2024年湖南省永州市东安县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. 的值等于（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得答案．
【详解】解：，
故选A
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
2. 如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图，逐项分析判断，即可求解．
【详解】选项 A中的左视图中没有虚线，选项B是它的主视图，选项D 是它的俯视图，
只有选项C是它的左视图，
故选C.
3. 已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
4. 若点，点在反比例函数的图象上，且，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
先确定反比例函数的增减性，再利用比较它们的函数值的大小．
【详解】∵，
∴函数的图象在第一，三象限，并且在每个象限内，y 随x的增大而减小，
∵点 点 在反比例函数的图象上，且 ，
∴．
故选：B．
5. 如图是由5个小正方形连接而成的图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要是考查正方体展开图．根据正方体展开图的特征，即可求解．
【详解】解：解：把所给图形补成正方体展开图的“141”结构如图：
6. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变，与在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入，即可求得的值．
【详解】解：点在图象上，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是由点的坐标，求出函数的解析式．
7. 如图，在矩形中，于点F，若则的长度为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，可得，可求的长，通过证明，可得，可求的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8. 中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作垂足分别为点E和点H，作于点F，证明四边形是矩形，同时得到，求得，的值，即可得到答案．
【详解】解：如图，作垂足分别为点E和点H，作于点F，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，，
∴,
∴，
故选：D
9. 如图，在中，以边为直径作交于点D，过点D作的切线交AB于点E．若D为的中点，，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质定理，圆周角定理，正确做辅助线是解题的关键；
由为的直径，得，根据中位线的性质得，在证 是等腰三角形，证得，即可得出结论．
【详解】如图，连接，，
为的直径，
，
又D为的中点，O 为的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
，
是等腰三角形，
是的切线，
，
又为的直径，
，
，
，
，
，

，
，
故选：C．
10. 如图矩形的边在轴上，点的坐标为，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形此时，点的对应点与点的对应点均落在轴上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质全等三角形的判定与的性质，解直角三角形，解题的关键是注意题中辅助线的作法．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点作轴于点，证明，可得，，然后证明，可得，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
点的坐标为，，
，，
，
矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11. 如图，在中，，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形，锐角三角函数，先求出的长，进面可求出的长，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
故答案为：．
12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为________．
【答案】9：1
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，然后利用相似三角形的性质可得．
【详解】解：由题意得：，
，
故答案：．
13. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆的高度为______米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交于点H，则，米，米，设米，然后在和中，解直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，则，米，米，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
即，
解得：
∴米．
故答案为：
14. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接分别交对角线于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，过点B作于点P，先证明可得计算出再求解再相加即可得出答案，
【详解】如图，过点B作于点P，
∵四边形为平行四边形，
，
E，F分别是BC，AD的中点，
四边形为平行四边形，
的面积为6，
，
，
∵，
∴，
同理可得，
故答案为：10
【点睛】如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若△ABE的面积为6，则图中阴影部分的面积为
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，求出点M的坐标为，点N的坐标为，根据进行计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
∵点的坐标为
∴，
则点M的坐标为，点N的坐标为，
∴
解得，
故答案为：2．
三、解答题(共8小题，共75分．解答应写出过程)
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题．
（1）画出绕点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限．
【答案】（1）图见解析，点的坐标为；
（2）图见解析；
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质，分别作出对应点、、，依次连接即可得到和点的坐标；
（2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案．
【小问1详解】
解：如下图，点的坐标为；
【小问2详解】
解：位似三角形如图所示．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，张哦我旋转变换和位似变换的性质是解题关键．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点D是点C关于x轴的对称点，求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为
（2）16 （3）或
【解析】
【分析】（1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点，得到，即可得到答案；
（3）根据图象位置得到解集即可．
【小问1详解】
解：∵点，点是图象与直线的交点，
∴，
解得，
∴，，，
∴反比例函数得解析式为，
将点，代入一次函数中，
得 解得
∴一次函数的解析式为，
【小问2详解】
对于直线，
令，得，
∴点C的坐标为，
∵点D是点C关于x轴的对称点
∴点，
∴，
∴；
【小问3详解】
由题图可知，不等式的解集为或．
【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
18. 如图，在中，D是上一点，连接，点E在上，连接，已知，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质等等：
（1）先根据等边对等角得到，则可证明，再证明，即可证明；
（2）先证明，求出进而得到，由（1）得 ，即 解之即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即
∴
由（1）得 ，即
整理得
解得 (边长为正值，舍去负值)．
19. 如图，是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点A处测得灯塔C位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点D处，在D处测得灯塔C位于南偏东：方向，已知灯塔C距离海岸的距离是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离．(结果精确到，参考数据：，)
【答案】42.7海里
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．过点 D 作 交的延长线于点E，作 于点F，先求得海里，再求得海里，最后解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过点 D 作 交的延长线于点E，作 于点F，
∵，

