高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法一等奖课件ppt

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问题1　函数的表示方法有哪些呢？
前面我们所接触到的函数y＝f（x）中，绝大多数f（x）都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）＝2x＋1，这种表示函数的方法称为解析法．
前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法．
如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有
　　D＝{2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
　　S＝{116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}
前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系．
问题3　函数的表示方法各有哪些优势？
【画一画】作出函数y＝－x＋1的图像．
例1　已知函数f（x）、g（x）分别由下表给出．
（1）由表格可知f（g（1））＝ f（3）＝1；
（1）求f（g（1））；
（2）求不等式f（g（x））＞g（f（x））的解集．
（2）将x＝1，2，3依次代入f（g（x））＞g（f（x））中检验，
可知满足条件的x只有2，因此解集为{2}．
例2　北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180 m3的部分，水价为5元/m3；超过180 m3但不超过260 m3的部分，水价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f（x）元．假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的图像．
例2　假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的图像．
注意到f（x）在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y＝f（x）在每个区间上的图像都是直线的一部分，
如果x∈[0，180]，则f（x）＝5x；
如果x∈（180，260]，按照题意有
f（x）＝5×80＋7（x－180）＝7x－360．
由此可作出函数图像如图所示．
f（180）＝5×180＝900，
f（260）＝7×60－360＝1460，
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．说明：分段函数是一个函数．
问题4　函数　　　　　　　 被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像吗？
例3　设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数．如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由．
追问：依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数．
因为当n∈Z且x∈［n，n＋1）时，有y＝n，
因为任何一个实数x，都必定在某个形如［n，n＋1）的区间内．因此给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数．
由上可看出，在每一个区间［n，n＋1）内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如图所示．
该例中的函数通常称为取整函数，记作y＝[x]，其定义域是R，值域是Z．这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数．在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数．也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等．例如f（x）＝7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图像是一条垂直于y轴的直线．
例4　已知函数　　　，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像．
函数的定义域为［0，＋∞）．
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示．
例5　已知二次函数的图像过点（－1，4），（0，1），（1，2），求这个二次函数的解析式．
设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），则
由此可解得a＝2，b＝－1，c＝1，因此所求函数解析式为
例6　已知f（x）＝x2，求f（0），f（1），f（2），f（a），f（a－1），f（x－1）．
由已知可得f（0）＝0，　　　　　f（1）＝1，　　　　　f（2）＝4，　　　　　f（a）＝a2，　　　　　f（a－1）＝（a－1）2＝a2－2a＋1，
　　　　　f（x－1）＝（x－1）2＝x2－2x＋1．
如果设g（x）＝f（x－1），则有g（x）＝x2－2x＋1，因此g（x）与f（x）是不同的函数．
已知f（x－1）＝x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总结f（x）与f（x－1）的关系．
所以f（x）＝（ x ＋1）2．
f（x－1）的图像可由f（x）的图像向右平移一个单位得到．
方法总结：已知f（g（x））的解析式可利用换元法求f（x）的解析式．
解：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f（t）＝（t＋1）2，
例4　求函数　　　　　 的值域．
所以f（x）可以取所有除3以外的实数，
方法总结：求函数值域常见方法有直接法、逆求法、观察法、配方法、换元法等．
问题5　回顾本节课，你有什么收获？
（1）函数的表示方法有哪些？
（2）什么叫解析法？什么叫列表法？什么叫图像法？
（3）什么叫分段函数？
作业：教科书P93~94练习B 2、6、7、8、9、10
　　利用计算机软件可以迅速作出函数的图像，从而可以观察函数的性质等．
　　在GeGebra中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图像．例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）：
　　f（x）＝1/（x^2＋1）
　　g（x）＝sqrt（x）
即可得到如下图所示的函数解析式和函数图像（最后的命令实际上是画出了分段函数的图像）．
　　i（x）＝h（x－1）
　　j（x）＝if [0＜＝x＜＝1，x，if [1＜x＜＝2，2－x]]