专题7.7 复数全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）若a∈R，则“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据纯虚数的概念进行判断即可.【解答过程】若a=2，则z=4i为纯虚数；若z=a2−4+(a+2)i为纯虚数，a∈R，则有a2−4=0a+2≠0，解得a=2.所以，当a∈R时，“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的充要条件.故选：C.2．（5分）（2023上·辽宁沈阳·高三校联考期中）复数i+1i在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】按照复数的定义展开即可.【解答过程】i+1i=−1+i，所以该复数在复平面内对应的点为−1,1，在第二象限故选：B.3．（5分）（2023·全国·高一专题练习）若z=23,argz=π6，则复数z=（    ）A．3+3i B．3+3i C．3−3i D．3−3i【解题思路】根据题意得到z=23cosπ6+isinπ6，计算得到答案.【解答过程】z=rcosθ+isinθ=23cosπ6+isinπ6=3+3i，故选：A.4．（5分）（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知复数z满足：z⋅i=1+3i（i为虚数单位），则|z|=（     ）A．22 B．1 C．2 D．2【解题思路】先求出复数z ，然后利用求模公式可得答案.【解答过程】由题意，z=1+3ii=1+3i⋅ii⋅i=−3+i−1=3−i ，则z=32+−12=2 .故选：D.5．（5分）（2023·广东深圳·深圳外国语学校二模）设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1=1−i，则z1z2=（ ）A．2 B．0 C．−2i D．−2【解题思路】根据对称特点得到z2=1+i，再利用复数乘法运算即可.【解答过程】因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1=1−i，所以z2=1+i，所以z1z2=1−i1+i=2.故选：A.6．（5分）（2023·江苏南通·校联考模拟预测）任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)(r≥0,θ∈R)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z)，我们称这个结论为棣莫弗定理．则(1−3i)2022=（    ）A．1 B．22022 C．−22022 D．i【解题思路】现将复数1−3i 表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.【解答过程】1−3i=212−32i=2cos−π3+isin−π3，∴ (1−3i)2022=22022cos−20223π+isin−20223π=22022；故选：B．7．（5分）（2023下·广东阳江·高一校考期末）设a,b∈R，i是虚数单位，若复数a+i与−1+bi互为共轭复数，则复数a+bi的模等于（    ）A．2 B．22 C．2 D．1【解题思路】根据共轭复数定义可求得a,b，根据复数模长运算可求得结果.【解答过程】∵a+i与−1+bi互为共轭复数，∴a=−1，b=−1，∴a+bi=−1−i=−12+−12=2.故选：C.8．（5分）（2023上·河南南阳·高三南阳中学期末）若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1=0的一个复数根，且z=a+bi，则z1+z=（    ）A．15−35i B．15+35i C．35−15i D．35+15i【解题思路】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出a、b，再由复数的运算和共轭复数可得结果．【解答过程】若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1=0的一个复数根，则另一个复数根为−12−32i，由韦达定理可得得−12+32i−12−32i=1a−12+32i−12−32i=−ba，解得a=1b=1，则z=1+i，所以z=1−i，故有z1+z=1−i2+i=1−i2−i2+i2−i=1−3i5=15−35i.故选：A．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023下·陕西西安·高一阶段练习）对于复数z=a+bia,b∈R，下列结论错误的是（    ）A．若a=0，则a+bi为纯虚数B．若a−bi=3+2i，则a=3,b=2C．若b=0，则a+bi为实数D．i2=−1【解题思路】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.【解答过程】对于A：当a=0，a+bi=bi，当b=0时为实数，A错误；对于B：若a−bi=3+2i，则a=3,b=−2，B错误；对于C：若b=0，则a+bi=a为实数，C正确；对于D：i2=−1，D正确.故选：AB.10．（5分）（2023下·河北邢台·高一统考期末）若复数z=m2−2m−3+m+1im∈R，则下列说法正确的是（    ）A．若z为实数，则m=−1B．若z为纯虚数，则m=3或−1C．z在复平面内对应的点不可能在第二象限D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限【解题思路】根据复数的类型即可求解m的值，即可判断AB，根据复数对应点所在象限的特征即可判断CD.【解答过程】对于A，令m+1=0⇒m=−1，A正确；对于B，m2−2m−3=0⇒m=3或−1，当m=−1时，z=0不是纯虚数，B错误；对于C，当m2−2m−3<0⇒−10，所以z在复平面内对应的点在第二象限，C错误；对于D，由于m+1≥0，故z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.