西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期3月测试数学试卷(含答案)

这是一份西南大学附属中学校2023-2024学年高二下学期3月测试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．一个三层书架,分别放置语文类读物7本,政治类读物8本,英语类读物9本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有( )
A.3种B.504种C.24种D.12种
2．函数在上的最小值是( )
A.B.C.D.e
3．已知函数,若在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．记数列的前n项和为,若是等差数列,,,则( )
A.B.C.0D.4
5．已知在处的极大值为5,则( )
A.B.6C.或6D.或2
6．已知,,,则a,b,c大小关系为( )
A.B.CD.
7．拉格朗日中值定理又称拉氏定理:如果函数在上连续,且在上可导,则必有,使得.已知函数,,,,那么实数的最大值为( )
A.1B.C.D.0
8．设双曲线的左,右焦点分别为,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,,,则C的离心率为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的定义域为R,函数的导函数的图象如图所示,则下列选项正确的是( )
A.函数的单调递减区间是
B.函数的单调递增区间是,
C.处是函数的极值点
D.时,函数的导函数小于0
10．有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相,计算其排法种数,在下列答案中正确的是( )
A.甲排在两端,共有种排法
B.甲､乙都不能排在两端,共有种排法
C.甲､乙､丙三人相邻(指这三个人之间都没有其他学生),共有种排法
D.甲､乙､丙互不相邻(指这三人中的任何两个人都不相邻),共有种排法
11．已知,,,,则下列说法正确的是( )
A.是偶函数
B.既有最大值又有最小值
C.的单调递增区间为,单调递减区间为和
D.的最大值等于的最小值
三、填空题
12．已知函数在处的导数,则a的值为________.
13．将5名大学生安排到3个不同的公司实习,要求每个公司至少有一名大学生,则不同的安排方式共有______种.
14．已知函数,若对任意两个不相等的正实数,,都有,则实数a的取值范围是___________
四、解答题
15．已知等差数列和正项等比数列满足:,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）已知数列满足,求数列的前项和.
16．已知函数.
（1）若,求在处的切线方程;
（2）讨论函数的单调性;
（3）若函数在处取得极值,且对,恒成立,求实数b的取值范围.
17．已知函数.
（1）若,求函数的极值及单调区间;
（2）若函数有两个零点,求实数m的取值范围.
18．已知椭圆,离心率,过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线l过点,交椭圆与A,B两点,记,证明.
（3）直线与椭圆交于M,N两点,当时,求m值.(O为坐标原点)
19．定义:给定整数i,如果非空集合满足如下3个条件:
①;
②;
③,若,则.
则称集合A为“减i集”
（1）是否为“减0集”?是否为“减1集”?
（2）证明:不存在“减2集”;
（3）是否存在“减1集”?如果存在,求出所有“减1集”;如果不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：从书架上取一本书,由分类加法计数原理可知,不同的取法共有种.
故选:C.
2．答案：D
解析：,,令,可得.
当时,;当时,.
所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即.
故选:D.
3．答案：D
解析：由已知可得,.
因为在R上单调递增,所以恒成立.
因为,
所以恒成立,
所以,,解得.
故选:D.
4．答案：C
解析：因为是等差数列,,
所以的公差,所以,
所以,
所以,
故选:C.
5．答案：B
解析：函数,求导得,
依题意,,即,解得或,
当时,,
当或时,,当时,,因此在处取得极小值,不符题意;
当时,,
当时,,当或时,,因此在处取得极大值,符合题意,
所以,所以.
故选:B
6．答案：D
解析：根据式子结构,构造函数,则,
令,则,令,得,
因此在单调递增,在单调递减,
而,,,
因为,所以,即.
故选:D
7．答案：C
解析：由题意得,,,不妨设,
则存在,使得,
又,故,
其中,
故,
由于,
令,,
则,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
故在处取得极大值,也是最大值,,
故实数的最大值为.
故选:C
8．答案：D
解析：由双曲线的对称性可知,,有四边形为平行四边形,
令,则,
由双曲线定义可知,故有,即,
即,,
,
则,即,故,
则有,
即,即,则,由,故.
故选:D.
