专题8.12 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023上·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）下列结论正确的是（    ）A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解题思路】根据平行六面体、三棱锥、圆锥、圆台的母线的概念进行逐项分析即可.【解答过程】对于A：底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确；对于B：如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示：故B错误；对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥，显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C错误；对于D：过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，故D错误；故选：A.2．（5分）（2023下·甘肃白银·高一校考期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为（ ）A．22 B．2 C．42 D．2【解题思路】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答.【解答过程】在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4,A′B′=2，则O′C′=4−22+22=22，直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，BC//OA,OC⊥OA,OA=2BC=4,OC=2O′C′=42，所以该平面图形的高为42.故选：C.3．（5分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若一个圆锥的母线长为l，且其侧面积与其轴截面面积的比为2π:1，则该圆锥的高为（   ）A．l2 B．l3 C．l4 D．l5【解题思路】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.【解答过程】设圆锥底面圆半径为r，圆锥高为ℎ，依题意，πrl12×2r×ℎ=2π，解得ℎ=l2，所以该圆锥的高为l2.故选：A.4．（5分）（2023上·江苏南京·高三南京外国语学校期中）设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（    ）A．若m//n，m//α，则n//α B．若m⊥n，n⊥l，则m⊥lC．若m⊥α，m//n，则n⊥α D．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ【解题思路】根据空间中直线和平面的位置关系的判定定理和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对A：若m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故A错误；对B：如下图所示，直线m⊥n，n⊥α，则n垂直于平面α内的任意一条直线l，则m,l的位置关系是任意的，故B错误.对C：若m⊥α，m//n，则n⊥α，故C正确；对D： 若α⊥β，β⊥γ，则α，γ的位置关系是任意的，故D错误； 故选：C.5．（5分）（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖）如图，两底面直径AB=20cm，CD=12cm，高为18cm．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是9cm，则该雨量器收集的雨水体积（cm3）为（    ）  A．420π B．444π C．448π D．732π【解题思路】先确定雨水的上底面直径，然后根据圆台的体积公式求解出结果.【解答过程】如下图所示，因为雨水的高度是收集器高度的12，所以EF是梯形ABDC的中位线，所以EF=AB+CD2=16cm,所以雨水的体积为13×9×π×1622+π×1222+π×1622×π×1222=444πcm3，故选：B.  6．（5分）（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AA1与平面ABC1D1所成的角为（    ）A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．90∘【解题思路】连接A1D，证明A1D⊥平面ABC1D1，则∠D1AA1即为直线AA1与平面ABC1D1所成角的平面角，即可得解.【解答过程】连接A1D，则AD1⊥A1D，因为AB⊥平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1=A,AB,AD1⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以∠D1AA1即为直线AA1与平面ABC1D1所成角的平面角，在等腰直角三角形AA1D1中，∠D1AA1=45∘，所以直线AA1与平面ABC1D1所成的角为45∘.故选：B.7．（5分）（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）设平面α//平面β，点A∈α，点B∈β,C是AB的中点，当A,B分别在平面α,β内运动时，那么所有的动点C（    ）A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．