2024年甘肃省武威市凉州区九年级数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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试卷总分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. -2019的相反数是（ ）
A. 2019B. -2019 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【详解】解：-2019的相反数是2019．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义.
2. 剪纸是中国特有的民间艺术.在如图所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【详解】A. 此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，
∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合，
∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
C. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,
∴此图形是轴对称图形,旋转180∘能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
D. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,旋转180°不能与原图形重合，
∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C
【点睛】此题考查轴对称图形和中心对称图形，难度不大
3. 某人沿着倾斜角为，坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：AB=130米， ，
设 米，则 米，
∵ ，
∴ ，
解得： 或（舍去），
∴AC=50米，
即他的高度上升了50米．
故选：D
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡角问题，正确构造直角三角形是解题的关键．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘以多项式运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练运用运算法则是解本题的关键．
5. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式解集，并表示出数轴上即可．
【详解】
解得
将表示在数轴上，如图
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，并将不等式的解集表示在数轴上，数形结合是解题的关键．
6. 是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）
＝2×（－1）
＝－2.
故选A.
【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
7. 如图，四边形内接于，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
8. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′,
∴
又∵AB＝8，A’B’＝6，
∴=
故选B.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大
9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,
故选C.
【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组
10. 已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以.
故选A
【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
12. 将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
【答案】 ①. ②. ③. 内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【详解】解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
13. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】|k|＝S矩形OABC＝6，
∵图象在第一象限，
∴k>0，
∴k＝6.
【点睛】此题考查k的几何意义，解题关键在于双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值
14. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
15. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，csB＝，则∠C＝_____．
【答案】60°．
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，csB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
16. 已知x，y为实数，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：且
∴
解得
此时
当时，
当时，
故答案为：或
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，有理数的加减运算，平方根等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
17. 若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为__________ （结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
【详解】设扇形的半径为
则
解得或（不符题意，舍去）
则这个扇形的弧长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．
18. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】解： 是边的中点，，



矩形，



故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
三、解答题：本大题共9小题，共66分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
【答案】．
【解析】
【分析】先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先把括号里的式子通分相减，再把被除数和除数的分子分解因式，再转化成乘法，然后约成最简分式，最后代入字母的值计算即可．
【详解】解：，
=，
=，
=；
当，．原式=．
【点睛】本题考查分式化简求值，掌握分式化简求值的方法，因式分解方法，约分，最简分式，代数式求值方法是解题关键．
21. 如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作的角平分线交于点；
（2）F为CD中点，连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作图方法直接作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质与中点可证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的的角平分线，
【小问2详解】
如图，连接，
平分

∵F为CD中点，
∴
是的中位线，

【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、中位线的性质，熟练掌握相关性质的关系是解题的关键．
22. 如图，在中，，请验证的结论．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】证明：在中，，
∴
23. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽查了 名学生．
(2)请你补全条形统计图．
(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度．
(4)请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？
【答案】(1)50人；(2)见解析；(3)115.2；(4)288．
【解析】
【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；
（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．
【详解】(1)，
所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；
(2)喜欢戏曲的人数为(人)，
条形统计图为：
(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为；
故答案为50；115.2；
(4)，
所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．
【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出中的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3．
【解析】
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）由图直接解答；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．
【详解】(1)∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点也在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点、在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为．
(2)根据图象得：时，的取值范围为或；
(3)∵直线与轴的交点为，
∴点的坐标为，
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键．
25. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为11.5m
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；
【详解】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．
答：旗杆的高度为11．5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
26. 如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．

【答案】（1）的度数为；（2）圆O的半径为2．
【解析】
【分析】（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由（1）可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
【答案】（1）；
（2）点M坐标（1，2）.
【解析】
【分析】（1）抛物线与x轴交于A，B两点，代入点坐标，列出方程组求解即可；
（2）A、B两点关于对称轴对称，当C、M、B三点共线时，MA+MC最小，算出解析式求解即可得出答案．
小问1详解】
解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
由（1）可得，对称轴是，
当，即，
解得，，
即B（3，0），
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴MA+MC=MC+MB,
∴当C、M、B三点共线时，MA+MC最小，
设直线BC：，代入B、C坐标，
，解得，
∴，当时，，
∴M（1，2）．
【点睛】本题考查求二次函数解析式、路径最短问题，找准对称点，准确代入特殊点坐标计算是解题的关键．