广东省潮州市潮安区云光中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省潮州市潮安区云光中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共15页。
1．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6
3．（3分）如果成立，那么（ ）
A．x≥0B．x≥1C．x＞0D．x＞1
4．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝AD，CB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠DD．AB∥CD，AB＝CD
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28B．14C．10D．7
6．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝B．2+＝2C．（2）2＝12D．÷＝2
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．平行四边形
8．（3分）下列命题中错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，已知AD＝7，CE＝3，则AB的长是（ ）
A．7B．3C．3.5D．4
10．（3分）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）计算：5﹣（+）＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ．
14．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a+b|的结果为 ．
15．（4分）如图，AC＝1.2m，BC＝0.9m，则AB的长为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AF平分∠DAE交CD于F，AD＝4，若DF+BE＝5，则线段BE的长为 ．
17．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝6，M、N分别是BC，CD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则△PMN周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：÷﹣×．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN＝∠NFC．
21．（8分）已知：x＝2+，y＝2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
22．（8分）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠．
（1）重合部分是什么图形？请说明理由．
（2）若AB＝4，BC＝8，求△BDF的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝9，AC＝12，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求BC的长；（2）求BD的长．
24．（10分）已知，如图1，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）如图2，连接BE，若CE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出长度等于AC的所有线段．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点P从点B出发沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s．已知：过点P的直线PQ满足PQ∥AC，直线PQ交BC于点Q、交BD于点F．设运动时间为ts（0＜t＜5）；
（1）当S四边形PQCM＝S△ABC时，直接写出t的值；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A.是最简二次根式．
B.＝4，故不是最简二次根式．
C.＝，故不是最简二次根式．
D.＝＝，故不是最简二次根式．
故选：A．
2． 解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故符合题意；
B、72+122≠132，故不是直角三角形，故不符合题意；
C、52+92≠122，故不是直角三角形，故不符合题意；
D、32+42≠62，故不是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
3． 解：∵成立，
∴x≥0，x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：D．
4． 解：A、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；
C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、AB∥CD，AB＝CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
5． 解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE＝BF＝AB＝3，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF＝BD＝BC＝4，
∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，
故选：B．
6． 解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、2与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝12，所以C选项正确；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：C．
7． 解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
同理：HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴GH＝AD，GF＝BC，
∵AD＝BC，
∴GH＝GF，
∴平行四边形EFGH是菱形；
故选：B．
8． 解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以A选项的说法正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，所以B选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等，所以C选项的说法正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项的说法错误．
故选：D．
9． 解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵EC＝3
