河南省郑州市六校2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市六校2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数z在复平面内对应的点为,则( )
A.8B.4C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．如图,正三棱锥中,,侧棱长为4,一只虫子从A点出发,绕三棱锥的三个侧面爬行一周后,又回到A点,则虫子爬行的最短距离是( )
A.B.4C.D.2
4．已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是,,,则顶点D的坐标是( )
A.B.C.D.
5．如图,是斜二测画法画出的水平放置的的直观图,是的中点,且轴,轴,,,则( )
A.的面积为4B.的长度大于的长度
C.的面积为2D.
6．已知,为不共线向量,,,,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
7．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,,的面积为,则等于( )
A.4B.C.D.
8．已知复数z满足,则的最小值为( )
A.1B.3C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.在中,若,则－定是钝角三角形;
B.在中,角A､B､C的对边分别为a､b､c,若,则的形状是等腰三角形;
C.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b､c,,若,则一定是等腰三角形;
D.在中,若,则是一定钝角三角形
10．已知两个单位向量和的夹角为120°,则( )
A.向量在向量上的投影向量为
B.向量与向量的夹角为30°
C.向量在向量上的投影向量为
D.的最小值为
11．点O为所在平面内一点,则（ ）
A.若,则点O为的重心
B.若,则点为的垂心
C.若.则点为的垂心
D.在中,设,那么动点M的轨迹必通过的外心
12．在中,点P满足,过点P的直线与、所在的直线分别交于点M、N,若,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.为定值D.的最小值为
三、填空题
13．在中,角A､B､C的对边分别为a､b､c,若,,,则角A的值为___________.
14．已知平面向量,,则向量与的夹角为__________.
15．设m,,i为虚数单位,若是关于x的二次方程的一个虚根,则_____________.
16．在矩形ABCD中,,点E为边AB的中点,点F为线段BC上的动点,则的取值范围是_________.
四、解答题
17．回答下列问题
（1）已知z是复数,为实数,为纯虚数（i为虚数单位）,求复数z;
（2）已知复数,实数m为何值时,复数z表示的点位于第四象限.
18．平面内给出三个向量,,,求解下列问题：
（1）若向量与向量的夹角为锐角,求实数m的取值范围;
（2）若,求实数k的值.
19．如图,在平行四边形中,点E是的中点,F,G是,的三等分点（,）.设,.
（1）用,表示,;
（2）如果,用向量的方法证明：.
20．如图,一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上）,若棱柱侧面落在圆锥底面上.已知正三棱柱底面边长为,高为2.
(1)求挖掉的正三棱柱的体积;
(2)求剩余几何体的表面积.
21．在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜,问：
（1）刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船,？
22．在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知___________.
（1）求角C的大小.
（2）若,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：复数z在复平面内对应的点为,则复数,所以,
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意得,所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：将正三棱锥沿剪开可得如下图形,
,即,又的周长为,
要使的周长的最小,则C,,,C共线,即,
又正三棱锥侧棱长为4,是等边三角形,
.
故选：B.
4．答案：A
解析：
5．答案：A
解析：由图象知：,,
,D为BC的中点
所以,B错误;
的面积,A正确;
因为,,
所以的上的高,
的面积,C错误,
,所以,D错误.
故选：B.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：因为,,的面积为,
所以,所以.
由余弦定理得：.
故选：D.
8．答案：B
解析：设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为复数z满足,所以由复数的几何意义可知,点Z到点和的距离相等,
所以在复平面内点Z的轨迹为x轴,
又表示点Z到点的距离,
所以问题转化为上的动点Z到定点距离的最小值,
所以的最小值为1,
故选：A.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：依题意,
因为两个单位向量和的夹角为120°,
所以,
所以,
故向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
11．答案：AD
解析：A由于,其中D为的中点,可知O为边上中线的三等分点（靠近线段）,故O为的重心;
B向量,,分别表示在边和上取单位向量和,它们的差是向量,当,即时,则点O在的平分线上,同理由,知点O在的平分线上,故O为的内心;
C是以,为边的平行四边形的一条对角线的长,而是该平行四边形的另一条对角线的长,表示这个平行四边形是菱形,即,同理有,故O为的外心.
对于D,,
即,所以
所以动点M在线段的中垂线上,故动点M的轨迹必通过的外心
12．答案：BCD
解析：如下图所示：
,即,,
,,,,
,、P、N三点共线,则.
,
当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为,
故选：B.
13．答案：
解析：因为,,,由正弦定理,即,
所以,因为,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,
所以,
因为,
所以.
故答案为：.
15．答案：2
解析：将代入方程得：,
即,即,
所以,解得,
所以.
故答案为：2.
16．答案：
解析：以D为坐标原点,建立如图所示直角坐标系,
由题意得,,因为E为AB中点,所以,
设,则,
,,则,
,则,
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设复数,
因为为实数,所以,则复数,
又因为为纯虚数,
则,得,
所以复数.
（2）复数z表示的点位于第四象限,可得,解得,
当时,复数z在复平面内对应的点在第四象限,
的取值范围为.
18．答案：（1）且
（2）
解析：（1）,,
因为与的夹角为锐角,所以,且与不同向共线,即,解得且.
（2）,,
因为,所以,解得.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为点E是的中点,所以.
因为,,所以.
所以,.
（2）由（1）可得：,.
因为,
所以,
所以.
20．答案：(1);
(2).
解析：(1)因为正三棱柱的底面边长为,高为2,
则,
所以正三棱柱的体积.
(2)在正三棱柱中,由（1）知,,,
圆锥的底面圆圆心O是矩形的中心,令圆O半径为r,
有,即,
令的中点为E,连接,则,且,,,
于是,解得,则圆锥的母线长,
圆锥的底面圆面积,侧面积.
21．答案：（1）缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向
（2）缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
解析：（1）由已知条件得,,,,
.
在中,,即,
解得,,
为水平线
刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.
（2）设经过时间t小时后,缉私船追上走私船,则在中,
,,,
,易得为锐角,
,缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）选择条件①.
由余弦定理得.
整理得,
所以由余弦定理得.
又因为,所以.
选择条件②.
由正弦定理得,整理得,
由余弦定理得.
又因为,所以.
选择条件③.
由正弦定理得.
整理得,
所以.
因为,所以.
显然,所以.
又因为,所以.
（2）因为,,
所以由正弦定理得,即.
因为,所以,
所以.
因为,所以,所以,
故的取值范围是.