2024年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考一模数学模拟试题原卷版docx、2024年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考一模数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，数轴上点A表示的数是2024，，则点B表示的数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
2. 作冰雪旅游城市之一，春节期间长春旅游市场持续火爆，据统计，仅2024年2月10日至2月13日四天，长春冰雪新天地接待旅游总人数就达到了人次，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
详解】解：．
故选：．
3. 图中的几何体在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，则“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：“堑堵”的俯视图是一个长方形，
故选：C．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.

C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集即可，注意大于小于用空心，大于等于小于等于用实心，大于大于等于开口向右，小于小于等于开口向左．
【详解】解：，
，
数轴上表示为：，
故选：A．
5. 如图，O、B是同一水平线上两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A点到B点的距离为40米，A点到B点的俯角为，则无人机上升的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得米，由即可求解．
【详解】解：由题意可得米，
在中，
，
米，
故选：A．
6. 如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．则∠D等于（ ）
A. 76°B. 38°C. 30°D. 26°
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：先根据切线的性质得到∠OAB=90°，再利用互余计算出∠AOB=52°，然后根据圆周角定理求解．
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=38°，
∴∠AOB=90°﹣38°=52°，
∴∠D=∠AOB=26°．
故选D．
考点：切线的性质．
7. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，，则在线段垂直平分线上，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，点在线段上，
∴，
∴在线段垂直平分线上，
结合选项可知，C选项的作图为线段垂直平分线，符合题意，
故选C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．
8. 如图，在矩形中，点A、B在y轴上，轴，对角线交于点E，，，反比例函数经过C、E两点，则k的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 设，则，，根据反比例函数经过C、E两点列方程求出，进而可求出k的值．
【详解】解：设，
∵，，
∴，．
∵矩形的对角线交于点E，
∴．
∵反比例函数经过C、E两点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：x2-16= ________________．
【答案】（x-4）（x+4）
【解析】
【分析】利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．
11. 如图，，若，，则______度．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的性质得出，，进而可得出答案．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：50．
12. 如图，，与相交于点G，且，，，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵，，，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，，以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，以B为圆心，长为半径画弧，交于点D．则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形与扇形的面积之和与的面积之差．
【详解】解：中，，，，
，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
14. 小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽cm，杯柄高cm，当葡萄酒液面宽cm时，液面与杯口的距离cm，则杯子的高为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据已知确定点坐标，再利用待定系数法求出解析式，求出点B坐标即可解答．
【详解】设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，
依题意得：，，，，，
，，
设葡萄酒杯的抛物线解析式为，将、代入得：
，解得
∴，杯子的高为．
故答案为：23．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．先根据完全平方公式及平方差公式进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
；
当，时，原式．
16. 近几年，参加长春市体育中考考生需进行三个项目测试：①必考项目：男生1000米，女生800米；②选考项目：考生须在以下两类选考项目中，分别选择一项作为考试项目．请用树状图或者列表法表示出一名同学参与“选考项目”的所有可能情况（用字母代替即可），并求出他选择“A：一分钟跳绳和C：立定跳远”的概率，每个项目被选择的可能性相同．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中选择“A：一分钟跳绳和C：立定跳远”的只有1种结果，
所以选择“A：一分钟跳绳和C：立定跳远”的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
17. 长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．某工程公司承担了为某项建设取吨冰块的任务，在2021由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？
【答案】原计划每天取冰块吨
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是设公司原计划每天取冰块x吨，根据“取吨冰块，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设公司原计划每天取冰块x吨．根据题意，得：
．
解得．
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：公司原计划每天取冰块吨．
18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．
（1）图①中，在边上画点E，使；
（2）图②中，画的角平分线，交于F；
（3）图③中，点O在格点上，与相切，切点为A，交于G，与相切，切点为M，与相切，切点为N，画出点M、N．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理， 切线的判定：
（1）如图所示，格点E即为所求；
（2）如图所示，取格点P、N，连接并延长交于F，点F即为所求；
（3）：如图所示，取格点M，P，连接交于N，则M、N即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，格点E即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点P、N，连接并延长交于F，点F即为所求；
易证明，而点P为的中点，则由三线合一定理可知为的角平分线；
【小问3详解】
解：如图所示，取格点M，P，连接交于N，则M、N即为所求；
易证明，则M、N即为所求．
19. 如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，，、的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
20. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数：
根据以上信息；回答下列问题：
