精品解析：湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

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本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年3月27日下午15：00—17：00
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数，则（ ）
A. 0B. 2C. D.
2. 已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 0
3. 画条直线，将圆内部区域最多分割成（ ）
A. 部分B. 部分
C. 部分D. 部分
4. 某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：
则（ ）
A. 运动时长的第30百分位数是30B. 运动时长的平均数为60
C. 运动时长的极差为120D. 运动时长的众数为60
5. 已知数列中，，，，则下列说法不正确是（ ）
A. B.
C. 是等比数列D.
6. 若，则（ ）
A. 88B. 87C. 86D. 85
7. 已知函数，，若有两个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 以表示数集中的最小值，已知不全为的实数，，二元函数，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数为函数的一个极值点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线，过的焦点的直线与交于A，B两点，设的中点为，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点，则（ ）
A. 点必在抛物线的准线上
B.
C. 面积的最小值为
D. 过作直线的平行线交轴于点，则
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，方程无解
B. 当时，存在实数使得函数有两个零点
C. 若恒成立，则
D. 若方程有3个不等的实数解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列中，，，，则的前项和__________．
13. 已知直线与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，若，则实数__________．
14. 所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（1）判断形状；
（2）若在边上，且，，以和为边，向外作两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值．
16 如图，已知三棱锥中，平面底面，平面，且，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17. 已知函数．
（1）证明：函数有三个不同零点的必要条件是；
（2）由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）．
若，证明：方程至多有3个实数根．
18. 在平面直角坐标系内，以原点为圆心，（，，为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点，分别作轴，轴的垂线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设，点，，过点的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．
（i）若，的内切圆的圆心的纵坐标为，求的值；
（ii）若点是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交于点，证明：的长为定值．
19. 设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：
仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．
（1）设二维离散随机变量的联合分布列为
求给定条件下的条件分布列；
（2）设为二维离散随机变量，且存在，证明：；
（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．
星期
一
二
三
四
五
六
日
时长（分钟）
60
150
30
60
10
90
120
Y
X
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
Y
X
1
2
3
1
0.1
0.3
0.2
06
2
0．05
0.2
0.15
0.4
0.15
0.5
0.35
1