专题9.3 统计图的相关运算大题专项训练【七大题型】-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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专题9.3 统计图的相关运算大题专项训练【七大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一绘制、补全频率分布直方图1．（22-23高一下·河北衡水·期末）杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：  (1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；(2)请补全频率分布直方图．【解题思路】（1）根据分层抽样的定义按比例求解即可；（2）由各组的频率和为1求出第三组的频率，从而可求出第三组的小矩形的高度，进而可补全频率分布直方图.【解答过程】（1）报名的学生共有1080人，抽取的比例为1201080=19，所以高一抽取540×19=60人，高二抽取360×19=40人，高三抽取180×19=20人；（2）第三组的频率为1−0.1+0.15+0.3+0.25+0.05=0.15，故第三组的小矩形的高度为0.015，补全频率分布直方图得  2．（22-23高一下·山西晋中·阶段练习）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02        40.00        39.98        40.00        39.9940.00        39.98        40.01        39.98        39.9940.00        39.99        39.95        40.01        40.0239.98        40.00        39.99        40.00        39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；  (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【解题思路】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.(2)计算抽样产品在39.98,40.02的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.【解答过程】（1）频率分布表如下：频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．  （2）因为抽样的20只产品中在39.98,40.02范围内的有18只，所以合格率为1820×100%=90%．所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．3．（22-23高一下·广东江门·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，74，94，84，101，93，85，97，84，85，104  (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差；(2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图．【解题思路】（1）由中位数和极差的计算方法计算即可；（2）由绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤进行绘制即可.【解答过程】（1）将样本数据由小到大排序，结果如下：74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为89+912=90.由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为107−74=33.（2）由（1）中对数据排序可得频率分布表如下：由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下:故频率分布直方图如图所示：  4．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：   (1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）.(2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？【解题思路】（1）先补全频率分布表，然后完成频率分布直方图.（2）根据分层抽样的知识求得正确答案.【解答过程】（1）第1组的频数为100×0.1=10，所以①填100−10−20−20−10=40，对应频率0.4；②填20100=0.2，由此补全频率分布表如下：由此补全频率分布直方图如下：  （2）第3，4，5组的频率之比为0.200:0.200:0.100=2:2:1，所以第3,4,5组分别抽取2人，2人，1人.5．（22-23高二下·陕西榆林·期中）小刘从事陕北红枣批发多年，有很多客户，小刘把去年采购陕北红枣的数量x（单位：箱）在[100,200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：已知去年“大客户”们采购的陕北红枣数量占小刘去年总销售量的35.(1)根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在150箱以下（含150箱）的“大客户”数；(2)估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【解题思路】（1）根据已知条件补全频率分布直方图，并由此进行估计；（2）先求得“大客户”采购总数，由此估计总销售量.【解答过程】（1）作出频率分布直方图如图所示.根据上图，可知采购量在150箱以下（含150箱）的“大客户”人数估计是100×20×0.01+0.01+0.005×150−14020=45（人）.（2）去年“大客户”所采购的陕北红枣总数大约为110×20+130×20+150×10+170×40+190×10=15000（箱），所以小刘去年总的销售量为15000÷35=25000（箱）.题型二频率分布直方图的相关计算问题用向量证明线段垂直用向量证明线段垂直6．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图：(1)求直方图中x的值，并说明在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？(2)在月平均用电量为220,240,240,260,260,280,280,300的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为220,240的居民中应抽取多少户？【解题思路】（1）由直方图的性质可得关于x的方程，解方程即可；再根据频数的计算公式即可求解月平均用电量不低于220度的用户数；（2）由（1）可得抽取比例，从而可得要抽取的户数.