江苏省丹阳高级中学2022-2023学年高二下学期限时训练（五）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省丹阳高级中学2022-2023学年高二下学期限时训练（五）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．用0,1,2,…,9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是( )
A.B.C.D.
2．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有( )
A.6种B.12种C.36种D.48种
3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a等于( )
A.B.C.D.2
4．设函数的导函数为,若,则( )
A.-1B.0C.D.
5．已知等差数列的前n项和为,,,则当取得最小值时,n的值为( )
A.11B.12C.13D.14
6．甲、乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是( )
A.B.C.D.无法确定
7．已知函数,若,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知，且，则a的取值范围是( )(注：选项中的e为自然对数的底数)
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各式中，等于的是( )
A.B.C.D.
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是
11．已知函数的定义域为,导函数为,满足,（e为自然对数的底数）,且,则( )
A.B.
C.在处取得极小值D.无极大值
12．函数,则下列说法正确的是( )
A.在处有最小值
B.1是的一个极值点
C.当时,方程有两异根
D.当时,方程有一根
三、填空题
13．已知函数在区间上有零点，则__________.
14．设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间上恒成立,则称函数在区间上为“凸函数”;已知在上为“凸函数”,则实数的取值范围是_____________.
15．六名同学排成一排照相,则其中甲､乙､丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻的情况有__________种.(用数字作答)
16．已知数列满足则数列的前项和__________.
四、解答题
17．2022年,是中国共产主义青年团成立100周年,为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程,某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛,现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本,并将得分分成以下6组：,,,统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留到小数点后两位）;
(2)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会,求两人都在的概率.
18．已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上的最小值是,求a的值.
19．已知数列满足：且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足：,求数列的前n项和.
20．已知函数.
(1)若,求曲线的斜率等于3的切线方程;
(2)若在区间上恰有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：百位不能取0有9种取法,个位和十位分别有9种和8种取法,用0,1,2,…,9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是种,
选：A.
2．答案：B
解析：甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为，
所有的排列方式有：.
故选：B.
3．答案：C
解析：，，
曲线在点处的切线的斜率，
切线与直线垂直，直线的斜率为，
.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为,
所以,令,则,
解得：.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意,,,
, ,
则等差数列满足,,
可得公差,
数列为递增数列,且当,时,,
当,时,,
当取得最小值时,n的值为12.
故选：B.
6．答案：A
解析：甲乙两人安排入住两间空房,共有种安排方法,其中甲乙各住一间有2种安排方法,
所以甲乙两人各住一间房的概率.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为,则函数在上单调递减,在上单调递增,
不妨设,有,可得,有,
令,有,令,可得,
令,可得,
可得函数的增区间为,减区间为,
可得,故的最大值为.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为，故，故，设，其中，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，但当时，，当时，，而，，故，.故选D.
9．答案： CD
解析：对选项A，，故A错误.
对选项B，，故B错误.
对选项C，，故C正确.
对选项D，，故C正确
故选CD
10．答案：AC
解析：对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确;
对于B,用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确;
对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确;
对于D,易得,即,
即,,又,
,,故D错误
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：设,则,
可设,则,解得,
故,即,
令,则,故在上单调递增,
,即,则,A错误;
,令,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,
,在处取得极小值,无极大值,
B、C、D均正确
故选：BCD.
12．答案：BC
解析：对AB,,则,,;
,,
故在处有唯一极大值,即最大值,B对A错;
对CD,,又,,,.
故当时,图象与图象有两个交点,即方程有两异根;
当,图象与图象无交点,即方程无根,C对D错.
故选：BC.
13．答案：2
解析：定义域为，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
因为区间上有零点，故.
故答案为：2.
14．答案：
解析： ,
,,
若在为“凸函数”,
则,,
即,,
设,则,
在区间单调递增,
当时,,
实数m的取值范围是.
故答案为：[2,+∞).
15．答案：72
解析：设另外两人为戊己.可以分步完成,
①甲丁捆绑后排序有方法,
②捆绑后的甲丁戊己排序,有种方法,
③将乙丙插空,四个空位中与甲相邻的空位不能选择,故有种方法,
根据分步乘法原理,共有种方法.
故答案为:72.
16．答案：
解析：由题可知,当为奇数时,,
当n为偶数时,,
所以,
即隔项成等差数列,其中奇数项以为首项,以3为公差;偶数项以为首项,以3为公差,
所以奇偶
.
故答案为：.
17．答案：(1)71.67分
(2)
解析：（1）因为成绩在的频率为0.45,
成绩在的频率为0.3,
所以中位数为（分）
（2）在和两组中的人数分别为：和人,
所以在分组中抽取的人数为人,记为a,b,c,
在分组中抽取的人数为2人,记为1,2,
所以这5人中随机抽取2人的情况有,,,,,,,,,12共10种,
其中两人得分都在的情况有1种,
所以两人得分都在的概率为.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,,
所以切点为,
,则,
所以切线方程为,即.
（2）,,
若,则在上恒成立,
所以在上单调递增,
所以,不满足题意;
若,令,解得,令,解得,
所以函数在单调递减,单调递增,
所以,解得,满足题意;
若, 则在上恒成立,
所以在上单调递减,
所以,解得,不满足题意,
综上,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知以及可知,从而有,
根据累乘法得：,整理得：,
由于该式对于也成立,于是数列的通项公式为：;
(2) ,, ,即,
所以.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,,则,
设切点为,则,解得或（舍）,
,故切点为,
所求切线方程为,即.
（2）,,,
令,得,
①当,即时,在上,
在上单调递减,此时在上不可能存在两个零点;
②当,即时,
在上,递减;在上,递增,
则在时取得极小值,
结合零点存在定理,要使在区间上恰有两个零点,
则,得.
综上a的取值范围是.