（1）表中m的值为______，n的值为______．
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）．
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】（1）；
（2）甲 （3）丙
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据算术平均数和中位数的定义列式计算即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据平均数的定义求解即可．
【小问1详解】
；
乙组10个数据按照由小到大排列后中间两个数为，
∴，
故答案为，．
【小问2详解】
甲同学的方差：，
乙同学的方差：
，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；
【小问3详解】
甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，
故答案为：丙．
21. 一辆轿车和一辆货车同时从长春出发，以各自的速度沿同一高速公路匀速向辽阳行驶．当轿车到达辽阳后，休息30分钟，立即按原速原路匀速返回长春，直至与货车相遇．已知货车的速度为．两车之间的距离与货车行驶的时间的函数图象如图所示．
（1）轿车速度为______．长春与辽阳间高速公路的距离为______；
（2）求出图中线段所表示的函数表达式；
（3）直接写出图中C点的横坐标．
【答案】（1）120，360
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数应用，一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象以及数量关系直接计算，依照函数图象找出点的坐标，再结合数量关系列出算式即可算出结论．
（1）根据点A的坐标，设轿车的速度为，由路程，速度，时间的关系列出方程即可求解；
（2）求出的坐标，再用待定系数法可得答案；
（2）根据点C表示两车相遇，由路程，速度，时间的关系可得C点的横坐标．
【小问1详解】
解：由图象可知：点，表示两车行驶3小时后，相距，且此时，轿车到达辽阳，
设轿车的速度为，根据题意得：，
解得：；
长春与辽阳间高速公路的距离为，
故答案为：120，360；
【小问2详解】
解：轿车到达辽阳后，休息30分钟，立即按原速原路匀速返回长春，
点B的横坐标为，纵坐标为，
，
设线段所表示的函数表达式为，
，
解得，
线段所表示的函数表达式为；
【小问3详解】
解：由（2）知，
根据题意得：（小时），
C点的横坐标．
22. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
请你补全余下的解答过程．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度．
（3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形；
（2）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形；
（3）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，证明，在由三角形三边关系求出的最大值，从而求得的最大值．
【详解】（1）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
在中，
．
（2）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，
∵，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
即．
在中，
．
故答案为：．
（3）解：将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接、．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即．
在中，
当点在时，
∴的最大值为
在中，
∴
．
的最大值为．
23. 如图，在正方形中，，点M是的中点，动点N从点C出发，以每秒π个单位的速度绕点D顺时针旋转后停止，连结，作点M关于直线的对称点，作点C关于直线的对称点，连结、．设运动时间为t秒（）．
（1）当点N运动到终点时，求t的值；
（2）当点落在正方形内部时，求t的取值范围；
（3）当是锐角三角形时，直接写出t的取值范围；
（4）当时，直接写出t的值．
【答案】（1）6 （2）
（3）或
（4）或5．
【解析】
【分析】（1）由点N以每秒π个单位的速度绕点D顺时针旋转180°到达点，求出弧长，再除以旋转速度，即可求解；
（2）当点落在AD边上时，此时点N落在正方形的对角线BD上，旋转角为，求出此时t的值，可得出t的取值范围；
（3）由图可知，当点落在直线的左侧，且时，是锐角三角形，求出时t的值，再结合（2）的结论进行分类讨论并求解即可；
（4）分两种情况讨论：当点落在直线下方时及当点落在直线上方时，分别求出旋转角，并求出t的值即可．
【小问1详解】
解：如图，
当点N运动到终点时，点N以每秒π个单位的速度绕点D顺时针旋转180°到达点，
（秒）；
【小问2详解】
解：如图，
当点落在AD边上时，此时点N落在正方形的对角线BD上，
所以旋转角为，
此时，
当点落在正方形内部时， t的取值范围是；
【小问3详解】
解：由图可知，当点落在直线的左侧，且时，是锐角三角形，
由（2）可得当点落在AD边上时，旋转角为，此时，
同理可得，当点落在AD的延长线上时，旋转角为，此时，
当，且点落在直线下方时，旋转角为，此时，
当，且点落在直线上方时，旋转角为，此时，
当是锐角三角形时，旋转角为到或旋转角为到， t的取值范围是或；
【小问4详解】
解：分两种情况讨论：
如图，当点落在直线下方时，过点作，
设，
由题意得：，，
，
解得：，
，
在中，，
，
此时旋转角为，
，
当点落在直线上方时，由轴对称性质可得，
此时旋转角为，
，
当时，或5．
【点睛】本题考查了旋转及轴对称综合问题，勾股定理，解直角三角形，解直角三角形，根据题意得到旋转角的度数是解题的关键，是中考的压轴题．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的对称轴为直线，且经过点，点P在该抛物线上，它的横坐标为m，设点A坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）过点A作直线轴于点B．
①当直线与抛物线有两个交点时，设这两个交点的横坐标分别为、．若，求m的值．
②将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．当图象G与直线只有一个公共点时，求m的取值范围．
（3）当点P、Q不重合时，以和为边构造，当抛物线的对称轴分的面积为的两部分时，直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）①；②或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴计算公式求出；再代入Q点坐标利用待定系数法求解即可；
（2）①先证明轴，得到直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，则可求出，在中，求出当时，，则，解得；②联立，解得；
当时，，则点A在x轴下方，则 ；当时，则，当时，则当恰好经过抛物线顶点时满足题意，三种情况分解求解即可；
（3）当时，设对称轴与分别交于G、F，过点Q作轴交于E，过点A作轴交于H，分别与y轴交于R、L，证明四边形，四边形，四边形都是平行四边形，得到，，再证明，得到；设，，，，则，可得；则或，解方程即可得到答案；同理求出时满足题意的值即可．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：①∵轴，
∴轴，
∴直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
②联立，解得；
如图所示，当时，，
∵，
∴点A在x轴下方，
当图象G与直线只有一个公共点时，则 ，
∴；
当时，则，
∴；
当时，则当恰好经过抛物线顶点时满足题意，
在中，当时，，
∴顶点坐标为；
∴，即，
综上所述，或或；
【小问3详解】
解：如图，当时，设对称轴与分别交于G、F，过点Q作轴交于E，过点A作轴交于H，分别与y轴交于R、L，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
设，，，，
∴，
∴；
∵抛物线的对称轴分的面积为的两部分，
∴或，
解得或（舍去）；
经检验，是原方程的解；
如图所示，当时，同理可得或，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式，解（2）的关键在于点A的纵坐标与点P纵坐标的关系，从而引出直线，解（3）的关键在于画出对应的图形把对称轴分割成的两部分图形的面积进行再次分割求解．A
B
C
（A，C）
（B，C）
D
（A，D）
（B，D）
E
（A，E）
（B，E）
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
中位数
9
n
9