∴BE＝BC﹣EC＝7﹣3＝4，
∴AB＝4，
故选：D．
10． 解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11． 解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
12． 解：5﹣（+）＝5（2）＝．
故本题答案为：．
13． 解：∵BD＝AD，BE＝EC，
∴DE＝AC＝2.5，DE∥AC，
∵CF＝FA，CE＝BE，
∴EF＝AB＝1.5，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝8．
故答案为：8
14． 解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴a﹣b＜0，a+b＞0，
则原式＝b﹣a﹣2a﹣2b＝﹣3a﹣b，
故答案为：﹣3a﹣b
15． 解：在Rt△ABC中，∵AC＝1.2m，BC＝0.9m，
∴AB＝＝＝1.5（m），
答：AB的长为1.5m，
故答案为：1.5m．
16． 解：延长线段CB到点H，使BH＝DF，连接AH，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABH＝90°．
∴△ABH≌△ADF（SAS）．
∴∠BAH＝∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴∠HAF＝∠BAH+∠BAF＝90°．
∵∠EAF+∠HAE＝∠HAB+∠H＝90°，
∴∠HAE＝∠H．
∴HE＝AE，
∵DF+BE＝5，
∴EH＝BH+BE＝5，
∴AE＝5，
在 Rt△ABE 中，BE＝＝＝3．
故答案为：3．
17． 解：如图，作ME⊥BD交AB于E，连接EN，与BD交于点P'，
当P与P'重合时，则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是BC、CD的中点，
∴CN＝BM＝CM，
∵ME⊥BD交AB于E，
∴BE＝BM，
∴BE＝CN，BE∥CN，
∴四边形BCNE是平行四边形，
∴EN＝BC＝AB＝4，
∴DN＝NC，CM＝BM，
∴MN＝BD＝3，
∴△PMN的周长的最小值为4+3＝7．
故选答案为7．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18． 解：原式＝﹣
＝5﹣4
＝1．
19． 证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
20． 证明：取AC中点G，连接NG，MG，
∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点，
∴MG、NG分别是△ADC与△ABC的中位线，
∴NG∥AB，MG∥CF，NG＝AB，MG＝CD，
∴∠BEN＝∠FNG，∠CFN＝∠NMG，
∵NG＝AB，MG＝CD，AB＝CD，
∴NG＝MG，
∴∠MNG＝∠GMN，
∵∠MNG＝∠BEN，
∠GMN＝∠CFN，
∴∠BEN＝∠CFN．
21． 解：（1）∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，xy＝4﹣2＝2，
∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝16+2＝18．
（2）S菱形ABCD＝xy＝（2+）（2﹣）＝1
22． 解：（1）重合部分△BDF是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵△BDE由△BDC折叠得到，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）设DF＝BF＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴S△BDF＝AB•DF＝×5×4＝10．
23． 解：（1）在△ABC中，∵∠BAC＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2（勾股定理），
＝92+122，
＝81+144，
＝225．
∴BC＝15．
（2）AD⊥BC，垂足为D，
∴△DBA为直角三角形，
在△ABC与△DBA中，
∠BDA＝∠BAC＝90°，∠B＝∠B（公共角），
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴BD＝＝＝．
24． （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠CDE＝∠FAE，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
在△CDE和△FAE中，
，
∴△CDE≌△FAE（ASA），
∴CD＝FA，
∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝BC＝CD＝BD，
∴BD＝FA，且BD∥FA，
∴四边形ADBF是平行四边形，
又∵AD＝BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF，理由如下：
∵CE＝BE，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC、△ACD、△ABD都是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝AC＝AB＝BD，
由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴AF＝BF＝AD＝BD＝AC，
即长度等于AC的所有线段为AD、CD、BD、AF、BF．
25． 解：（1）∵AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．
∴AD＝＝6cm
∵S△ABC＝×AC×BD＝40cm2，
∴S四边形PQCM＝S△ABC＝cm2，
∵PQ∥AC
∴△BPQ∽△BAC
∴＝（）2＝，
∴S△BPQ＝ t2，BF＝t，
∵S△APM＝×2t×（8﹣t）＝8t﹣t2，
∴S△APM+S△BPQ＝S△ABC﹣S四边形PQCM＝40﹣＝cm2，
∴t2+8t﹣t2＝
∴t＝，t＝（不合题意舍去）
∴当t＝时，S四边形PQCM＝S△ABC，
（2）由（1）可知：S△ABC＝×AC×BD＝40cm2，S△BPQ＝ t2，S△APM＝×2t×（8﹣t）＝8t﹣t2，
∵S△ABC﹣S△APM+S△BPQ＝S四边形PQCM，
∴y＝40﹣（t2+8t﹣t2）＝t2﹣8t+40
（3）如图，过点M作MH⊥AB于点H，
∵点M在线段PC的垂直平分线上
∴MP＝MC，
∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°
∴△AHM∽△ADB
∴
∴
∴AH＝t，HM＝t，
∴PH＝AB﹣BP﹣AH＝10﹣t﹣t＝10﹣t，MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，
∴PM2＝PH2+HM2＝（10﹣t）2+（）2，
∵PM＝MC
∴PM2＝MC2，
∴（10﹣2t）2＝（10﹣t）2+（）2，
∴t＝，t＝0（不合题意舍去）
∴当t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．