【解答过程】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则(0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125)×20=1，得x=0.0075；月平均用电量为220,240的用户有0.0125×20×100=25户月平均用电量为240,260的用户有0.0075×20×100=15户月平均用电量为260,280的用户有0.005×20×100=10户月平均用电量为280,300的用户有0.0025×20×100=5户所以月平均用电量不低于220度的有25+15+10+5=55户（2）由（1）可知，抽取比例=1125+15+10+5=15所以月平均用电量在220,240的用户中应抽取25×15=5户.7．（2024·四川成都·二模）2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“3+1+2”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“3+1”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比例分别约为15%,35%,35%,13%,2%.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到100∼86,85∼71,70∼56,55∼41,40∼30五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表：已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分.(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分.【解题思路】（1）根据已知条件及待定系数法即可求解；（2）根据已知条件及频率分布直方图的特点即可求解.【解答过程】（1）设转换公式中转换分y关于原始成绩x的一次函数关系式为y=ax+b.则78=84a+b71=78a+b，解得a=76b=−20，∵转换分的最高分为85，∴85=76x−20.解得x=90.故该市本次化学原始成绩B等级中的最高分为90分.（2）∵100.005+0.010+0.012+0.015+0.033+a=1，∴a=0.025.设化学原始成绩B等级中的最低分为x，∵10×0.010+10×0.015+10×0.025=0.5,∴x=70综上，化学原始成绩B等级中的最低分为70.8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是96,106（单位：厘米），样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].(1)求出x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于98,104的人数.【解题思路】（1）由频率直方图数据，根据频率和为1列方程求参数；（2）由直方图求样本中身高小于100厘米的频率p1，结合p1=36N，即可求总样本量N；（3）确定身高区间98,104的频率，结合（2）的总样本量求区间人数.【解答过程】（1）由题意0.050+0.100+0.150+0.125+x×2=1，解得x=0.075.（2）设样本中身高小于100厘米的频率为p1，则p1=0.050+0.100×2=0.300.而p1=36N，故N=36p1=360.300=120.（3）样本中身高位于98,104的频率p2=0.100+0.150+0.125×2=0.750，身高位于98,104的人数n=p2N=0.750×120=90（人）.9．（2023高三上·全国·专题练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得.（2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可.【解答过程】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，解得x＝0.06，身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.（2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，由题意可知A组抽取人数为30×630+20+10＝3，B组抽取人数为20×630+20+10＝2，C组抽取人数为10×630+20+10＝1，故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1.10．（23-24高二上·浙江·期中）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a和n的值；(2)若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x吨，试估计x的值；(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时，按3元/吨计算，超出x吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【解题思路】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【解答过程】（1）∵0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a×3=1，∴a=1300.∵用水量在9,12的频率为0.065×3=0.195，∴n=390.195=200（户）（2）∵0.015+0.025+0.050+0.065+0.085×3=0.720.8，∴15+3×0.80−0.720.87−0.72=16.6（吨）（3）设该市居民月用水量最多为m吨，因为16.6×3=49.816.6，则w=16.6×3+m−16.6×5≤70，解得m≤20.64，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．题型三统计图的综合应用问题11．（23-24高一上·全国·单元测试）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图         用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．【解题思路】（1）根据用户用水量在10~15吨的户数以及所占比例得出样本容量；（2）由样本容量减去用水15～20吨之外的户数，即可得出用水15～20吨的户数，再由用水15～20吨的户数占样本容量的比例求出圆心角；（3）将样本中享受基本价格的户数所占样本的比例乘以6得出答案.【解答过程】（1）10÷10%=100；（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，“15～20吨”部分的圆心角的度数为360°×22100=79.2°（3）6×10+22+36100=4.08(万户)所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．