郑州外国语学校2023届高三下学期4月月考数学（文）试卷(含答案)

这是一份郑州外国语学校2023届高三下学期4月月考数学（文）试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是( )
A.iB.C.1D.
3．总体由编号为00，01，，28，29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
0842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015 9901 9025
2909 0937 6707 1528 3113 1165 0280 7999 7080 1573
A.19B.02C.11D.16
4．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为( )
A.B.32C.D.
5．已知，则( )
A.B.C.D.
6．在平面直角坐标系xOy中，，，若圆上存在点P，使得，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则( )
A.5B.10C.13D.26
8．已知满足，且在上单调，则的最大值为( )
A.B.C.D.
9．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为( )
A.4B.8C.9D.
10．过点有三条直线和曲线相切，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q.若，M为的中点，且，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
12．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O，，，半径分别为R，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则___________.
14．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则实数k的值为______.
15．若的三内角A，B，C满足：，则以为一内角且其对边长为的三角形的外接圆的面积为__________.
16．已知四面体，且，则四面体体积最大时，其外接球的表面积为_______.
三、解答题
17．某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满.为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，
其中表示工龄为i年的年薪，.
(1)求年薪与工龄的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系(若，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系).
(2)在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差.(精确到0.01)
附：样本的相关系数，，，，.
18．“绿水青山就是金山银山”，治理垃圾是改善环境的重要举措之一.去年某地区产生的垃圾排放量为300万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列治理措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的90%.
（1）求该地区从今年开始的年垃圾排放量关于治理年数的函数解析式；
（2）该地区要实现“年垃圾排放量不高于150万吨”这一目标，那么至少要经过多少年?
（3）设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有显著效果的；否则，认为无显著效果，试判断现有的治理措施是否有显著效果，并说明理由.
（参考数据：，，，）
19．如图①，在矩形中，，E为的中点，如图②，沿将折起，点P在线段上.
（1）若，求证：平面；
（2）若平面平面，是否存在点P，使得平面与平面的夹角为？若存在，求此时三棱锥的体积；若不存在，说明理由.
20．已知函数.（a，b为实数）
（1）当时，求过点的图象的切线方程；
（2）设，若恒成立，求b的取值范围.
21．已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求C的方程；
（2）直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由.
22．在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(为直线l的倾斜角).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
（2）设，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的最大值.
23．若不等式的解集为.
（1）求n的值；
（2）若正实数a，b，c满足，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以，即，
且或，所以或，即，
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：复数，对应的点分别是，，则，，
，其虚部为.
故选：D.
3．答案：C
解析：随机数表的第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，得到的在范围之内的两位数依次是09，09，02，01，19，02，11，，其中09和02各重复了一次，去掉重复的数字后，前5个编号是09，02，01，19，11，则选出来的第5个个体的编号为11.
故选：C.
4．答案：C
解析：根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为，
故选：C.
5．答案：D
解析：，
，
.
故选：D.
6．答案：A
解析：设，所以，即，
又点Р在圆C上，所以，解得，即a的取值范围是.
故选：A.
7．答案：C
解析：N是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C.
8．答案：B
解析：满足，，
，即，
，
在上单调，
，即，
当时最大，最大值为，
故选：B.
9．答案：C
解析：由函数，设，知，
所以是奇函数，则，又因为正实数a，b满足，
所以，
，当且仅当，时取到等号.
故选：C.
10．答案：B
解析：设直线过点且与曲线相切，切点为.
由得，切线的斜率为，
切线方程为，，
.设，由题意，函数有三个零点.
，由得，或.
当时，函数只有一个零点，舍去；
当时，，由，得或，由，得
所以是函数的极大值点，由于，函数没有三个零点，舍去.
，同理可得是函数的极大值点，由条件结合三次函数的性质得，，解得.故选：B.
11．答案：A
解析：连接，，设，则由已知可得.
P，Q为双曲线上的点，
，.
为的中点，且，
...
，，.
在直角中，.
.
..
故选：A.
12．答案：C
解析：由题意知，，，由，得，，，
设，则，
当时，，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
，则，即有，故.
故选:C.
13．答案：/
解析：阴影部分面积为：，
由图可知：，所以，
则，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，
所以，
，即，则，
解得：，因为，
所以.
