2022-2023学年河南省实验中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省实验中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数16的相反数是( )
A. −16B. 16C. −6D. 6
2.第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国.小明将“亚、洲、体、育、第、一”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，现在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 亚B. 洲C. 体D. 育
3.一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC/​/DE，则∠BAD的度数为( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
4.下列运算不正确的是( )
A. 3x−2x=xB. (x−1)2=x2−1
C. (2x2)3=8x6D. 2x2÷x=2x
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C，D分别作BD、AC的平行线交于点E.若AB=3，∠ACB=30°，则四边形OCED的周长为( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
6.已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个实数根，则a的值是( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
7.下列选项中，最适宜采用全面调查(普查)方式的是( )
A. 调查一批节能灯的使用寿命B. 调查东风渠的水质状况
C. 调查河南省中学生的体育运动情况D. 检测长征二号F遥17火箭的零部件
8.作为中原大省，河南省是我国的人口大省、农业大省、经济大省，2022年，河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的5.0%，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为( )
A. 6.13×108B. 6.13×1010C. 6.13×1012D. 6.13×1014
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是( )
A. ac<0B. 2a−b=0C. b2−4ac>0D. a−b+c=0
10.正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B′E′F′G′，当点G′与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B′E′F′G′与正方形ABCD的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个与x轴有公共点的函数表达式：______．
12.不等式x+1<4的非负整数解为______．
13.第十一届中国(郑州)国际园林博览会于2017年9月29日在郑州航空港经济综合实验区开幕，共有园博园、双鹤湖中央公园、苑陵故城遗址公园三个园区.因园区规模较大，一天只能游玩这三个园区中的一个.2023年5月1日小明和小亮计划去游玩，他俩随机选择一个园区进入，则小明和小亮选择同一个园区进行游玩的概率为______．
14.如图，在矩形ABCD中，AD=2 2，AB=2，以D为圆心，以AD长为半径画弧，以C为圆心，以CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，则阴影部分的面积为______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D为边AB的中点，点E是边BC上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△B′DE，线段B′D交边BC于点F.当△DEF为直角三角形时，BE的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.(1)计算：( 3−1)0+(−13)−1−327；
(2)化简：(1−1x−1)÷x−2x2−1．
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛将于4月底在郑州举行，本届比赛共有10支队伍参赛，届时将会向100多个国家和地区进行赛事转播，对放大国际顶级赛事综
合效应，提升郑州国际化城市形象具有积极意义，为积极响应城市号召，选拔学生志愿者，郑东新区某学校举办了以“摩托艇运动”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“摩托艇运动”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩(百分制，成绩取整数)并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100.信息如下：信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示：信息2：在70≤x<80这一组的成绩是(单位：分)70，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，79；根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为______；
(2)这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分，小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩.“你认为小亮的说法正确吗？请说明理由；
(3)请对该校学生对以“摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况作出合理的评价．
18.(本小题9分)
如图，已知反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C.点B为该反比例函数图象上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD.直线BC与x轴的负半轴交于点E．
(1)求反比例函数表达式；
(2)若BD=2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由．
19.(本小题9分)