共面【解题思路】利用点线面的位置关系可知，动点C形成的轨迹是平行于α（或β）的平面即可得出结论.【解答过程】根据题意可知，点C应在过AB的中点且平行于α（或β）的平面内，因此当A,B分别在平面α,β内运动时，所有的动点C共面.故选：D.8．（5分）（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD=60∘，点E，F分别是线段AD，BC上的点，且AE=BF=2．将四边形ABFE沿EF翻折，当折起后得到的几何体AED−BFC的体积最大时，下列说法其中正确的是（    ）  A．AD⊥EFB．AB⊥CFC．平面DEFC⊥平面ABFED．平面ADE⊥平面ABFE【解题思路】根据给定条件，推理判断几何体AED−BFC为三棱柱，求出其体积表达式，进而判断几何体的特征，再逐项判断即可.【解答过程】在几何体AED−BFC中，DE//CF,CF⊂平面CFB，DE⊄平面CFB，AE//BF,BF⊂平面CFB，AE⊄平面CFB，则DE//平面CFB，AE//平面CFB，而DE∩AE=E,DE,AE⊂平面ADE，因此平面ADE //平面CFB，显然AB//CD//EF,AB=CD=EF，即四边形ABCD,ABFE,CDEF都是平行四边形，且△ADE≌△BCF，因此几何体AED−BFC是三棱柱，在菱形ABCD中，作BG⊥CD于G，交EF于O，则BG⊥EF，OB=3,OG=23，  在几何体AED−BFC中，OB⊥EF,OG⊥EF,OB∩OG=O,OB,OG⊂平面BOG，则EF⊥平面BOG，显然S△BOG=12OB⋅OGsin∠BOG=3sin∠BOG，几何体AED−BFC的体积V=S△BOG⋅EF=18sin∠BOG≤18，当且仅当∠BOG=90∘时取等号，因此几何体AED−BFC的体积最大时，BO⊥OG，而OG∩EF=O,OG,EF⊂平面DEFC，于是BO⊥平面DEFC，又BO⊂平面ABFE，从而平面DEFC⊥平面ABFE，C正确；  由BG⊂平面BOG，则EF⊥BG，又EF//CD，则CD⊥BG，而G是CD中点，即CD不垂直于BC，而AD//BC，因此CD不垂直于AD，EF不垂直于AD，A错误；显然∠FCD=60∘，则AB与CF成60∘角，因此AB,CF不垂直，B正确；假定平面ADE⊥平面ABFE，由平面ADE //平面CFB，得平面CBF⊥平面ABFE，在平面ABFE内过O作OH⊥BF于H，而平面CBF∩平面ABFE=BF，则OH⊥平面CBF，又CF⊂平面CBF，则OH⊥CF，由BO⊥平面DEFC，CF⊂平面DEFC，得BO⊥CF，而BO∩OH=O,BO,OH⊂平面ABFE，于是CF⊥平面ABFE，又EF⊂平面ABFE，因此CF⊥EF与∠CFE=120∘矛盾，即假定是错的，D错误.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023下·甘肃白银·高一校考期中）下列说法中不正确的是（    ）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【解题思路】根据几何体的结构特征逐项分析判断可得答案.【解答过程】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；故选：ACD.10．（5分）（2023下·陕西西安·高一期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（    ）A．直线AF与直线DE相交；B．直线CN与直线DE平行；C．直线BM与直线DE是异面直线；D．直线CN与直线BM成60°角.【解题思路】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确.【解答过程】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A中，直线AF与DE不同在任何一个平面内，否则A,D,E,F四点共面，（矛盾），所以直线AF与DE为异面直线，所以A不正确；对于B中，直线CN与DE不同在任何一个平面内，否则C,D,E,N四点共面，（矛盾），所以直线CN与DE为异面直线，所以B不正确；对于C中，平面ADNE//平面BCMF，DE⊂平面ADNE，BM⊂平面BCMF，所以直线BM与DE不相交，连接AN，则BM//AN，而AN与DE相交，所以BM与DE不平行，否则BM//DE,AN//DE，不合题意，所以直线BM与DE是异面直线，所以C正确；对于D中，连接AC，则△ANC为正三角形，可得∠ANC=60∘，又由BM//AN，则∠ANC为直线CN与直线BM所成的角，即直线CN与直线BM所成的角为60∘，所以D正确.故选：CD.11．（5分）（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则下列关于该圆锥的结论正确的是（    ）A．体积等于33π B．过顶点的截面面积最大值等于2C．外接球的体积等于32327π D．内切球的表面积等于2π【解题思路】A项，求出圆锥的底面半径和高，即可求出体积；B项，写出过顶点的截面面积表达式即可得出最大值；C项，求出外接球半径，即可得出外接球体积；D项，求出内切球半径，即可得出内切球表面积.【解答过程】由题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，所以l=22πr=12⋅2π×2，解得l=2r=1，所以圆锥的高ℎ=l2−r2=3，所以圆锥的体积V=13Sℎ=13πr2ℎ=33π，A正确．设过顶点的截面三角形顶角为θ，则0