2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学模拟试卷（一）（含解析）

这是一份2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学模拟试卷（一）（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. 12(x+4.5)=x−1B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5D. 12(x−1)=x+4.5
2.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=56或54或154或256.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3.如图，在平面直角坐标系中，C(4,4)，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB=90°，则OA+OB等于( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
4.对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ=|x2−x1|+|y2−y1|.已知不同三点A，B，C满足dAC=dAB−dBC，下列四个结论中，不正确的结论是( )
A. A，B，C三点可能构成锐角三角形B. A，B，C三点可能构成直角三角形
C. A，B，C三点可能构成钝角三角形D. A，B，C三点可能构成等腰三角形
5.如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.下列结论正确的有个．( )
①BF=AC；
②CE=12BF；
③△DGF是等腰三角形；
④BD+DF=BC；
⑤S△BDFS△BCF=BDBC；
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
6.如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ=45°，连接PQ、PC、CQ.则下列结论：
①BP⋅DQ=3.6，
②∠QAD=∠APB，
③∠PCQ=135°
④BP2+DQ2=PQ2，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.垃圾分类(Refusesrting)，是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为______．
8.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为______．
9.若点A(−3,y1)，B(−1,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1 ______y2(填“>”或“b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：______；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
(1)已知x+y=6,xy=114，求(x−y)2的值；
(2)已知a+b=6，ab=7，求a3+b3的值．
21.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，AE2=BE⋅AD，EF=EB．
(1)求证：AF⋅DE=AE⋅EC；
(2)如果AE=AB，求证：EF/​/AC．
22.(本小题8分)
如图(1)所示，大正方形ABCD是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼成，设直角三角形较长的直角边(如：AF)为a，较短直角边(如：BF)为b．
(1)用含a，b的代数式表示大正方形ABCD的面积S；
(2)图(2)是由图(1)变化得到，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形MNKT拼接而成．记图(2)中正方形ABCD、正方形MNKT的面积分别为S1、S2若S1+S2=10，S1−S2=8，求直角三角形与正方形EFGH的面积．
23.(本小题8分)
抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F(2,1)，P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：设木长x尺，根据题意可得：
12(x+4.5)=x−1，
故选：A．
设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5,300)代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把(1,0)和(4,300)代入可得m+n=04m+n=300，
解得m=100n=−100，
∴y乙=100t−100，
令y甲=y乙可得：60t=100t−100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲−y乙|=50，可得|60t−100t+100|=50，即|100−40t|=50，
当100−40t=50时，可解得t=54，
当100−40t=−50时，可解得t=154，
又当t=56时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t=256时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为56或54或154或256时，两车相距50千米，
∴④正确；
综上可知正确的有①②③④共四个，
故选：A．
观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
3.【答案】A
【解析】过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N，证△ACM≌△BCN，推出AM=BN，即可解决问题．
本题主要考查了四边形的内角和，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解：如图，过点C作CM⊥y轴于点M，CN⊥x轴于点N，则∠CMA=∠CNB=90°，
∵C(4,4)，
∴CN=CM=4，
∵∠MON=∠CNO=∠CMO=90°，
∴∠MCN=360°−90°−90°−90°=90°，
∴四边形MONC是正方形，
∴ON=OM=CN=CM=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MCN，
∴∠ACM=∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
{∠CMA=∠CNBCM=CN∠ACM=∠BCN,
∴△ACM≌△BCN(ASA)，
∴AM=BN，
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：不妨设C(0,0)，A(1,0)，B(x1,y1)，则dAC=1，dCB=|x1|+|y1|，dAB=|x1−1|+|y1|，
由||AC||+||CB||=||AB||，可知1+|x1|=|x1−1|，
当x1=0，y1≠0时1+|x1|=|x1−1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；
当x1=0，y1=1时，此时△ABC为等腰三角形，故D正确；
