高一下学期期中复习填空题压轴题十七大题型专练-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

这是一份高一下学期期中复习填空题压轴题十七大题型专练-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册），文件包含高一下学期期中复习填空题压轴题十七大题型专练原卷版docx、高一下学期期中复习填空题压轴题十七大题型专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。

题型1
向量线性运算的几何应用
1．（22-23高一下·山东菏泽·期末）在△ABC中，点O是线段BC上的点，且满足OC=3OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且AB=mAE，AC=nAF，其中m>0且n>0，若1m+2n的最小值为 .
2．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB−OC|=|(OB−OA)+(OC−OA)|，则△ABC的形状为 .
3．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）ΔOAB中，∠AOB角平分线交AB于点C．设OA=a， OB=b，OC=c，且c=λa+μb.给出下列结论：① λ+μ=1；②λ=12，μ=12；③ λ=13，μ=23；④λ=ba+b,μ=aa+b；⑤ λ=aa+b,μ=ba+b.其中命题一定正确的序号是 .（把你认为正确的都填上）
4．（22-23高一下·福建泉州·期中）已知点O为正△ABC所在平面上一点，且满足OA+γOB+1+γOC=0，点M为正△DEF所在平面上一点，若△OAC的面积与△OAB的面积比值为1∶4，且3γMD+9γME+12γMF=0，则△MDE面积的与△MDF的面积的比值为 ．
题型2
向量的数量积问题
5．（23-24高二上·广西贵港·期末）若单位向量a，b满足a→−3b→=2a→+b→，则a⋅b= ．
6．（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2且∠BAD=60°，M为边CD的中点，AD在AB上投影向量是AD′，则AD′⋅AM= .

7．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若AB⋅AO=1，则PA⋅PB的最小值为 .
8．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O是△ABC的 心(填“内”、“外”、“重”、“垂”)，若△ABC的内角A=π3，边BC=2，则OB⋅BABA+CO⋅CACA的最大值是 ．
题型3
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
9．（2023高二·全国·专题练习）已知e1，e2是夹角为60∘的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角是 .
10．（22-23高一下·江苏徐州·期中）设e1，e2为单位向量，满足2e1−e2≤2，a=e1+e2，b=2e1+e2，设a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为 ．
11．（23-24高一·全国·课时练习）已知a=2， b=3，a与b的夹角为60°.若a+λb与λa+b的夹角锐角，则实数λ的取值范围为 .
12．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量a，b，满足|a→|=1,|b→|=4，若对任意模为2的向量c，均有|a→⋅c→|+|b→⋅c→|≤221，则向量a,b的夹角的取值范围为 .
题型4
平面向量基本定理的应用
13．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP=16BA+12BC，则S△BPDS△BPE的值为 .
14．（22-23高一下·河北保定·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=λME−MB，则λ的取值范围为 .
15．（23-24高一·全国·单元测试）如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为 ．
16．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=2DC，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F交两点不重合）.若AD=mAB+nAC，则mn= ，若AE=λAB，AF=μAC，则λ+μ的最小值为 .
题型5
向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
17．（2023高三·全国·专题练习）在△ABC中，已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3)，OC=14OA,OD=12OB，AD与BC交于点M，则点M的坐标为 .
18．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如右图）．若点P在四个半圆的圆弧上运动，则AC⋅OP的取值范围是 .
19．（23-24高三上·天津和平·期中）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60∘，若P为CD的中点，则AP⋅BD值为 ；若点E为AB边上的动点，点F是AD边上的动点，且AE=λAB，AF=1−λAD，0≤λ≤1，则DE⋅BF的最大值为 .
20．（23-24高二上·江苏常州·开学考试）已知点P在△ABC所在的平面内，则下列4个结论中正确的有 .
①若P为△ABC的外心，AB=3，AC=5，则PA⋅BC=−8；
②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB+PC的最小值为−1；
③若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC且x+3y=1，则AB=BC；
④若AP=λABcsB+12AB+λACcsC+12ACλ>0，则动点P的轨迹经过△ABC的外心.
题型6
用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（22-23高一下·山东济宁·期中）已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段EF的长为是 .
22．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，M是BC的中点，AN=23AC，设AM与BN相交于点P，则cs∠MPN= ．

