2023北京首都师大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）

这是一份2023北京首都师大附中高一下学期期中数学试卷及答案（教师版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1.已知向量，，，若，则
A. B. C. D.
2.若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是
A. B. C. D.
3.下列选项使得函数单调递减的是
A. B.
C. D.
4.在中，，，，则
A. B. 或 C. D. 或
5．已知函数（，）的图像如图所示，则函数的解析式为
A．
B．
C．
D．
6.已知，且，则的值是
A. 或B. 或C. 或D. 或
7. 已知向量，是两个单位向量，则“为锐角”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8．已知函数，，其图像如下图所示．
为得到函数的图象，只需先将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
9. 对于函数，给出下列四个命题：
① 该函数的值域为；
② 当且仅当（）时，该函数取得最大值；
③ 该函数是以为最小正周期的周期函数；
④ 当且仅当（）时，.
上述命题中真命题的个数为
A. B. C. D.
10.圆为的外接圆，，，为边的中点，则
A.
B.
C.
D.
第II卷（共80分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. .
12. 已知扇形的圆心角为，面积是，则该扇形的周长是________．
13.已知非零向量，满足，且，，那么与的夹角为 .
14.已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围为 .
15. 中，，，的角平分线交于点.若，则 .
16. 声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.
（1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为（），甲、乙声波合成后的数学模型为.要使恒成立，则的最小值为____________；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足.
已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.
① ； ② ；
③ ； ④ .
则，两种声波的数学模型分别是 .（填写序号）
三、解答题（本大题共5小题，共50分。应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题11分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值.
18. （本小题11分）
已知为锐角，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
19. （本小题10分）
如图，在中，是边上一点，，，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若，求的大小.
20. （本小题10分）
设函数（，）. 在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.
条件①：；
条件②：的最小正周期为；
条件③：的最大值与最小值之和为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
21.（本小题8分）
对平面向量，定义.
（Ⅰ）设，求；
（Ⅱ）设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数.
（ⅰ）记,,,,的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标.
（ⅱ）记. 求的最小值及相应的点的坐标.
参考答案
第I卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
第II卷（共80分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11.
12. 6．
13.
14.
15.
16.② ③
三、解答题（本大题共5小题，共50分。应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解析：
（1），------5分
所以的最小正周期为. ------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以. ------------8分
当，即时，取最大值. ------------11分
18. 解：（Ⅰ），且为锐角

------------4分
（Ⅱ） ------------5分
为锐角
------------7分
------------8分
-----------9分
-----------11分
19. 解析：（Ⅰ）在中，，，．
由余弦定理得，
所以．………………5分
（Ⅱ）由且，得，………………6分
在中，由正弦定理，得，………………8分
又因为，所以， ………………9分
所以．…………………………10分
20. 解：（Ⅰ）……………2分
……………3分
.……………4分
选择条件②③：
由条件②得，，又因为，所以.……………5分
由③知，，所以.……………6分
则，
（Ⅱ）令，……………7分
所以，
所以函数的单调增区间为.……………8分
因为函数在上单调递增，且，此时，
所以，故实数的最大值为.……………10分
说明：不可以选择条件①：
当时，，所以①不成立
21.解析：（Ⅰ）当时，； ……………2分
（Ⅱ）的最小值为，此时点的坐标为. ……………4分
一方面，当点的坐标为时，，，，，，，.
此时，.
另一方面，设，其中.
;
.
相加得，故.
欲使上述等号均成立，有，且，得.
（Ⅱ）设点的坐标为.





所以，，其中



. （当且仅当时，等号成立）



. （当且仅当时，等号成立）
所以，，当且仅当且时，等号成立，即点时，
等号成立. ……………8分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
A
D
A
A
A
C