12．（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统计图，如图所示.根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了________名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数.【解题思路】（1）根据看电视的人数和比例，即可求出本次调查的市民人数；（2）根据第一问（1）中的总人数乘以对应的比例即可得到晚饭后选择“其他”的人数，由此可知晚饭后选择“锻炼”的人数等于总调查人数减去“阅读”、 “看电视”和“其他”的人数，即可补全条形统计图；（3）根据本次调查晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例，乘以480万，即可估计出该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数．【解答过程】（1）本次共调查的市民人数为800÷40%＝2 000，故填2 000.（2）晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%＝560，晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000－800－240－560＝400.将条形统计图补充完整，如图所示.（3）晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为400÷2 000＝20%，故该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为480×20%＝96(万)．13．（2023·河南郑州·三模）2021年5月19日是第11个“世界家庭医生日”．某地区自2016年开始全面推行家庭医生签约服务．已知该地区人口为1000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示：（1）国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①60岁以上人口占比达到7%以上；②少年人口（14岁以下）占比30%以下；③老少比30%以上；④人口年龄中位数在30岁以上．请任选两个角度分析该地区人口分布现状；（2）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为44%，为把该地区年满18岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．【解题思路】（1）根据频率分布直方图可得出结论；（2）根据折线统计图可得出71~80岁且已签约家庭医生的频率，乘以1000万可得结果；（3）根据频率分布直方图、折线统计图计算出每个年龄段的签约率，由此可得出结论.【解答过程】解：（1）①60岁以上人口比例是：0.01+0.003+0.0025+0.0005×10=0.16；②少年（14岁以下）人口比例小于0.01+0.005×10=0.15；③老少比大于0.160.15>0.3=30%；④由于1~41岁人口比例0.51，所以年龄中位数在31~40岁范围内.所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化；（2）由折线统计图可知，该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数0.03×0.7×1000=21（万人）；（3）由图1、2可知该地区年龄段18~30岁的人口为180~230万之间，签约率为30.3%；年龄段31~50岁的人口数为0.02+0.016×10×1000=360万，签约率为37.1%；年龄段51~60岁的人口数为0.015×10×1000=150万，签约率为55.7%；年龄段61~70岁的人口数为0.01×10×1000=100万，签约率为61.7%；年龄段71~80岁的人口数为0.003×10×1000=30万，签约率为70%；年龄段80岁以上的人口数为0.0025+0.0005×10×1000=30万，签约率为75.8%．由以上数据可知，这个地区在31~50岁这个年龄段人数为360万，基数较其他地区是最大的，且签约率仅为37.1%，比较低，所以应着重提高此年龄段的签约率.14．（23-24高一下·全国·课后作业）某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图（1）是根据这组数据绘制的条形统计图.请结合统计图回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？（3）若该校九年级共有200名学生，图（2）是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数为多少.【解题思路】（1）直接由条件图中人数相加可得答案；（2）求出最喜欢篮球活动的有18人，再除以50可得比例；（3）根据扇形统计图可求得全校学生人数，再由喜欢跳绳活动的比例乘以全校总人数，即可求得答案.【解答过程】（1）由题图（1）知：4+8+10+18+10=50（名）.即该校对50名学生进行了抽样调查.（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，1850×100%=36%.即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.（3）1−30%+26%+24%=2085，200÷20%=1000（人），850×100%×1000=160（人），所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数为160人.15．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题.（1）表中的n=_________，中位数落在_________组，扇形统计图中B组对应的圆心角为_________°；（2）请补全频数分布直方图；（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在E组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率.【解题思路】（1）根据扇形统计图中A组的频率，计算出样本总数为80，由此求得n的值.由于样本总数为80，故中位数是第40,41个学生学习时间的平均数，由此确定中位数落在C组.通过B组的频率计算出B组对应的圆心角的度数.（2）根据（1）中计算的n的值，补全频数分布直方图.