23．（2023·全国·模拟预测）已知OA+OB与OC为相反向量，若OA=2，OB+OC=4，则OA，OB夹角的余弦的最小值为 ．
24．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC的点，且AE=λAB，AF=μAC，其中λ,μ∈0,1且λ+2μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则MN的最小值是 ．
题型7
向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则OA⋅ON的最小值是 .
26．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=2，a2=a⋅b，2c2=b⋅c，则c−a2+c−b2的最小值为 .
27．（23-24高三上·天津·期末）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=2,CD=1,∠BCD=120°,P、Q分别为线段BC和线段CD上的动点，且BP=λBC,DQ=12λDC，则DP⋅AQ的取值范围为 ．
28．（22-23高一下·广东深圳·期中）青花瓷（blue and white prcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围是 ．

题型8
三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（2024·全国·模拟预测）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acsB+b=2c.若a=5，且△ABC的内切圆半径r=536，则△ABC的面积S= .
30．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a−bcsC=ccsB,a=2，则△ABC的面积S的取值范围为 ．
31．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB=2,DA⋅DC=6,∠ABC=2π3,∠ACB=π6，则四边形ABCD的面积的最大值为 ．
32．（22-23高一下·河北保定·期中）如图，某公园内有一个边长为12m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，BM=5m，sin∠MBQ=35，现过点M建一条直路分别交正方形区域两边AB，BC于点P和点Q，若对五边形APQCD区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为 m2．
题型9
求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（2024高三·广东·专题练习）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是 .
34．（22-23高一下·山东烟台·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为 ．
35．（22-23高一下·辽宁大连·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3csBb+csCc=sin(B+C)sinC，B=π3，则2a+c的取值范围为 ．
36．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2−b2−c2sinCcsC= bccsB+C，a=2，则△ABC周长的取值范围为 ．
题型10
复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数z1，z2满足z1+2z1=−3−i，z2−z1=1，则z2+2i的最大值为 .
38．（2024·江苏镇江·模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足1≤z+1+i≤2，则z−1−i的最大值为 .
39．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知复数w=3+3i,z=λw，其中λ∈0,1.则z−w+z−2的最小值为 .
40．（22-23高二下·上海宝山·期末）设全集U=C，A={z|||z|−1|=1−|z|,z∈C}，B={z||z|<|z−1|,z∈C}，若z∈A∩B，则复数z在复平面内对应的点形成图形的面积为 ．
题型11
根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）设复数z满足z=3+2i2−7i，则z的实部为 ．
42．（22-23高一下·浙江·阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=|1+i|，则z的虚部为 .
43．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）已知复数z1=a+2i，z2=3+4i，且z1z2为纯虚数，则实数a= .
44．（2022高三·浙江宁波·竞赛）已知m∈R，关于z的方程z2+z+mz2+z+2m=0有四个复数根z1,z2,z3,z4．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为 ．
题型12
空间几何体的截面问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24高三上·四川成都·开学考试）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形的周长是 ．

46．（2023·四川泸州·模拟预测）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，DD1的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
47．（2024·山东潍坊·二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，点E、F、G分别是棱A′B′、B′C′、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．

48．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥V−ABC中，VA=VB=VC=4，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面△AEF，则△AEF周长的最小值为 .

题型13
几何体与球的切、接问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，底面△ABC是边长为23的正三角形，二面角M−BC−A的大小为π4，则该三棱锥的外接球的体积为 .
50．（22-23高三上·河南·期末）在边长为1的菱形ABCD中∠BAD=60°，将ΔABD沿BD折起，使二面角A−BD−C的平面角等于120°，连接AC，得到三棱锥A−BCD，则此三棱锥A−BCD外接球的表面积为 .

