湖北省鄂东部分学校联考2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂东部分学校联考2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．函数的单调递减区间为( )
A.B.C.D.
2．函数的图象在点处的切线方程是( )
A.B.C.D.
3．若函数 恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
4．已知函数,则的最大值为( )
A.B.0C.D.
5．已知函数的图象如图所示,是的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
6．若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．若数列的前n项和满足,则( )
A.数列为等差数列B.数列为递增数列
C.,,不为等差数列D.的最小值为
8．若关于x的不等式恒成立,则实数m的最大值为( )
A.2B.eC.3D.
二、多项选择题
9．下列函数的导数计算正确的是( )
A.若函数,则
B.若函数（且）,则
C.若函数,则（e是自然对数的底数）
D.若函数,则
10．数列中,,,若,都有恒成立,则( )
A.为等差数列B.为等比数列
C.D.实数的最小值为
11．已知为函数的导函数,当时,有恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．函数在区间上的平均变化率为_____________．
13．设椭圆的左右焦点为,,过点的直线与该椭圆交于A,B两点,若线段的中垂线过点,则__________．
14．设,定义为的导数,即,,若的内角A满足,则_____________
四、解答题
15．已知点和圆．
（1）过点A的直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程;
（2）点B在圆C上运动,满足,求点M的轨迹方程．
16．如图,直三棱柱中,,且．
（1）证明：平面;
（2）M,N分别为棱,的中点,点P在线段上,若平面与平面的夹角的余弦值为,求的值．
17．各项均不为0的数列对任意正整数n满足：．
（1）若为等差数列,求;
（2）若,求的前n项和．
18．欧几里德生活的时期,人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆,长轴长为,从C的左焦点F发出的一条光线,经C内壁上一点P反射后恰好与轴垂直,且.
（1）求C的方程;
（2）设点,若斜率不为0的直线l与C交于点M,N(均异于点A),且A在以MN为直径的圆上,求A到l距离的最大值.
19．函数.
（1）若函数在上存在极值,求实数t的取值范围;
（2）若对任意的,,当时,恒有,求实数k的取值范围;
（3）是否存在实数m,,当时,的值域为.若存在,请给出证明,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：,令,解得,
所以的单调递减区间为,
故选：A.
2．答案：B
解析：因为,所以,所以切点为,又,
由导数的几何意义知函数的图象在点A处的切线斜率,
故得函数的图象在点A处的切线方程是,即为．
故选：B.
3．答案：D
解析：依题意知,有两个不相等的零点,
故,解得且.
故选：D.
4．答案：C
解析：,令,得,
当,,为减函数,
当,,增函数,
又,则.
故选：C.
5．答案：B
解析：由函数的图象可知为单调递增函数,
故函数在每一处的导数值,即得,,
设,,则A,B连线的斜率为,
由于曲线是上升的,故,,
作出曲线在,处的切线,设为,,A,B连线为,
结合图象可得,,的斜率满足,
即,
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意,得,因为在上单调递减,
所以在上恒成立,即,
令,则,
令,得,当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以的最小值为,所以,即k的取值范围为.
故选：D.
7．答案：D
解析：当时,,
当时,,,
对于A：不满足,故A不正确;
对于B：,故B不正确;
对于C：,,,三项可构成等差数列,且公差为8,,故C不正确;
对于D：当时,,
当时,,
根据对勾函数的性质知在时单调递增,
则当时,有最小值,故的最小值为．故D正确.
故选：D．
8．答案：B
解析：由题意得,,即,
令,因为,,所以函数在上单调递增,
则不等式转化为,所以,则.
令,则,
则当时,,单调递减;当时,,单调递增,
所以当时,有最小值,即,则m的最大值为e.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于A,,所以,A错误,
对于B,,故B正确,
对于C,,C正确,
对于D,,D正确,
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：对于AB,根据题意可得,
即可得,所以是公差为2的等差数列,即A正确,B错误;
对于C,易知,所以,
此时可得,即,所以C正确;
对于D,由不等式可得,即;
不妨设数列,则,
,
所以当时,,可得;
当时,,可得;
即可得,,即第8项最大为,
所以的最大值即可,即,即实数的最小值为,D错误;
故选：AC.
11．答案：BD
解析：构造函数,其中,则,
所以,函数在上为减函数,
对于AB选项,,即,可得,A错B对;
对于CD选项,,即,D对,C无法判断.
故选：BD.
12．答案：
解析：在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
13．答案：
解析：设线段的中垂线与相交于点M,由椭圆方程可知,
,,;由已知有：,点A在椭圆上,
根据椭圆定义有：,所以,,
在中,,,
,点B在椭圆上,根据椭圆定义有：,
设,则,,在中由余弦定理有：
,
解得,即.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,,
所以,,
,,
,,
所以具有周期性,且周期为4,
由,,
得,
因为,
所以
,
所以,因为,所以,可得.
故答案为：.
15．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为圆,所以,圆C的圆心为,半径,
因为直线l过点A,且被圆C截得的弦长为,
所以,圆心到直线l的距离为,
①当直线l的斜率存在时,设其方程为,
即,则,解得,
故直线l的方程为,即;
②当直线的斜率不存在时,因为直线l过点,则直线l的方程为,
圆心到直线l的距离为1,符合题意.
综上所述,直线l的方程为或．
（2）设点,因为,则点M为线段的中点,
设点,由中点坐标公式可得,可得,即点,
因为点B在圆C上运动,则,可得,
故点P的轨迹方程为．
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设,
如图,以,,为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,
所以,,
所以,,
又,,平面,所以平面.
（2）设,
,,
,,
设平面的一个法向量为,
,即,
令,得,
又平面的一个法向量为,
解得或（舍）,即.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,
当,时,,
两式相减得,
因为为等差数列,在式子：中令,
得,所以,
所以或,
若,则,但这与矛盾,舍去,
所以.
（2）因为,所以,
而当,时,,所以此时,
所以此时,
而也满足上式,
综上所述,的前n项和.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）不妨设是C的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点,则,
又,
的方程为.
（2）设,直线l的方程为,
由,整理得,
则
故,,
点在以MN为直径的圆上,
,
,
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为A点,M,N两点中的一个与A点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线l恒过定点
点A到l距离最大值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）存在,证明见解析
解析：（1）由得,
当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,
在处取得极大值,,
,解得,
即实数的取值范围是.
（2）由（1）知在上单调递减,
,由得
,
即,恒成立.
令,则上述问题等价于函数在上单调递减,
又,在上恒成立,得在上恒成立,
而在上的最小值为,故得.
（3）由（1）知,在时,,,
结合函数的图象与直线的交点可知,存在实数m,n符合题意,其中.
故只要证明在内有一解,即在内有一解,
令,则
由得,,
当时,,当时,,
在上,
又
存在,使得,满足
,即在内有一解.
综上所述,存在实数,满足当时的值域为.