在 中， 海里，
海里，
海里，
，
，
，
在 中， ．
答：此时货船与灯塔之间的距离CD 约为42.7海里．
20. 如图，是的直径，是的切线，以为邻边作，边交于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，先证明，可得，再由是的切线，可得，从而可得结论；
（2）过点 E作于点 F，延长交的延长线于点 M，连接交于点H，先用勾股定理求出，再由四边形为平行四边形，为直径，可得，再证明,求出，再证明，求出最后求解即可．
【小问1详解】
证明：如解图①，连接，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图②，过点 E作于点 F，延长交的延长线于点 M，连接交于点H，
∴，

∴在中，



∵四边形为平行四边形，为直径，
∴，
在中，
又∵O为的中点，，
∴



在中，，
∴，
∵，
∴，

解得
由（1）知，，

21. 中考新考法：跨物理并联电路，请阅读下列材料，完成相应的任务：
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：____________；
依据2：____________；
（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长；
（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）有两个角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例；
（2）见解析； （3）正确，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质分析即可；
（2）根据已知证明过程和图形作图即可；
（3）证明，得到，再结合，，得出，即可证明．
【小问1详解】
解：由证明过程可知，依据1：有两个角分别相等的两个三角形相似，
依据2：相似三角形对应边成比例；
故答案为：有两个角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例；
【小问2详解】
解：如图，即为该电路图中总阻值的线段长；
小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
小明的方法是正确的．
22. 中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：

（1）①与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
（2）我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；
（3）若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．
【答案】（1）见解析，
（2）向左平移1个单位，向上平移2个单位
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）求出时的函数值，利用描点法画出函数图象即可；
（2）根据平移的方式即可解答；
（3）根据函数的图象即可解答；
【小问1详解】
当时，，
补全表格为：
图象如下：
【小问2详解】
的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象；
【小问3详解】
一次函数的图象，如图，可知，
∴的面积为．

23. 在和中，，点F是的中点，连接，将绕点C旋转一周，试判断和的关系．
（1）如图①，当点E在上时，和的数量关系为_____________，直线和直线相交所成的锐角的度数为______________；
（2）如图②，当点E不在上时，（1）中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系，并说明理由．
（3）若，将绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出的长．
【答案】（1），
（2）成立，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再由点F是的中点，可得是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，从而得到，直线和直线相交所成的锐角的度数为，即可求解；
（2）连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，，再证明，可得，即可；
（3）分两种情况讨论：当点D在线段上时，过当C作交于点N；当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，结合全等三角形的判定和性质和勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：在和中，∵，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，
∴，直线和直线相交所成的锐角的度数为；
∴；
故答案为：，
【小问2详解】
解：成立，证明如下：
如图，连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，
由（1）得：和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：如图，当点D在线段上时，过当C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
如图，当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，利用类比思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值．
证明：，
，
又，
（依据1），
（依据2）．
同理可得：，
，
，即．
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…