河南省实验中学是足球传统强校，在2017年中国中学生足球协会杯决赛中，该校初中组高中组均摘得桂冠，喜获“双冠王”.该校某数学小组测量足球场照明灯杆FC的高度，如图，在B处用测角仪测得照明灯杆顶端F的仰角为45°，沿BC方向前进50米到达D处，又测得照明灯杆顶端F的仰角为37°.已知测角仪高度AB=DE=1.3米，测量点B，D与照明灯杆FC的底部C在同一水平线上，求照明灯杆FC的高度(结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
20.(本小题9分)
卫龙辣条是现市场上销售的一种品牌休闲食品，在学生中很受欢迎.俭学街某便利店批发一部分该食品进行销售，已知每包卫龙辣条的进价是每包普通辣条进价的2倍，用40元购进的卫龙辣条比用10元购进的普通辣条多10包．
(1)求卫龙辣条和普通辣条每包的进价分别是多少元？
(2)该便利店每月用1000元购进卫龙辣条、普通辣条，并分别按3.5元/包、2元/包的价格全部售出.若普通辣条的数量不超过卫龙辣条数量的3倍，请你帮该便利店设计进货方案，使得每月所获总利润最大．
21.(本小题9分)
足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术(把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门).一般来说，吊射战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线.摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米.以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．
22.(本小题10分)
水车又称孔明车，是中国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产.相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，已有1700余年历史.小明对水车进行了研究，如图，水渠CD与水车⊙O相切于点D，连接DO，已知⊙O的半径为1.2米，支柱OA、BC与水面AB垂直，支柱OA的高度为3.5米，点A与点B之间的距离为3.6米，点O，A，B，C，D在同一平面内．

(1)求证：∠AOD−∠BCD=90°．
(2)实践中发现，水渠CD与支柱BC的夹角∠BCD大小为74°时，水车装置较为牢固稳定，请计算支柱BC的高度.(结果要求精确到0.1，参考数据：sin74°≈2425，cs74°≈725，tan74°≈247)
23.(本小题10分)
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F.根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．
(2)迁移探究：
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB：AD=m：n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出BECF的值，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______.(直接写出答案不必说明理由)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数16的相反数是−16．
故选：A．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是“体”，
故选：C．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．利用平行线的性质求得∠1=45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】
解：如图：
∵∠DAE=90°，∠AED=45°，
∴∠D=45°，
∵BC/​/DE，∠B=30°，
∴∠1=∠D=45°，
∴∠BAD=∠1−∠B=45°−30°=15°，
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：A.3x−2x=x，故选项A计算正确，不符合题意；
B.(x−1)2=x2−2x+1，故选项B计算错误，符合题意；
C.(2x2)3=8x6，故选项C计算正确，不符合题意；
D.2x2÷x=2x，故选项D计算正确，不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项的法则，完全平方公式、积的乘方和单项式除以单项式可以计算出各个选项中式子的正确结果，再进行判断即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=3，∠BCD=90°，OD=OC，
∵∠ACB=30°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=OC=DC=3，
又∵DE/​/OC，OD/​/CE，
∴四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的周长为：3×4=12，
故选：B．
根据矩形的性质可得AB=DC=3，∠BCD=90°，OD=OC，由∠ACB=30°，可证△OCD是等边三角形，再根据DE//OC，OD/​/CE，可证四边形OCED是菱形，即可计算出结果．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形OCED是菱形是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：将x=1代入该方程，得：1+a−2=0，
解得：a=1，
故选：A．
根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2+ax−2=0，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解．
本题主要考查一元二次方程的解的定义及解一元一次方程．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、调查一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、调查东风渠的水质状况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、调查河南省中学生的体育运动情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D、检测长征二号F遥17火箭的零部件，适合全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8.【答案】C
【解析】解：6.13万亿=6130000000000=6.13×1012，
故选：C．