（3）画树状图求得基本事件的总数为12，其中符合“抽取的两名学生都来自九年级”的事件数为2，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【解答过程】解：（1）8÷10%=80，n=15%×80=12，∵总人数为80人，∴中位数落在第40、41个学生学习时间的平均数，8+24=3240，∴中位数落在C组，B：2480×360°=108°，故答案为12，C，108；（2）如图所示（3）画树状图为：共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，∴P两个学生都是九年级=212=16，答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为16.题型四频率分布直方图中总体百分位数的估计16．（2024·贵州毕节·二模）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为3,5，5,7，7,9，…，17,19，19,21九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；(2)据统计，在样本数据3,9，9,15，15,21的会员中体检为“健康”的比例分别为15，13，35，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.【解题思路】（1）根据频率分布直方图和总体百分位数的定义直接求解即可.（2）设任取的会员数据在3,9，9,15，15,21中分别为事件A1，A2，A3，先求出对应概率，即可求解体检为“健康”的概率.【解答过程】（1）解：（1）由于在3,13的样本数据比例为：0.01+0.02+0.12+0.17+0.23=0.55∴样本数据的70%分位数在13,15内∴估计为：13+2×0.7−0.550.75−0.55=14.5.（2）（2）设任取的会员数据在3,9，9,15，15,21中分别为事件A1，A2，A3，∴PA1=0.01+0.02+0.12=0.15，PA2=0.17+0.2+0.23=0.6，PA3=0.17+0.06+0.02=0.25设事件A=在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”PA=0.15×15+0.6×13+0.25×35=0.38.17．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．  (1)求a、b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）.【解题思路】（1）根据频率分布直方图中频率的计算方法及性质，列出方程，即可求解；（2）根据频率分布直方图中百分位数的计算方法，即可求解.【解答过程】（1）解：由题意，因为第三、四、五组的频率之和为0.7，可得(0．045+0．020+a)×10=0．7，解得a=0．005，所以前两组的频率之和为1−0．7=0．3，即(a+b)×10=0．3，所以b=0．025.（2）解：由前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x，则(x−65)×0．045=0．6−0．3，解得x≈71．7，故第60百分位数为71.7．18．（22-23高一下·浙江宁波·期末）某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计该校学生数学成绩的平均数；（3）估计该校学生数学成绩的第75百分位数．【解题思路】（1）利用各组频率和为1，列方程可求出a的值；（2）直接计算平均数即可；（3）由于50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，从而可知第75百分位数在80到90之间，从而可计算得到【解答过程】解：（1）由于组距为10，所以有a+0.02+0.025+0.035+a=0.1，从而a=0.01．（2）平均数0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95 =75.5分．（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以第75百分位数为80+0.75−(0.1+0.2+0.35)0.25×10=84分．19．（23-24高二上·上海黄浦·期末）某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），这组数据的频率分布直方图如图所示．(1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡（不含1.90千大卡）的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内；(2)已知摄取热量范围在1.90,2.00的数据为：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96， 1.97， 1.98，1.99．若1.91是这100个样本数据的第k百分位数，求正整数k的值．【解题思路】（1）利用频数分布直方图的性质计算即可.（2）利用百分位数的定义求解即可.【解答过程】（1）∵小长方形面积和为1，∴0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+a+1.5+0.8+0.6+0.4)=1，解得a=2.1，故比例为2.1×0.1×100%=21%，综上有21%的女大学生摄取的热量在此范围之内，（2）在区间1.40,1.90内有100×0.1×(0.6+1.1+1.1+1.8+2.1)=67个数，所以1.91是这100个样本数据的第70,71,72个数，则第70,71个数的平均数，或第71,72个数的平均数为1.91，同时，第69,70个数的平均数，或第72,73个数的平均数皆不是1.91，因为k∈Z∗，所以100×k%=k为整数，所以当1.91是这100个样本数据的第k百分位数时，必有k=70或k=71，故k的值为70或71.20．（23-24高二上·上海长宁·期末）某市采用“3+3”高考模式，其中第一个“3”指“语、数、外”三个必选学科，第二个“3”指选考学科，学生可在“物理、化学、政治、生物、地理、历史”这六门学科中选三科参加高考．选考学科通过等级赋分的方式计入总成绩．按等级赋分是将学生每门的原始成绩从高到低按所占比例划定为11个等级，每个等级所占比例和换算分值如下表所示．2023年，某市约有50000名学生参加高考.在高考阅卷中，为初步了解物理学科的情况，随机抽取了100名学生的物理学科原始成绩，统计数据如下：100  97  96  94  94  92  91  90  90  90  89  89  89  88  88  88  87  87  86  8585  85  84  84  83  83  82  82  82  81  81  80  80  80  79  79  78  78  77  7676  76  75  75  75  75  74  74  74  74  73  73  72  71  71  70  70  70  69  6868  68  67  67  66  65  65  65  64  64  63  62  62  61  61  60  60  60  59  5959  58  58  57  57  56  56  56  55  55  54  53  53  52  51  48  43  32  23  13(1)根据统计数据，结合等级赋分的方式，预估此次物理学科赋分等级为B的大致分数线．