故选：AD.11．（5分）（2023上·江苏苏州·高三统考期中）已知复数z满足z(3+i)=−2i，则（    ）A．|z|=1B．z的虚部为32C．z3+1=0D．z2=z【解题思路】先求出复数z，再结合复数的运算即可.【解答过程】由z(3+i)=−2i，得z=−12−32i，|z|=(−12)2+(−32)2=1，A正确；z的虚部为−32，B错误；z3+1=(−12−32i)3=1+1=2，C错误；z2=(−12−32i)2=−12+32i=z，D正确；故选：AD.12．（5分）（2023·全国·高三专题练习）把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知z2=−1−3i，则复数z1的代数形式和它的辐角分别是（    ）A．−2−2i,3π4 B．−2+2i,3π4C．−2−2i,π4 D．−2+2i,11π4【解题思路】由题意可知，z1cosπ4+isinπ4=z2cos5π3+isin5π3，求出z1，再求出z1所对应的坐标，可得辐角.【解答过程】由题意可知z1cosπ4+isinπ4=z2cos5π3+isin5π3，又z2=−1−3i=2cos4π3+isin4π3，则z1=z2cos5π3+isin5π3cosπ4+isinπ4=2cos4π3+isin4π3cos5π3+isin5π3cosπ4+isinπ4=2cos4π3+5π3−π4+isin4π3+5π3−π4=2cos11π4+isin11π4=2cos3π4+isin3π4=−2+2i，可知z1对应的坐标为−2,2，则它的辐角主值为3π4，故可以作为复数−2+2i的辐角的是3π4+2kπ，k∈Z，当k=1时，3π4+2π=11π4.故选：BD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·上海崇明·统考一模）若复数z=m2 −4+(m+2)i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 2 ．【解题思路】由复数的概念列方程组求解即可.【解答过程】由于复数z=m2 −4+(m+2)i（i为虚数单位）是纯虚数，所以m2−4=0m+2≠0，解得m=2，故答案为：2.14．（5分）（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）i是虚数单位，则3−2i1+i=a+bia,b∈R，则a+b的值为 −2 ．【解题思路】根据复数的乘法法则化简得到a−b+a+bi=3−2i，求出a+b=−2.【解答过程】由题意得a+bi1+i=3−2i，即a+ai+bi+bi2=3−2i，a−b+a+bi=3−2i，故a−b=3a+b=−2，故答案为：−2.15．（5分）（2023上·陕西铜川·高三校考期末）已知复数z满足zi=(1+2i)2，则复数z在复平面内所对应的点坐标为 (−4,−3) ．【解题思路】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答过程】zi=(1+2i)2，则z=(1+2i)2×i=(1+4i−4)×i=−4−3i，则复数z在复平面内所对应的点坐标为(−4,−3).故答案为：(−4,−3).16．（5分）（2023·全国·高一专题练习）任意一个复数Z都可以表示成三角形式即a+bi=r(cosθ+isinθ).棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，”已知复数z=12+32i，则z17+z= 1 .【解题思路】将z化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简z17+z，即可得结果.【解答过程】由z=12+32i=cosπ3+isinπ3，所以z17+z=z(z16+1)=(cosπ3+isinπ3)(cos16π3+isin16π3+1)，而cos16π3+isin16π3+1=cos4π3+isin4π3+1=12−32i=cos5π3+isin5π3，所以z17+z=(cosπ3+isinπ3)(cos5π3+isin5π3)=cos2π+isin2π=1.故答案为：1.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高一随堂练习）求下列复数的模和共轭复数：(1)z1=12−5i；(2)z2=3i；(3)z3=3−i；(4)z4=6．【解题思路】根据复数的模和共轭复数的定义对（1）（2）（3）（4）逐一求解即可.【解答过程】（1）z1=122+−52=13,z1=12+5i；（2）z2=3,z2=−3i；（3）z3=32+−12=2,z3=3+i；（4）z4=6,z4=6.18．（12分）（2023下·江苏镇江·高一校联考阶段练习）计算(1)3+4i12+5i；(2)1+i6+2+3i3−2i【解题思路】（1）根据复数的乘法法则及模长公式计算即可；（2）利用复数的乘方及除法运算即可.【解答过程】（1）3+4i12+5i=36+63i+20i2=16+63i⇒3+4i12+5i=162+632=65；（2）1+i6+2+3i3−2i=2i3+2+3i3+2i3−2i3+2i=−8i+6+5i−63+2=−7i.19．（12分）（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）已知复数z=mm−1+m2+2m−3i，当m取何实数值时，复数z是：(1)纯虚数；(2)z=2+5i；(3)z对应的点位于复平面的第四象限【解题思路】（1）利用纯虚数的定义列式计算作答.（2）利用复数相等，列式求解作答.（3）利用复数对应点的位置，列出不等式求解作答.【解答过程】（1）若复数是纯虚数，则m(m−1)=0m2+2m−3≠0，解得m=0，所以当m=0时，复数z是纯虚数.（2）依题意，m(m−1)=2m2+2m−3=5，解得m=2，所以当m=2时，z=2+5i.（3）依题意，m(m−1）>0m2+2m−3<0 ，解得−3