黑龙江省六校2024届高三下学期联合适应性测试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省六校2024届高三下学期联合适应性测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,若,则( )
A.B.C.D.
2．在正项等比数列中,为其前n项和,若,,则的值为( )
A.50B.70C.90D.110
3．已知,且,则( )
A.B.C.D.
4．已知,为单位向量,且,则,的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知为抛物线的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点,若,则( )
A.1B.2C.3D.4
6．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼.闵可夫斯基所创词汇,是种使用在几何度量空间的几何学用语,即对于一个具有正南正北,正东正西方向规则布局的城镇街道,从一点到达另一点的距离是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离,“欧几里得距离(简称欧氏距离)”是指平面上两点的直线距离,如图a所表示的就是曼哈顿距离,b所表示的就是欧氏距离,若,,则两点的曼哈顿距离,而两点的欧氏距离为,设点,在平面内满足的点组成的图形面积记为,的点组成的图形面积记为,则( )
A.0B.C.D.
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．以正方体的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥,在所有这些三棱锥中任取一个,则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线是函数图象的一条对称轴,则( )
A.是偶函数B.是图象的一条对称轴
C.在上单调递减D.当时,函数取得最小值
10．已知,,点为曲线C上动点,则下列结论正确的是( )
A.若C为抛物线,则
B.若C为椭圆,则
C.若C为双曲线,则
D.若C为圆,则
11．容器中有A,B,C3种颜色的小球,若相同颜色的两颗小球发生碰撞,则变成一颗B球;不同颜色的两颗小球发生碰撞,会变成另外小球.例如,一颗A球和一颗球发生碰撞则变成一颗C球,现有A球10颗,B球8颗,C球9颗,如果经过各种两两碰撞后,只剩1颗球.则下列结论正确的是( )
A.一定经过了26次碰撞B.最后一颗球可能是A球
C.最后一颗球可能是B球D.最后一颗球可能是C球
三、解答题
12．复数的实部与虚部的和为________.
13．已知在锐角三角形中,边a,b,c对应角A,B,C,向量,,且与垂直,.
（1）求角A;
（2）求的取值范围.
14．已知数列的前n项和为,满足,.
（1）若数列满足,求通项公式;
（2）求数列的通项公式,并求.
15．已知:斜三棱柱中,,与面ABC所成角正切值为2,,,点E为棱的中点,且点E向平面ABC所作投影在内.
（1）求证:;
（2）F为棱上一点,且二面角为,求的值.
16．已知椭圆过点,且离心率为,过右焦点F的直线交椭圆C于M,N两点,直线交x轴于P,过M,N分别作l的垂线,交l于S,T两点,H为l上任一点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）求的值;
（3）设直线HM,HN,HF的斜率分别为,,,求的值.
17．设函数,
（1）已知对任意恒成立,求实数k的取值范围;
（2）已知直线l与曲线,分别切于点,,其中
(I)求证:
(II)已知对任意恒成立,求的取值范围.
四、填空题
18．今年冬天冰雪旅游大热,黑龙江全省人民热情招待着来自南方的游客们,某旅行团共有游客600人,其中男性400人,女性200人.为了获得该团游客的身高信息,采用男,女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),经计算得到男生样本的均值为170,方差为18,女生样本的均值为161,方差为30.根据以上数据,估计该旅行团游客身高的均值为________;估计该旅行团游客身高的方差为________.
19．已知正三棱锥的外接球的表面积为,则正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高是________.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：B
解析：设的公比为q,则由,,得,,所以,,故选B.
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：由题意知,,则直线AB的方程为:,设,,将,代入C的方程得,,则因为,.且,所以,整理得,故,结合,解得.
故选:A.
6．答案：B
解析：由题意,做图如下,
由题意可知,,,
则即为单位圆面积减去内部正方形面积,,
故选:B.
7．答案：C
解析：
8．答案：B
解析：如图,三棱锥各面都是等边三角形,这样的三棱锥还有三棱锥,共2个,
从正方体的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥,
从8个项点中任取三点不共线,若取4个点,则这四点共面,
则四点所在的面是正方体的侧面或底面,或者是正方体的对角面,如面,对角面有6个,从正方体的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥,不同的三棱锥的个数为个,在所有这些三棱锥中任取一个,则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为.
故选:B.
9．答案：AC
解析：因为直线是函数图象的一条对称轴,
所以,,
又,所以,所以.
,是偶函数,故A正确;
令,解得,
所以图象的对称轴方程为,而不能满足上式,故B错误;
当时,,此时函数单调递减,故C正确;
显然函数的最小值为,当时,,故D错误.
故选:AC.