(2)根据统计数据画出频率分布直方图，并据此估计本次高考中成绩在70,80区间内的人数；(3)若某学生估计原始成绩为63分，试估计该学生的成绩在本次高考中处于第几百分位数，并根据等级赋分规则估计在此次高考中他的物理成绩．【解题思路】（1）先找到赋分等级为B的换算分数对应的人数的占比的区间，结合题中所给数据即可得解.（2）求出各个区间内的人数，然后除以人数，再除以组距即可画出频率分布直方图，进一步可估计在70,80区间内的人数.（3）由题中所给数据先估计该学生的成绩在本次高考中的百分位数，然后结合（2）中频率分布直方图列方程即可求解.【解答过程】（1）由题意按赋分制物理学科赋分等级为B的换算分数为61分，将这些换算分数对应的人数的占比的区间从小到大排列可知，赋分等级为B的区间为0.65,0.75，对比随机抽取的100名学生的物理学科原始成绩可知，赋分等级为B的人的原始成绩分别为：74 ，74， 74， 74， 73， 73， 72， 71，71，70， 70，70；因此预估物理学科赋分等级为B的大致分数线为70~74分.（2）由题意在区间10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100内的人数分别为1,1,1,2,17,20,24,24,10.据此可以画出频率分布直方图如图所示：估计本次高考中成绩在70,80区间内的人数为50000×0.024×10=12000人.（3）对随机抽取的100名学生的物理学科原始成绩从小到大排列，可知原始成绩为63分的分数是第30个数，所以估计该学生的成绩在本次高考中处于第30百分位数，结合（2）中分析可知，估计在此次高考中他的物理成绩在区间60,70，不妨设为x，则0.01+0.01+0.01+0.02+0.17+0.020×x−60=0.3，解得x=64，估计在此次高考中他的物理成绩为64分.题型五频率分布直方图中集中趋势参数的计算21．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成A、B两组，每组50株，其中A组绿植喷甲农药，B组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70．(1)求乙农药残留百分比直方图中a,b的值；(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）【解题思路】（1）由的估计值为0.70，可得a+0.20+0.15=0.7，求得a值，再由整体频率为1即可求得；（2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解；（3）中位数在使得直方图面积为0.5处取得，经计算即可得解.【解答过程】（1）C为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：a+0.20+0.15=0.70.05+b+0.15=1−0.7,解得a=0.35b=0.10,所以乙农药残留在表面的百分比直方图中a=0.35,b=0.10．（2）估计甲农药残留百分比的平均数为：x甲=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．（3）设乙农药残留百分比的中位数为x，则0.05+0.10+0.15×1+0.35×x−5.5=0.5,解得x≈6.07，所以估计乙农药残留百分比的中位数约为6.07.22．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）【解题思路】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得；（2）以所得频率估计概率计算即可得；（3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得.【解答过程】（1）由分组[10,15)对应的频数是10，频率是0.20，知10M=0.20，所以M=50，所以10+24+m+2=50，解得m=14，所以p=mM=1450=0.28，a=2450×5=0.096；（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为2450×300=144；（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是15+202=17.5．因为n=2450=0.48，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足：0.2+(x−15)×0.485=0.5，解得x=18.125，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，由12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3.23．（23-24高一上·河南南阳·期末）某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值，并估计该面包店去年（按360天算）三明治日销售量不少于100个的天数；(2)估计该面包店去年三明治日销售量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(3)由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有70%的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作多少个三明治.【解题思路】（1）根据小长方形的面积和为1求出a，计算日销售量不少于100个的频率，进而得解；（2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解；（3）根据百分位数的计算方法求解.【解答过程】（1）由(2×0.0025+2a+0.035+0.04)×10=1，解得a=0.01.日销售量不少于100个的频率为(0.01+0.0025)×10=0.125，则估计该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为360×0.125=45.（2）由题图知，平均数为x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10 =89.75，故估计该面包店去年三明治日销售量的平均数为89.75.（3）由题意，即求三明治日销售量的70%分位数，设为m.[60,90)对应的频率0.5250.7，故m∈[90,100).由0.7−0.525=0.175，得90+0.1750.035=95，故估计每天应该制作95个三明治.24．