大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．圆的圆心与半径分别为( )
A.,B.,C.
,D.,
2．已知直线与直线平行,则实数a的值是( )
A.2或0B.2C.0D.-2
3．已知正四面体的棱长为a,点E,F分别是,的中点,则的值为( )
A.B.C.D.
4．已知是等比数列,是等差数列,,公比q等于公差d, ,则为( )
A.B.-2C.3D.
5．设椭圆的左右焦点分别为、,P是C上一点,,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．数列,满足,,则的前10项之和等于( )
A.B.C.D.
7．若双曲线与直线 没有交点, 则双曲线离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．如图,过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于A,B两点,与其准线l交于点C(点B位于A,C之间)且,于点D且,则等于( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若1,a,b,c, 16成等比数列,则( )
A.B.C.D.
10．过点引圆的切线, 则切线的方程为( )
A.B.C.D.
11．已知曲线,则以下说法正确的是( )
A.M可能是两条平行的直线
B.M既不可能是抛物线,也不可能是圆
C.M不可能是焦点在y轴上的双曲线
D.当时,M是一个焦点在y轴上的椭圆
12．如图,是一块半径为1的圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形,,⋯,,⋯,记纸板的周长为,面积为,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．已知直线l过点,在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足,则直线l的方程为_____________.
14．已知数列为递减数列,其前n项和,则实数m的取值范围是____________.
15．已知抛物线的焦点为F,过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在x轴的上方),则___________.
16．如图,在棱长为2的正方体中,点E是侧面内的一个动点(不包含端点),若点E满足;则的最小值为_____________.
四、解答题
17．已知的顶点坐标分别是,,．
(1)求的外接圆方程;
(2)求的面积．
18．已知数列满足,且,．
(1)求,,并证明：数列是等比数列;
(2)求数列的前10项和．
19．已知抛物线的准线方程是.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线与抛物线相交于M,N两点,O为坐标原点,证明：．
20．已知正项数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和．
21．如图,C,D分别是直径的半圆O上的点,且满足,为等边三角形,且与半圆O所成二面角的大小为,E为PA的中点．
(1)求证：平面;
(2)在弧上是否存在一点F,使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在,求出点F到平面的距离;若不存在,说明理由．
22．平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为2．
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线交椭圆于A、B两点,D是椭圆C上一点,直线的斜率为n,且,T是线段延长线上一点,且,的半径为,,是的两条切线,切点分别为P,Q,求的最大值．
参考答案
1．答案：C
解析：圆C的方程可化为,可知圆心为,半径为．
故选：C．
2．答案：B
解析：当时,两直线都为,重合,故舍去;
当时,由两直线平行,得到,解得,
经检验,两直线不重合,成立,
综上,实数a的值是2．
故选：B．
3．答案：C
解析：如图所示,在正四面体中,点E,F分别是,的中点,
,,
．
4．答案：C
解析：是等比数列,,,设等比数列的公比是q,
,,
,,,
故选：C．
5．答案：D
解析：,
,,
,,
又,
,,
的离心率为：．
故选：D．
6．答案：B
解析：
故选：B．
7．答案：C
解析：双曲线的一条渐近线为,
直线可化为,
由题意可得,即,
又,,
又双曲线离心率,
双曲线离心率．故选：C．
8．答案：B
解析：设于点E,准线l交x轴于点G,
则,又,
,,
又于点D且,,
,即,
,
．
故选：B．
9．答案：BD
解析：因为,且b与首项1同号,所以,
因为a,c同号,且,所以或．
故选：BD．
10．答案：BC
解析：据题意,知圆的圆心为,半径．
当切线斜率不存在时,切线方程为,符合题意;
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
再根据圆心(1,1)到切线的距离等于半径,可得,求得,
故此时切线方程为.
综上可得,圆的切线方程为,或,
故选：BC．
11．答案：AB
解析：A项：当即时,,为两条平行直线,正确．
B项：若M是圆,则,无解,
由于无一次项,故不可能是抛物线,正确;
C项：由,,为双曲线时,此时焦点只能在y轴上,错误;
D项：若M是焦点在y轴上的椭圆,则无解,错误．
12．答案：ABD
解析：根据图形生成的规律可知,
,,,故A正确;
,,,故B正确;
根据题意可知,图形中被剪去的最小的半圆的半径为,
所以当,故C错误;
根据题意可知,图形中被剪去的最小的半圆的半径为,
,故D正确．
故选：ABD．
13．答案：或
解析：设直线的斜率为,所以直线方程为：．
由题意可知,,因为,所以,
解得或,
故所求的直线的方程为：或．
故答案为：或．
14．答案：
解析：①当时,,
②当时,,
当时,,数列递减,
综上所述,若使为递减数列,只需满足,即,
解得,
故答案为：.
15．答案：
解析：设,,由可得直线的方程为,
联立方程后整理为,
解得,,且有．
由抛物线的定义,有．
16．答案：
解析：在棱长为2的正方体中可建立如图空间直角坐标系．
设,,,
所以,,
因为,
所以,
故,
因为,
所以令,
代入上式得：
其中,,
所以即
因此的最小值为,
另也可以用的几何意义,用圆的概念来判断
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设圆的方程为,
则将,,三点代入可得,,,
所以所求圆的方程为．
(2)由题意得,
,
所以,
即,
点C到直线的距离为,
所以．
18．答案：(1)见解析
(2)4082
解析：证明：(1);,
当时,,,
,,数列是以2为首项,公比为2的等比数列．
(2),,,
.
19．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由抛物线的准线方程为,
则,则,
抛物线方程为：;
(2)证明：设,,
由,消去y整理得,
,由,,两式相乘,得,
注意到,异号,所以,
则,
．
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,．
当时,,①,,②
①-②得：,即：．
,
是以1为首项,以2为公差的等差数列,;
(2)由(1)可知,
则,①
两边同乘2得：,②
①-②得：
,
．
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：设G为的中点,连接,则,
因为为等边三角形,为中点,所以,
又平面与半圆所成二面角的大小为,平面与半圆所在的平面的交线为,
则平面,
以为原点,,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
所以取,
因为,所以,
又平面,所以平面;
(2)设平面的法向量为,,,
所以,取,因为圆的方程为,设,,
,
设直线与平面所成角为,
则,
则,则,
所以,,
故在弧上存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为,
点到平面的距离为．
22．答案：(1)
(2)的最大值为,此时
解析：(1)由题意得,,
又,,,
椭圆方程为：．
(2)设,,
联立,得,
,
,,
,
,直线的方程为：,
联立得,,
,
,
,
令,,且,,
则
当且仅当,,即,时等号成立,
,因此,
的最大值为,
综上所述,的最大值为,此时．