10．答案：BCD
解析：对于A,若C为抛物线,则,故A为焦点,
过M作准线的垂线,垂足为,,
当且仅当M,B,在同一直线上时取等号,故A错误;
对于B,若C为椭圆,则A为椭圆的右焦点,设左焦点为,
则
,
当且仅当M,F,B共线且F在B,M之间时等号成立,故B正确;
对于C,若C为双曲线,则A为双曲线的右焦点,左焦点为,
,
当且仅当M,F,B共线时等号成立,故C正确;
对于D,若C为圆,则圆心为原点,半径为1,
当M为原点时,取得最小值为,
当且仅当M,A,B三点共线时等号成立,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ABD
解析：（1）若最后剩下的可能是A球.10颗A球两两碰撞,形成5颗B球;
9颗C球中的8个两两碰撞,形成4颗B球;所有的17颗B球两两碰撞,剩下一颗B球;这个B球与剩下的一颗C球碰撞形成A球.
（2）最后剩下的可能是C球.10颗A球中的9颗与9颗C球两两碰撞,形成9颗B球;
所有的17颗B球两两碰撞,最后剩一颗B球;这个B球与剩下的一颗A球碰撞形成C球.
（3）最后剩下的不可能是B球.A,B,C三种球每一次碰撞有以下6种可能的情况:A与A碰撞,会产生一颗B球,减少两颗A球:(B多1个,A,C共减少两个);B与B碰撞,会产生一颗B球,减少两颗B球(B少1个,A,C总数不变);
C与C磁撞,会产生一颗B球,减少两颗C球(B多1个,A,C共减少两个);
A与B磁撞,会产生一颗C球,减少A,B各一颗球(B少1个,A,C总数不变);A与C碰撞,会产生一颗B球,减少A,C各一颗球(B多1个,A,C共减少两个);B与C碰撞,会产生一颗A球,减少B,C各一颗球(B少1个,A,C总数不变),可以发现如下规律:①从B球的角度看:每碰撞一次,B球的数量增多一个或减少一个.题目中共有27颗球,经过26次碰撞剩一颗球,整个过程变化了偶数次,由于开始B球共有8颗,所以26次碰撞之后,剩余的B球个数必为偶数,不可能是1个,所以最后剩下的不可能是B球.
②从A,C球的角度看:每次碰撞之后,A,C球总数或者不变,或者减少两个.
题目中A,C球之和为19个,无论碰撞多少次,A,C球都没了是不可能的,
所以剩下的最后一颗球一定是A或C.
故ABD正确,C错误.
故选:ABD.
12．答案：
解析：
,
故其实部为,虚部为,故复数的实部与虚部的和为.
13．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,
即
,
,
,
,
,
,
,
.
（2）,,
由正弦定理得
锐角三角形
,
,
,
,
,
.
14．答案：（1）
（2）
解析：（1）
为等比数列,公比为6,首项为2,
（2）由（1）可知
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:取AC中点M,连,EM,MB
由斜三棱柱,点E为棱的中点
,
,M,,B共面
,
,
,
,
,
面
面,
（2）由（1）知面,
面面,
过E作,垂足为O,
面面,面ABC,
为与面ABC所成角,
,,
中,,
,
过O作直线,,,,
以O为原点,射线OP,OB,OE方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系
,,,,,,
,,,
设,
,,设面BCF的法向量,
,令,,
面ABC的法向量,
,
,
即.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）
（2）设直线MN方程为,联立得
设,,则,
（3）设,则
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由已知
设,则,
当,,单调递增,当,,单调递减
所以
设,则,
当,,单调递减,当,,单调递增
所以
所以实数k的取值范围为
（2）(Ⅰ)由已知,,
由得:
由得:
故有,所以,即
设
所以
因为,且在上递增
所以,
当,,,,
又,,在内无零点
,,,
即,
(II)由(I)知,,,
由得
设
对成立
递增,
,.
18．答案：167,40
解析：某旅行团共有游客600人,其中男性400人,女性200人,
采用男,女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,
该团游客的身高信息为:男生样本的均值为170,方差为18,女生样本的均值为161,方差为30,估计该旅行团游客身高的均值为:.
估计该旅行团游客身高的方差为:
.
故答案为:167;40.
19．答案：
解析：,
正三棱锥外接球半径,
如图所示,设外接球圆心为O,过PO向底面作垂线垂足为D,,
要使正三棱锥体积最大,则底面ABC与P在圆心的异侧,
是正三棱锥,是的中心,
,,
又,
,
,
,
设,
,解得或,
当,;当,,
在上单调递增,在上单调递减,
当时,正三棱锥的体积最大,此时正三棱锥的高为,
正三棱锥体积最大时,该正三棱锥的高为.
故答案为:.