2023北京八一学校高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)

这是一份2023北京八一学校高一下学期期中数学试卷及答案（教师版）(1)，共13页。
1. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
2. 在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A. 4B. 1C. D. 2
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是
A. B.
C. D.
9. 在中， ，，为线段的三等分点，则＝( )
A. B.
C. D.
10. 已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值1B. 有最小值，且最小值小于1
C. 恒成立D. 存在，使得
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. ______．
12. 已知角的终边与单位圆交于点，则________．
13. 若实数，满足方程组，则的一个值是________．
14. 已知，，，则________
15. 已知函数，任取，定义集合：
，点，满足
设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则
（1）函数的最大值是______；
（2）函数的单调递增区间为______．
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）当时，求函数的值；
（2）求不等式的解集．
17. 在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点，
（1）若是为直角的直角三角形，求的值；
（2）若四边形是平行四边形，求的最小值.
18. 已知函数，．
（1）请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．
（3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
19. 对于定义域R上的函数，如果存在非零常数T，对任意，都有成立，则称为“T函数”．
（1）设函数，判断是否为“T函数”，说明理由；
（2）若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T函数”；
（3）若函数为“T函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 【答案】D
【解析】
【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.
【详解】，
∴点位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
2. 【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．
【详解】在中，，则或，
∴在中，“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】化简并判断的奇偶性，判断A；利用图像可判断B；根据函数奇偶性判断C；根据函数的最小正周期可判断D.
【详解】对于A，为奇函数，不符合题意；
对于B，作出的图象如图：
可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意；
对于C，为奇函数，不符合题意；
对于D，的最小正周期为，不符合题意，
故选：B
4. 【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.
【详解】圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.
5. 【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由，
得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.
6. 【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得.
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
7. 【答案】C
【解析】
【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，即，
所以，
故，而，
故，
故选：C
8. 【答案】D
【解析】
【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.
【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得，
，可取，所以，故选D.
【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；
（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．
【详解】中，||＝||，
∴22，
∴0，
∴⊥，
建立如图所示的平面直角坐标系，
由E，F为BC边的三等分点，
则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），
∴（，），（，），
∴+．
故选：C
10. 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意知，当时，
，
因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可，
又因为，所以，
即有最小值1，所以A正确，B错误；
又因为，
当时，，所以C错误；
又因为，，但与不可能同时为，
而，所以，所以D错误；
故选:A
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 【答案】##0.5
【解析】
【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．
【详解】，
故答案为：．
12. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，
由三角函数的定义可得.
故答案为：
13. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案.
【详解】由可得，
故，即得，
故的一个值可以取，
故答案为：（答案不唯一）
14. 【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，
又，，所以，，
所以，，所以
.
故答案为
【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.
15. 【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】
作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案.
【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示：
当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,；
当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大；
当点P在B点时，,，
当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小；
当点P在C点时，，；
当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大；
当点P在D点时，，；
当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小，
依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为，
故答案为：2；.
【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；
（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得
，
故当时，；
【小问2详解】
由可得，
即，故,
故不等式的解集为.
17. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直解得即可；
（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.
【小问1详解】
由题意得，
若，则，即，
解得或，
当，则，不合题意；
当，则，符合题意；
综上所述：.
【小问2详解】
设点的坐标为，可得，
若四边形是平行四边形，则，
所以，则，即，
可得，
则，
所以当时，取得最小值.
18. 【答案】（1）；
（2）最大值为1，此时；最小值为，此时；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案；
（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；
（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）的结论，即可求得答案.
【小问1详解】
因为
,
令，则，
故函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，，
由于在单调递减，在单调递增，
当，即时，,取得最小值；
当时，；
当，即时，取得最大值；
【小问3详解】
若，都有恒成立，
即，
由（2）可知，
故，即实数m的取值范围为.
19. 【答案】（1）不是“T函数”，理由见解析；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“T函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；
（2）只需证明满足“T函数”定义，即可得结论；
（3）根据函数为“T函数”，可得恒成立，即可推得，即可求得答案.
【小问1详解】
若函数是“T函数”，则对于，恒有,
即恒成立，故恒成立，
由于，上式不可能恒成立，
故不是“T函数”；
【小问2详解】
证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然，
即存在非零常数T，使得，
所以恒成立，
故为“T函数”.
【小问3详解】
若函数是“T函数”，则,
即恒成立，
故恒成立，
即恒成立，
即有，
故，
即实数m的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.