51．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥P−ABC中，PB=PC=2PA=2，且∠APB=∠BPC=∠CPA,E,F分别是PC,AC的中点，∠BEF=90∘，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
52．（23-24高三上·四川成都·期末）在△ABC中，BC=6，AB+AC=8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C重合，记为P，则三棱锥P−EFG的外接球表面积的最小值为 .
题型14
空间中的点共线、点（线）共面问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（22-23高三·全国·课时练习）如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ．（填写所有符合要求的结论序号）
①A,M,O三点共线； ②A,M,O,A1四点共面；
③A,O,C,M四点共面； ④B,B1,O,M四点共面．
54．（22-23高三·全国·对口高考）如图，正方体AC1中，O是BD中点，A1C与截面BDC1交于P，那么C1、P、O三点共线，其理由是 ．

故答案为：C1、P、O是平面A1ACC1和平面BDC1的公共点，所以它们共平面A1ACC1与平面BDC1的交线.
55．（22-23高一·全国·单元测试）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是 ．
56．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段A1D1，A1B1，B1B，BC，B1D1的中点，连接CD1，B1D1，B1C，DE，BF，CI，则下列正确结论的序号是 .
①点E，F，G，H在同一个平面上；
②平面CB1D1//平面EFD；
③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线B1C所成角的余弦值为105.
题型15
平行与垂直关系的综合应用
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
57．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M,N分别是BD和AE的中点，那么以下4个命题中正确的是 ．
①AD⊥MN；②MN//平面CDE；③MN//CE；④MN,CE异面．
58．（23-24高二上·北京房山·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，△PAB是等边三角形，O为AB的中点，且PO⊥底面ABCD，点F为棱PC上一点．给出下面四个结论：

①对任意点F，都有CD⊥OF；
②存在点F，使OF//平面PAD；
③二面角P−AC−B的正切值为6；
④平面PAB⊥平面ABCD．
其中所有正确结论的序号是 ．
59．（22-23高一下·北京东城·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：

①AE//平面CDF；
②平面ABE⊥平面BCE；
③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；
④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的23．
其中所有正确结论的序号是 ．
60．（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是AB,CC1的中点．
①EF//AC1；
②A1F与BD所成角为90°；
③A1E⊥平面ADF；
④A1F与平面ABCD所成角的正弦值为223．
其中所有正确说法的序号是 ．

题型16
空间角的求解
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
61．（23-24高三上·河南·期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是 .
62．（23-24高三上·广东深圳·期末）如图， 在圆台 OO1中，OO1=3，点C是底面圆周上异于A、B的一点，AC=2, 点D是BC的中点， l为平面O1AC与平面O1OD的交线， 则交线l与平面O1BC所成角的大小为 ．
63．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）如图，三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC且△ABC为正三角形，M､N分别是PB､PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥侧面PBC与底面ABC夹角的余弦值为 .
64．（23-24高二上·北京·期中）如图，四棱锥S−ABCD中，底面是边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，平面SCD⊥平面ABCD，M，N，P分别为棱BC，CD，DA的中点，Q为△SCD及其内部的动点，满足PQ//平面AMS，给出下列四个结论：
①直线SA与平面ABCD所成角为45°；
②二面角S−AB−N的余弦值为277；
③点Q到平面AMS的距离为定值；
④线段NQ长度的取值范围是13,1.

其中所有正确结论的序号是 ．
题型17
点、线、面的距离问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
65．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知∠ACB=90°，M为平面ABC外一点，MC=3，点M到∠ACB两边AC,BC的距离均为2，那么M到平面ABC的距离为 ．
66．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿AE,EF,AF把这个正方形折成一个四面体使B,C,D三点重合，重合后的点记为G.则在四面体A−EFG中，点G到平面AEF的距离为 .

67．（23-24高一·全国·课时练习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，有一过AD且与平面A1D1CB平行的平面α，棱AA1=5，AB=12，则平面α与平面A1D1CB的距离是 ．
68．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，CC1，BB1的中点，则①直线EF到平面A1ADD1的距离为2；②直线AE与直线C1G的夹角的余弦值为25；③点C与点G到平面AEF的距离之比为1:2；④平面AEF截正方体所得截面面积为9．上述结论中正确的序号是 ．