z0；(2)已知点B对应的复数z满足z−z0=1，且CB,OC=120°，求复数z.题型8复数综合1．（2022下·辽宁·高一校联考期末）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式eix=cosx+isinx，（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，x∈R），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（    ）A．eiπ−1=0 B．2cosx=e−ix+eix C．2sinx=eix−e−ix D．(22+22i)2022=−12．（2023上·上海黄浦·高三统考期末）已知复数z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：Dz= z =a+b，Dz1,z2=z1−z2．给出下列命题：①对任意z∈C，都有Dz>0；②若z是复数z的共轭复数，则Dz=Dz恒成立；③若Dz1=Dz2（z1、z2∈C），则z1=z2；④对任意z1、z2、z3∈C，结论Dz1,z3≤Dz1,z2+Dz2,z3恒成立．则其中真命题是（    ）．A．①②③④； B．②③④； C．②④； D．②③．3．（2023·高一课时练习）已知：对于任意的多项式fx与任意复数z，fz=0⇔x−z整除fx．利用上述定理解决下列问题：(1)在复数范围内分解因式：x2+x+1；(2)若x2+x+1=0，求x21+x22+x23的值；(3)求所有满足x2+x+1整除x2n+xn+1的正整数n构成的集合A．4．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对z1,z2（其中z1,z2∈C）视为一个向量，记作α=z1,z2．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量α=z1,z2，β=z1',z2'的数量积定义为一个复数，记作a⋅β，满足α⋅β=z1z1'+z2z2'，复向量α的模定义为α=α⋅α．(1)设α=1−i,i，β=3,4，i为虚数单位，求复向量α、β的模；(2)设α、β是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量a=x1,y1，b=x2,y2，（其中x1,x2,y1,y2∈R），a⋅b≤ab成立，证明：对于复向量α、β，α⋅β≤aβ也成立；②当α⋅β=aβ时，称复向量α与β平行．若复向量α=1+i,1−2i与β=i,z平行（其中i为虚数单位，z∈C），求复数z．