（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）为弘扬中华民族优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人根本任务，珠海市组织3000名高中学生进行古典诗词知识测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理所得频率分布直方图如图：(1)规定成绩不低于60分为及格，不低于85分为优秀，试估计此次测试的及格率及优秀率；(2)试估计此次测试学生成绩的中位数；(3)已知样本中分数不低于80分的男女生人数相等，且样本中有13的男生分数不低于80分，试估计参加本次测试3000名高中生中男生和女生的人数.【解题思路】（1）根据频率分布直方图，求得各组数据对应的频率，进而求得及格率与优秀率；（2）利用频率分布直方图求中位数的方法列式计算即可；（3）先求得不低于80分的总人数，即可得出样本中男生和女生的人数，根据分层抽样的特征，即可求得参与测试的男生和女生人数.【解答过程】（1）观察频率分布直方图，在[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率分别为：0.05,0.05,0.1,0.15,0.25,0.3,0.1，所以此次测试的及格率的估计值为：0.15+0.25+0.3+0.1=0.8，此次测试的优秀率的估计值为：0.32+0.1=0.25.（2）由频率分布直方图知，在[30,70)的频率为：0.05+0.05+0.1+0.15=0.35，在[30,80)的频率为0.6，此次测试学生成绩的中位数在(70,80)，它是70+0.5−0.350.25×10=76.（3）样本中分数不低于80分的学生共有100(0.3+0.1)=40人，而样本中分数不低于80分的男女生人数相等，因此分数不低于80分的男生有20人，依题意，样本中男生有60人，女生有40人，由分层抽样可得该市高中男生60100×3000=1800人,女生40100×3000=1200人.25．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550)，[550,650)（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：  (1)估计这组数据的平均数；(2)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?【解题思路】（1）根据区间的频率和区间的中点的坐标即可求得这组数据的平均数；（2）根据两个不同方案分别进行求解计算再判断即可.【解答过程】（1）100(0.0017×200+0.0020×300+0.0030×400+0.0025×500+0.0008×600)=34+60+120+125+48=387故这组数据的平均数估计为387克.（2）方案①收入：20000×387÷1000×10=77400（元）；方案②收入：100(0.0017+0.0020)×20000×3+100(0.0030+0.0025+0.0008)×20000×5=0.37×60000+0.63×100000=85200（元）；由于85200>77400，所以选择方案②获利更多.题型六频率分布直方图中总体离散程度的估计26．（2024高一下·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，⋯，90,100得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在50,60的平均成绩是61，方差是7，落在60,70的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2.【解题思路】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值.（2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案.（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；根据由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差.【解答过程】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1所以a=0.030.（2）成绩落在40,80内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，落在40,90内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9，显然第75百分位数m∈(80,90)，由0.65+(m−80)×0.025=0.75，解得m=84，所以第75百分位数为84.（3）由频率分布直方图知，成绩在50,60的市民人数为100×0.1=10，成绩在60,70的市民人数为100×0.2=20，所以z=10×61+20×7010+20=67；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为s2=110+20{10[7+(61−67)2]+20[4+(70−67)2]}=23.27．（23-24高一上·江西景德镇·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50,50,60,⋅⋅⋅,90,100得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值和样本成绩的四分位数；(2)已知落在60,70的平均成绩是65，方差是11，落在70,80的平均成绩为75，方差是16，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；（2）由60,70和70,80组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差.【解答过程】（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，0.005×10+0.010×10+0.020×10+a×10+0.025×10+0.010×10=1，解得a=0.030．四分位数分别为第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，设第25百分位数为x，则0.005×10+0.010×10+x−60×0.020=0.25,x=65；设第50百分位数为y,则0.05+0.1+0.2+y−70×0.03=0.5,y=75；设第75百分位数为z,则0.05+0.1+0.2+0.3+z−80×0.025=0.75,z=84；所以该数据的四分位数分别为65，75，84.（2）由图可知，成绩在60,70的市民人数为100×0.2=20，成绩在70,80的市民人数为100×0.3=30，所以z=20×65+30×7550=71；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为s2=15020×11+65−712+30×16+75−712=38．28．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50≤x