广东省珠海市四校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省珠海市四校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在等差数列中,若,则( )
A.2B.4C.6D.8
2．A、B、C、D四人并排站成一排,如果A与B相邻,那么不同的排法种数是( )
A.24种B.12种C.48种D.23种
3．已知正项等比数列前n项和为,且,,则等比数列的公比为( )
A.B.2C.D.3
4．函数的图象在点处的切线与直线垂直,则( )
A.8B.-8C.2D.-2
5．展开式中的系数为( )
A.5B.30C.35D.40
6．在一次春节聚会上,小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡,这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福,则( )
A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下,小张抽到小王写的贺卡的概率为
C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
7．定义域为的函数满足,其导函数为,当时,有成立,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数,曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与直线平行,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．数列的前n项和为,已知,则( )
A.是递增数列B.是等差数列
C.当时,D.当或4时,取得最大值
10．在二项式的展开式中( )
A.常数项是第4项B.所有项的系数和为1
C.第5项的二项式系数最大D.第4项的系数最小
11．观察图象，下列结论错误的有( )
A.若图中为图象，则在处取极小值
B.若图中为图象，则有两个极值点
C.若图中为图象，则在上单调递增
D.若图中为图象，则的解集为
12．在2022年的期中考试中，数学出现了多项选择题.多项选择题第11题有四个选项A、B、C、D，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的有( )
A.某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B.B选项是正确选项的概率高于
C.在C选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为
D.在D选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率
三、填空题
13．已知数列的前n项和为,则_______________．
14．离散型随机变量X的概率分布规律为,,2,3,4,5,6,其中a是常数,则__________________．
15．已知函数满足,则曲线在点处的切线斜率为________________．
16．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第12个数与第13个数的比为．
四、解答题
17．已知公差不为零的等差数列中,,又,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．
18．回答下列问题
(1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率为0.8,连续两天为优良的概率为0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？(2)有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占,二厂生产的占,三厂生产的占,又知这三个厂的产品次品率分别为,,,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
19．已知函数,其图象在点处的切线方程为．
(1)求a,b的值;
(2)求函数的单调区间和极值;
(3)求函数在区间上的最大值．
20．记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
21．珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品.并且每箱含有0,1,2盒非优质产品粉笔的概率为0.7,0.2和0.1,为了购买该品牌的粉笔,校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i件非优质产品”为事件．
(1)求,,;
(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒,设X为非优质产品的盒数,求X的分布列．
22．已知函数．
(1)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数有两个极值点为,,且,若恒成立,求实数m的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：是等差数列,
,
又,
,即,
．
故选：D．
2．答案：B
解析：由题意,因为A与B相邻,将A与B放在一起,共有种排法,
将A与B看成一个整体,与C、D进行全排列,共有种排法,
综上共有种排法．
故选：B．
3．答案：A
解析：因为,
所以
设公比为q,可得:,
两式相除得:
故选:A
4．答案：B
解析：由题意可得：,
故函数的图象在点处的切线斜率,
又因为该切线与直线垂直,故有,
解得．
故选：B．
5．答案：B
解析：根据题意知,的展开式的通项公式为,
展开式中含项的系数为．
故选：B．
6．答案：B
解析：对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法,
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种,
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为,A错误;
对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A,则,
小张抽到小王写的贺卡为事件B,则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下,
小张抽到小王写的贺卡的概率为,B正确;
对于C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种,
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为,C不正确;
对于D,每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种,
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为,D错误．
故选：B．
7．答案：B
解析：因为定义域为的函数满足,
故函数为奇函数,且,
令函数,,显然该函数为奇函数,且．
又因为当时,有成立,
所以,,
故函数在递减,
所以在内单调递减,
且时,;x∈(-π2,0)时,g(x)>0．
因为,且时,,
故．
故．
故选：B．
8．答案：A
解析：,,
令,得,
设,则,
时,;时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
,当,,
由题意,有两个不同的解,
即与的图像有两个不同的交点,
,解得,
实数m的取值范围是．
故选：A．
9．答案：CD
解析：当时,,
当时,,不满足上式,
所以,对于A,由于,,所以不是递增数列,所以A错误,
对于B,由于,,,所以,
所以不是等差数列,所以B错误,
对于C,由,得,所以当时,,所以C正确,
对于D, ,因为,
所以当或4时,取得最大值,所以D正确．
故选：CD．
10．答案：BCD
解析：二项式的展开式的通项公式为,
对于A,令,得,故常数项是第5项,故A错误;
对于B,令,可得所有项的系数和是,故B正确;
对于C,由可得,展开式共9项,则第5项的二项式系数最大,故C正确;
对于D,因为二项式的展开式的通项公式为,
假设第项的系数的绝对值最大,则
解得,又,
所以或,
当时,;当时,,所以第4项的系数最小,故D正确．
故选：BCD．
11．答案：ABD
解析：选项A；若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为图象，，，函数单调递减；，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增；故函数有-2，0，2三个极值点，选项B错误；
选项C：若图为图象，则时，单调性相反，即，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增；当，单调性一致，，函数单调递增；故C正确；
选项D：若图为图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；故选ABD.
12．答案：BC
解析：若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确答案的概率为，对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确：对于D，D选项为错误选项为事件C，，正确选项有2个为事件D，则，错误.故选:BC.
13．答案：
解析：当时,,当时,,
即时,不符合时的关系式,
．
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,,2,3,4,5,6,
所以,
所以,
所以．
故答案为：．
15．答案：3
解析：函数,可得,
,可得,
即,所以,
可得,解得,
所以,．
故答案为：3．
16．答案：35
解析：假设第中从左至右第12个数与第13个数的比为,
第n行从左到右第12个数为,第13个数为,
则,即,解得．
故答案为：35．
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)公差d不为零的等差数列中,,
又,,成等比数列,
可得,,
即,
解得,,
则;
(2),
可得前n项和
．
18．答案：(1)0.75
(2)0.0345
解析：(1)设随后一天的空气质量为优良的概率是P,
由已知可得,,则．
故随后一天的空气质量为优良的概率是0.75;
(2)设这批产品共有n件,
则一厂生产的次品为件,
二厂生产的次品为件,
三厂生产的次品为件．
故从这批产品中任取一件是次品的概率是．
19．答案：(1)
(2) 的极大值是,极小值是
(3) 在区间上的最大值为
解析：(1)由题意,
又函数的图象在点处的切线方程为,
所以切线的斜率为-1,即,,解得
又点在直线上,,
同时点即点在上,,
即,解得.
(2)由(1)有,,
由可知,或,
所以有x、、的变化情况表如下：
由上表可知,的单调递增区间是和,单调递减区间是;
函数的极大值是,极小值是.
(3)由(2),函数在区间上的极大值是.
又,,
函数在区间上的最大值为．
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：当时,,
由,解得,
当时,,代入,
消去,可得,所以,
所以是以为首项,为公差的等差数列．
(2)由题意,得,
由(1),可得,
由,可得,
当时,,显然不满足该式,
所以．
21．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)根据题意,,
,
(2)X可能的取值为0,1,2,
所以,
,
,
所以随机变量X的分布列为：
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得恒成立,
设,则,
设函数,则,
所以函数单调递增,,
即,函数单调递增,,
故;
(2)因为,
方程有两个不相等的实根,,且,,
又,
所以
,令,,则,
即,为递减函数,,
所以．
x
0
2
0
-
0
+
极大值
极小值
X
0
1
2
P