9．答案：BD
解析：根据导函数的图象,对于A项,在上,,可得函数的单调递减区间是,故A错误;
对于B项,在上,,在上,可得函数的单调递增区间是,,故B正确;
对于C项,是的变号零点,且时,,当时,,故是函数的极大值点,
是的不变号零点,不是函数的极值点,故C错误;
对于D项,,故D正确.
故选:BD.
10．答案：AD
解析：A,先排甲,然后剩下7人全排,共有种排法,故A正确;
B,先在中间6个位排甲乙,然后剩下6人全排,共有种排法,但是,故B错误;
C,先将甲乙丙三人捆绑,再和剩下5人全排,共有种排法,故C错误;
D,先全排除了甲乙丙剩下的5人,然后将甲乙丙三人插空共有种排法,故D正确.
故选:AD.
11．答案：AC
解析：对于选项A,因为,其定义域为,
所以是偶函数,故A正确;
对于选项B,因为的定义域为,所以,
令,得或,令,得或;令,得,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
但当时,;当时,,所以仅有最小值无最大值,故B不正确;
对于选项C,因为,时,时,
所以上单调递增,在和上单调递减,故C正确;
对于选项D,因为,时,时,
所以在上单调递减,在上单调递增,的最大值为;
而当,;所以无最小值,故D不正确,
故选:AC.
12．答案：1
解析：由,得,
,得
故答案为:1
13．答案：150
解析：依题意,5名大学生有两类分组方法,即1,1,3和1,2,2两种分法,
若分成1人,1人,3人,则共有分组方法;
若分成1人,2人,2人,则共有分组方法;
将分好的三组安排到三个公司中共有种排法,
所以所有的安排方法共有种方法.
故答案为:150.
14．答案：
解析：不妨设,
由得:,
令,则在上单调递增,
在上恒成立,,
当,即时,取得最大值,,解得:,
实数a的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）设的公差为d,的公比为q,由可得:,即①,
由可得:,即②,
联立①②解得:或,因,故,
于是,.
（2）由（1）得:,,则,
故
.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）
解析：（1）当时,,,
则,.
所以在处的切线方程为,即.
（2）由可得:函数定义域为,.
当时,,此时函数在定义域上单调递减;
当时,令,解得;令,解得,
此时函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
综上可得:当时,函数定义域上单调递减;
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值,
所以,即,解得.
此时,
令,解得;令,解得,
所以函数在处取得极值,
故.
所以.
因为对,恒成立,
所以对,恒成立.
令,
则.
令,解得;令,解得,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以.
则,解得:.
所以实数b的取值范围为
17．答案：（1）单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值;
（2）
解析：（1）当时,,定义域,
,
令,解得,
则x,,的关系如下表:
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为,
极小值为,无极大值.
（2）,
记,
,
令,解得
所以在上单调递增,在上单调递减,
且,即,
令,化简得:
记,,
恒成立,
即在上单调递减,且,
所以当时,方程有唯一解,且,又有两不同的解,即函数有两个零点.
故.
18．答案：（1）;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）由题意知:,解得:
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意知直线斜率存在,设直线l为,,
联立,消y得:
,,,
所以.
（3）设,
联立,消y得:
解得,
,,
,,
因为
所以
即
即
解得:.
19．答案：（1）是“减0集”;不是“减1集”
（2）证明见解析;
（3）存在;,,
解析：（1）,,,,是“减0集”
同理,,,,,不是“减1集”.
（2）假设存在A是“减2集”,则若,
那么,当时,有,
则x,y一个为2,一个为4,所以集合A中有元素6,
但是,,与A是“减2集”,矛盾,
当时,则或,若,
M为除1以外的最小元素,则,时,小于,
若要符合题意则,此时取,时,不属于A,故不符合题意;
时,,同样得出矛盾,综上所述,故不存在“减2集”.
（3）存在“减1集”A..
①假设,则A中除了元素1以外,必然还含有其它元素.
假设,,而,因此.
假设,,而,因此.
因此可以有.
假设,,而,因此.
假设,,,,,因此.
因此可以有
以此类推可得:,,
所以满足条件A的集合:,,
x
1
0
单调递减
单调递增