首先把6.13万亿化为6130000000000，再用科学记数法表示6130000000000，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】B
【解析】解：由图象可知a<0，c>0，
∴ac<0，
∴A选项不符合题意，
∵对称轴为−b2a=1，
∴2a+b=0，
∴B选项符合题意，
由抛物线的顶点位置可知4ac−b24a>0，
∵a<0，
∴4ac−b2<0，
∴b2−4ac>0，
∴C选项不合题意，
∵抛物线与x轴右侧的交点的横坐标为3，对称轴为1，
∴抛物线与x轴左侧的交点为−1，
即a×(−1)2+b×(−1)+c=a−b+c=0，
∴D选项不合题意，
故选：B．
根据二次函数的图象与系数即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记二次函数解析式中系数对图象位置的影响，a决定开口方向，a、b决定对称轴，c决定图象与y轴的交点．
10.【答案】A
【解析】解：①当0≤x≤2时，S随x的增大而增大，最大值为4；
②当2③当4故选：A．
把运动距离分0≤x≤2，2本题主要考查了动点函数图象问题，正确要选择符合题意的函数图象是解题关键．
11.【答案】y=x+1(答案不唯一)
【解析】解：与x轴有公共点的函数表达式：y=x+1，
故答案为：y=x+1(答案不唯一)．
写一个不与x轴平行的直线表达式即可．
本题考查了一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】0、1、2
【解析】解：x+1<4，
移项、合并同类项得x<3，
∴该不等式的非负整数解有：0、1、2，
故答案为：0、1、2．
根据不等式的性质求出解集即可．
本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：分别用A，B，C表示园博园、双鹤湖中央公园、苑陵故城遗址公园，
画树状图，如下：
共有9种等可能的结果，小明和小亮恰好选中同一公园游玩的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选中同一公园游玩的概率为39=13，
故答案为：13．
画树状图，共有9种等可能的结果，小明和小亮恰好选中同一公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】2
【解析】解：连接DE，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=2，
∵EC=DC，
∴∠ADE=45°，ED=2 2，
∴扇形AED的面积为：45°π×(2 2)2360°=π，
∵S2的面积为：14π×22−12×2×2=π−2，
∴阴影部分的面积为：π−(π−2)=2．
故答案为：2．
连接DE，根据勾股定理，得DE=2 2，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S2，根据S2的等于扇形DEC的面积减去S△ECD，即可．
本题考查矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
15.【答案】 32或3 34或 3
【解析】解：△DEF为直角三角形，有如下三种情况：
①如图，当B′F⊥BC时，∠DFE=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDF=60°，
又∠BDE=∠B′DE，
∴∠B′DE=30°，
∵D是AB的中点，
∵BD=AD=12AB=32，
∴DF=sinB⋅BD=sin30°×12AB=12×32=34，
BF=csB⋅BD=cs30°×12AB=3 34，
∴EF=tan∠EDF⋅DF=tan30°×DF= 33×34= 34，
∴BE=BF−EF=3 34− 34= 32；
②当DE⊥BC时，∠DEF=90°，此时B′点与点F重合，如图，
此时，BF=BD⋅csB=12AB×cs30°=32× 32=3 34；
③当DE⊥AB时，∠EDF=90°，此时B′点与点A重合，F点与点B重合，如图，
此时BE=BDcsB=12ABcs30∘= 3，
BE的长为 32或3 34或 3．
故答案为： 32或3 34或 3．
分B′F⊥BC、DE⊥BC和DE⊥AB三种情况讨论求解即可．
本题考查翻折变换、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】解：(1)( 3−1)0+(−13)−1−327
=1+(−3)1−3
=1−3−3
=−5；
(2)(1−1x−1)÷x−2x2−1
=(x−1x−1−1x−1)÷x−2x2−1
=x−2x−1×(x+1)(x−1)x−2
=x+1．
【解析】(1)根据a0=1(a≠0)，a−1=(1a)1，按照实数的混合运算，即可；
(2)先计算小括号，然后化除为乘，根据分式的乘除，即可．
本题考查实数和分式的知识，解题的关键是掌握实数的运算法则，分式的乘除运算．
17.【答案】77.5 35%
【解析】解：(1)∵这组数据的总个数为80，
∴这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而第40、41个数据分别为77、78，
∴这组数据的中位数是77+782=77.5，
成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为5+9+1480×100%=35%，
故答案为：77.5，35%；
(2)小亮的说法错误，
因为小颖的测试成绩是76分，这组数据的中位数是77.5分，小颖成绩低于中位数，
所以小颖的成绩低于一半学生的成绩；
(3)成绩低于70分的人数占测试人数的百分比达到35%，
所以所以该校学生对以摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况仍要加强(答案不唯一)．
(1)根据中位数的概念求解即可，用成绩低于70分的人数除以总人数即可；
(2)根据中位数的意义求解即可；
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18.【答案】解：(1)把A(4,2)，代入反比例函数的解析式得2=k4，
解得k=8，
∴反比例函数表达式为：y=8x．
(2)反比例函数表达式为：y=8x，
∵AC⊥y，BD⊥x，A(4,2)，
∴AC=4，OC=2，
∵BD=2OC，
∴BD=2×2=4，
∵BD⊥x，
∴点B的纵坐标为4，代入y=8x中，得
4=8x，
解得x=2，
∵B(2,4)，
∵C(0,2)，设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有2k+b=4b=2，
解得k=1b=2，
∴直线BC的解析式为y=x+2，
令y=0，得0=x+2，
解得x=−2，
∴C(−2,0)，
∴DE=2−(−2)=4，
∵AC=4，DE=4，AC/​/DE，
∴四边形ACED为平行四边形．
【解析】(1)根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案．