当x1>0时，无解，故A错；
当x1
【解析】解：∵y=6x中k=6>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵−3．
根据反比例函数的性质得出答案即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y=kx，①当k>0时，y随x的增大而减小，②当kAE，BC>AB>AE，
∴AB+BC≠2AE，故④错误；
∴正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
过点A作AH⊥AF，交BF于点H，由“ASA”可证△ABH≌△ACF，可得BH=CF，AH=AF，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】相似三角形对应高的比等于相似比
【解析】解：如图，设树高为GF．
根据题意推知△ADE∽△AFG，且AB⊥DE，AC⊥FG，
所以ABAC=DEFG．
所以FG=AC⋅DEAB．
故答案为：相似三角形对应高的比等于相似比．
根据题意推知△ADE∽△AFG，且AB是△ADE的高，AC是△AFG的高，结合相似三角形对应边上高的比等于相似比解答．
本题主要考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
12.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽．
根据题意，可以先设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可．
【解答】
解：设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，
图②中两块阴影部分的周长和是：2a+(6−3b)×2+3b×2+(6−a)×2
=2a+12−6b+6b+12−2a
=24(cm)，
故答案为：24．
13.【答案】4
【解析】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC=3cm，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=1cm，∠ADC=90°，
∵DE/​/BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠ADE=∠B，
∴∠EDC=∠ACD，∠A=∠ADE，
∴DE=CE，DE=AE，
∴CE=AE=DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=DE=12BC=32cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=1+32+32=4(cm)，
故答案为：4．
先由等腰三角形的性质得AD=1cm，再证CE=AE=DE，然后由三角形中位线定理得DE=AE=32cm，即可解决问题．
本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的性质的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】2 103或2 2或2
【解析】解：①当AB= 2BC时，
Ⅰ.如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1//l2，l1与l2之间的距离为2，AB= 2BC，
∴BC=AE=2，AB=2 2，
∴BE=2，即EC=4，
∴AC=2 5，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴∠DCF=45°，
设DF=CF=x，
∵l1/​/l2，
∴∠ACE=∠DAF，
∴DFAF=AECE=12，即AF=2x，
∴AC=3x=2 5，
∴x=2 53，CD= 2x=2 103．
Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD= 2AC=2 2．
②当AC= 2BC时，
Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴A′C⊥l1，
∴CD=AB=BC=2；
Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，
∴AC= 2BC= 2AE，
∴∠ACE=45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A′B′C时，点A′在直线l1上，
∴A′C//l2，即直线A′C与l2无交点，
综上所述，CD的值为2 103或2 2或2．
①当AB= 2BC时，画出图形分两种情况分别求得CD= 2x=2 103或CD= 2AC=2 2；②当AC= 2BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD=AB=BC=2．
本题属于几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．
15.【答案】①③④
【解析】由SAS可证△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠EAC，即∠MBC=∠NAC，由ASA可证△BCM≌△ACN，可得CM=CN，可证△CMN是等边三角形，可得∠CMN=60°=∠ACB，MN//BE，故①正确；由面积法可证CG=CH，由面积关系可得BCCE=OBOE，故③正确；由AAS可证△BCH≌△ACG，可得BH=AG，由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OG=2OH，由线段的和差关系可证OB=AO+OC，故④正确；由面积关系可得ACCE≠OBOD，故②错误．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°−60°−60°=60°，∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
{BC=AC∠BCD=∠ACEDC=EC,
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠DBC=∠EAC，即∠MBC=∠NAC，
在△BCM和△ACN中，
{∠MBC=∠NACBC=AC∠MCB=∠NCA=60°,
∴△BCM≌△ACN(ASA)，
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACB=60°，
∴MN//BE；故①正确；
∵∠DBC=∠EAC，∠AMO=∠BMC，
∴∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠BOE=120°，
如图，过点C作CG⊥AE于点G，CH⊥BD于点H，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，
∴12AE⋅CG=12×BD⋅CH，
∴CG=CH，
∵S△BOCS△COE=BCCE=12⋅OB⋅CH12⋅OE⋅CG，
∴BCCE=OBOE，故③正确；
在△BCH和△ACG中，
{∠CBH=∠CAG∠CHB=∠CGA=90°BC=AC
∴△BCH≌△ACG(AAS)，
∴BH=AG，
∵CG=CH，CG⊥AE，CH⊥BD，
∴∠BOC=∠EOC=12∠BOE=60°，
∴∠OCH=∠OCG=30°，
∴OC=2OG=2OH，
∴OG=OH，
∴OB=OH+BH=OH+AG=OH+AO+OG=AO+2OG=AO+OC，故④正确；
∵∠BCO>60°，∠OCD