宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，高二，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．某学校高三、高二、高一年级学生人数分别为600、400、300人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取52人进行调查，则从高二年级中抽取的人数为( )
A.12B.16C.18D.24
3．设，，则“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件
4．已知，则( )
A.B.C.D.
5．已知向量，满足，，，则( )
A.0B.1C.2D.4
6．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为( )
A.B.C.D.
7．已知，则的最小值为( )
A.4B.6C.8D.2
8．已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是( )
A.3B.5C.7D.9
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.化成弧度是B.化成角度是
C.化成弧度是D.与的终边相同
10．已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A.的相反向量是B.若，则
C.在上的投影数量为D.若，则
11．已知函数，则下列描述正确的是( )
A.函数的最小正周期为π
B.是函数图象的一个对称轴
C.是函数图象的一个对称中心
D.若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数
12．已知，函数，下列结论正确的是( )
A.，
B.若在上单调递增，则a的取值范围是
C.若函数有2个零点，则a的取值范围是
D.若的图象上不存在关于原点对称的点，则a的取值范围是
三、填空题
13．命题“，”的否定是___________.
14．设，是不共线的向量，若，，，A，B，D三点共线，则的值为___________.
15．函数是定义在R上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则___________.
16．在中，已知点D在线段的延长线上，且，点O在线段上（与点C，D不重合）.若，则x的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角.
18．平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求和的值；
（2）若，化简并求值.
19．某校为了解该校男生的身高情况,随机抽取100名男生,测量他们的身高(单位:厘米),将测量结果按,,,,,分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校男生身高的中位数;
（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
20．如图，在中，点E在线段上，且.
（1）用向量，表示；
（2）若，求的值.
21．已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.
（1）求的解析式
（2）求函数的单调递减区间
（3）求的最大值以及对应x的取值集合.
22．已知定义在R上的函数，且是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）当时，记的最大值为M.，若存在，使，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：.故选：C.
2．答案：B
解析：设从高二年级抽取的人数为x，则，解得：.故选：B.
3．答案：A
解析：若，则，即，故，充分性成立，不妨设，，此时，但不满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.
4．答案：B
解析：因为，所以，故选：B.
5．答案：D
解析：由向量，满足，，
因为，可得，解得，故选：D.
6．答案：A
解析：正三角形的面积为，圆弧的长度为，故一个弓形的面积为，故“莱洛三角形”的面积为.故选：A.
7．答案：A
解析：由，得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以当，时，取得最小值4.故选：A.
8．答案：A
解析：因为，故时，函数取到最大值，又，可知为的对称中心，故，，，，故，；又在上单调，故，即，，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，，则，，结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，故，，则，，结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，故，，则，，结合，可得，则，由，得，由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，，则，，结合，可得，则，满足为的对称中心，由，得，由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故，故选：A.
9．答案：ABD
解析：A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；B：对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；C：对应的弧度为，故C错误；D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，，所以，，
所以在上的投影数量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误.故选：AC.
11．答案：ACD
解析：函数的最小正周期，故A正确;，所以关于对称，故B错误;，所以是函数图象的一个对称中心，故C正确;
根据题意，
则，所以为奇函数，故D正确.故选:ACD.
12．答案：ABD
解析：对于A，因为，函数在上单调递增，所以当时，，正确；对于B，由在上单调递增知，解得，正确；对于C，当时，函数，作出函数的图象，如图：
由图知，直线与函数有两个交点，则方程有两个根，即函数有2个零点，显然，错误；对于D，易知与函数的图象关于原点对称的函数为，作出示意图：
要使若的图象上不存在关于原点对称的点，则，即，
解得，即a的取值范围是，正确.故选：ABD.
13．答案：，
解析：命题“，”的否定是：“，”.
故答案为：，.
14．答案：
解析：因为，是不共线的向量，所以，可以作为平面内一组基底，因为，，，所以，因为A，B，D三点共线，所以，所以，解得.故答案为：.
15．答案：
解析：因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①，是奇函数，则②，联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为4的周期函数，所以，
又当时，，所以.故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示，
设，则，
又因为，点O在线段上（与点C、D不重合），
所以，又因为，所以.故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）向量，，则，由，得，
解得，即，所以.
（2）向量，，则，由，得，
解得，则，，而，，
因此，而，所以与的夹角.
18．答案：（1），
（2），4
解析：（1），由三角函数的定义得，.
（2），
.
19．答案：（1）155.625厘米
（2）
解析：（1）因为,,
所以该校男生身高的中位数在内.
设该校男生身高的中位数为m,则,
解得,即该校男生身高的中位数约为155.625厘米.
（2）由题意可知从身高在内的男生中抽取的人数为,记为a,b,
从身高在内的男生中抽取的人数为,记为c,d,e,
从这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,,de,共10种,
其中符合条件的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7种,
故所求概率.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，点E在线段上，且，所以.
（2）由（1）知，，
，而，因此，即，
所以.
21．答案：（1）
（2），
（3）最大值为6，
解析：（1）选择，两种变换均得.
（2）令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
（3）当，，即，时，取得最大值6，
此时对应的x的取值集合为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）记，为偶函数，恒成立，
即恒成立，恒成立，
恒成立，即恒成立，，.
（2）和都是单调递增函数，在是单调递增的，
，在上有解，在上有解，
在上有解，在上单调递增，，，.