(2)由题意求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可解决问题．
本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法，平行四边形的判定．
19.【答案】解：由题意可知：

BD=50米，AC=CG=DE=1.3米，BC=AG，CD=EG，
∵∠FAG=45°，
∴FG=AG，
∴EG=AE−AG=AE−FG=50−FG，
∵∠FEG=37°，
∴tan∠FEG=FGEG=tan37°=0.75，即FG50−FG=0.75，
解得：FG≈21.4米，
∴FC=FG+CG=21.4+1.3=22.7≈23米．
答：照明灯杆FC的高度为23米．
【解析】如图：由题意可知：BD=50米、AC=CG=DE=1.3米、BC=AG，CD=EG，然后根据∠FAG=45°可得FG=AG，进而得到EG=50−FG，再根据正切的定义列式可求出FG≈21.4，最后根据FC=FG+CG即可解答．
本题主要考查了解直角三角形的应用，理解正切的定义是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，
∴402x−10x=10，
解得：x=1，
经检验，x=1是方程的解，
∴普通辣条的进价为1元，卫龙辣条的进价为2元．
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(1000−2m)包，
∵普通辣条的数量不超过卫龙辣条数量的3倍，
∴1000−2m≤3m，
解得：m≥200，
设购进的辣条全部出售后获得的总利润为y元，
∴y=(3.5−2)m+1×(1000−2m)，
=1.5m+1000−2m，
=−0.5m+1000，
∵−0.5<0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m=200时，y最大，
答：购进卫龙辣条200包时，每个月的总获利最大．
【解析】(1)设普通辣条进价为x元，则卫龙辣条的进价为2x元，根据题意，列出方程，解出方程，即可；
(2)设购买卫龙辣条m包，则普通辣条：(1000−2m)包，根据题意，列出方程，即可．
本题考查分式方程的应用，一次函数的知识，解题的关键是理解题意，列出方程，掌握一次函数的图象和性质．
21.【答案】解：(1)由题意可得，足球距离点O(30−14)=16米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y=a(x−16)2+8，
把(0,0)代入解析式得：0=a(0−16)2+8，
解得：a=−132，
故抛物线解析式为：y=−132(x−16)2+8，
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=−132(x−16)2+8，
∵守门员在球门前方距离球门线1米处，
∴x=30−1=29(米)，
当x=29时，y=−132(29−16)2+8=8732，
∵8732<2.8
∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射．
【解析】(1)根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
(2)求出当x=29时的函数值，即可得出结论．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
22.【答案】(1)证明：作OE⊥CD于点E，则∠AEC=90°，

∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOE=180°−∠BCD，
∵∠A=∠B=∠OEB=90°，
∴四边形ABEO为矩形，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOD=360°−90°−(180°−∠BCD)，
∴∠AOD−∠BCD=90°；
(2)解：延长AO交CD于点F，作FG⊥CD于点G，则∠AGC=∠AGB=90°，
同理得四边形ABGF为矩形，则FG=AB=3.6，BG=AF=AO+OF=3.5+OF，∠AFG=90°，

∵∠BCD大小为74°，
∴∠CFG=90°−74°=16°，
∴∠OFD=90°−16°=74°，
∵OD=1.2，∠ODF=90°，
在Rt△ODF中，
∴OF=ODsin74∘=1.2sin74∘=1.22425=1.25，
在Rt△CFG中，CG=FGtan74∘=3.6247=1.05，
∴BC=3.5+1.25+1.05=5.8(米)．
答：支柱BC的高度为5.8米．
【解析】(1)作OE⊥CD于点E，则∠AEC=90°，由切线的性质得到∠ODC=90°，由四边形内角和定理得到∠DOE=180°−∠BCD，再根据周角为360°计算即可证明结论成立；
(2)延长AO交CD于点F，作FG⊥CD于点G，在Rt△ODF和Rt△CFG中，解直角三角形即可求解．
本题重点考查切线的性质，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】BE=CF 5−1 π2
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
又AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∵∠BAE=∠FBC，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BE=CF；
故答案为：BE=CF；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，
又AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
∴△ABE∽△BCF，
∴BECF=ABBC，
∵ABAD=ABBC=mn，
∴BECF=mn；
(3)如图，取AB的中点M，连接DM，GM，
由题意知，AE=DF，
由(1)可得Rt△ABE≌Rt△DAF，
同理可得：∠AGB=90°，
∵M是AB的中点，AB=2，
∴AM=MB=MG=1，
在Rt△ADM中，MD= 22+12= 5；
在△MGD中，
∵GD≥MD−MG= 5−1，
∴GD的最小值是 5−1，
∵∠AGB=90°，
∴A、G、B三点共圆，
∴点G在以点M为圆心，在以半径为1的14圆上运动，
∴点G的运动轨迹的长为：2π÷4=π2，
故答案为： 5−1；π2．
(1)根据正方形的性质，由条件利用三角形全等判定可得△ABE≌△BCF，即可证明BE=CF；
(2)证明△ABE∽△BCF，根据相似三角形的性质可得出结论；
(3)根据三边关系可判断出GD的最小值，再判断出点G在以点M为圆心，在以半径为1的14圆上运动，再求点G的运动轨迹即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．