故答案为：.
14．答案：或
解析：设交点，，由于直线过抛物线的焦点，
所以将代入并整理可得，
则，，，
又由抛物线的定义可得，，
由可得代入可得，
解之得或（舍去），故时，，
代入可得，
故答案为：或.
15．答案：
解析：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题设，则，，，则，设所求三角形的外接圆半径为R，则，解得，所以三角形的外接圆的面积为，故填.
16．答案：
解析：取中点O，连接，，
因为，所以，，
设，，则，则且，
要想四面体体积最大，则为三棱锥的高，即平面，
则，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得极大值，也是最大值，
即四面体体积最大，此时，，
在中，由余弦定理得，
又，故，
设的外接圆圆心为N，半径为r，
则，解得，
则，，
则外接球球心E在上的投影为点N，即平面，
过点E作于点F，连接，，则，为外接球半径，
其中，，
设，，则，
由勾股定理得，
即，解得，
故，
故外接球表面积为.
故答案为：.
17．答案：(1)可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系
(2)均值为10.02万元；标准差为0.09
解析：(1)由样本数据得的相关系数为，，
因此可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系.
(2)由于，，
由样本数据可以看出工龄为13年的员工年薪在以外，
因此会被约谈并进行岗位调整，所以留下15名员工，剩下员工年薪的均值为万元，
，
余下员工年薪的方差为，
所以标准差的估计值为.
18．答案：（1），
（2）至少要经过11年
（3）现有的治理措施是有显著效果的，理由见解析
解析：（1）设治理n年后，该地区的年垃圾排放量构成数列，
当时，数列是首项为，公差为的等差数列，
则；
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
因此，治理n年后，该地区的年垃圾排放量的表达式为，.
（2）由（1）及题意得，所以时才有，
因此，即，
又，，所以，即，，
因而该地区要实现目标，那么至少要经过11年.
（3）设为数列的前n项和，则，
由于
，
由（1）知，时，，则为递减数列，
时，，则为递减数列，
且，因此为递减数列，
于是，，，…，，
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，
故认为现有的治理措施是有显著效果的.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在点P，三棱锥的体积为
解析：（1）连接与交于点Q，连接，如图所示，
由题意可得，，
所以.
又因为，
所以，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，当时，.
因为，
所以.
取的中点为O，连接，如图所示，
由已知得，在矩形中，E为的中点，，O是的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由已知得，在矩形中，O是的中点，
所以，
所以.
由已知得，在矩形中，E为的中点，.
所以，
所以，
所以，即.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面，即当时，平面与平面的夹角为90°.
此时，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，则，
所以，设切线与图象切于点，
则切线方程为，
令，则，即，
所以切线方程为.
（2）由，
令，则，故，
下面证明：时符合题意.
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则，
令，则，
令，可得；
令，可得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
于是，
所以，当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
综上，实数b的取值范围.
21．答案：（1）
（2）为定值，理由见解析
解析：（1）由椭圆的离心率为，得，即有，
由以C的短轴为直径的圆方程为，
由与直线相切得：，
联立解得，
的方程为.
（2）为定值，且，理由如下：
由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即，
设，，，
由，消去y得：，
，，
而，
，
即，
，
，
化简得，
又在椭圆上，，，
，
，
又不在直线，
则有，即，
为定值，且.
22．答案：（1）；
（2）2
解析：（1）由，得，
由，，得直线l的直角坐标方程为，
由(t为参数)，两式相除得，
所以，整理得曲线C的普通方程为.
（2）法一：因为直线l经过点，所以直线l的参数方程为(m为参数)，
代入中，得，
由，得，又，故，
所以，，
所以，
因为，所以，故，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为2.
法二：直线l经过点，，曲线C：为除点外，以为圆心半径为的圆，
易得圆心C到直线的距离为1，所以直线与圆C相切，且O为切点，
所以由圆的切割线定理得，
所以，当且仅当为圆C的直径时，等号成立，
故的最大值为2.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知：2为方程的根，
所以，即，
由，
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
综上，，所以.
（2）证明：由（1）可知，a，b，c均为正实数，
则
当且仅当，，时等号成立，
所以，即成立.
工龄(年)：
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪(万)：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄(年)：
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪(万)：
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95