2024年辽宁省大连市中考一模前联盟校数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列有理数中最小的是（ ）
A. B. C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴最小的数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形就是中心对称图形．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式乘法法则直接计算即可．
【详解】解：A．与不能合并，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查整式乘法中幂的计算，解题关键是公式的记忆，；；；．
5. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜－1B. m＞0C. m＜1且m≠0D. m＞0且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m-1≠0且△>0,即2-4(m-1)(-1) >0,两个不等式的公共解即为m的取值范围.
【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,
（m-1）≠0,且△＞0，
即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0,
m的取值范围为m>0且m≠1,
m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根.
故选D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.
6. 解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A. 最简公分母是B. 去分母，得
C. 解整式方程，得D. 原方程的解为
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
详解】解：
方程两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原方程无解，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
7. 下列四个选项中，不符合直线的性质与特征的是（ ）
A. 经过第一、三、四象限B. 随的增大而增大
C. 与轴交于点D. 与轴交于点
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断解答即可．
【详解】解：∵＞0，﹣3＜0，
∴该直线经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，
故A、B选项正确，
∵当y=0时，由0=x﹣3得：x=6，
∴该直线与x轴交于点（6，0），
故C选项错误；
∵当x=0时，y=﹣3，
∴该直线与y轴交于点（0，﹣3），
故D选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．
8. 我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
故选：B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：∵光线平行于主光轴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，已知．按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点；②分别以点为圆心、长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线；④连接．由作图可知的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图得出是的角平分线，，根据角平分线的定义可得，进而根据，即可得出．
【详解】解：根据作图可知是的角平分线，，
又，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了作角平分线，等边对等角，熟练掌握基本作图是解题的关键．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】运用平方差公式和二次根式运算法则，计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则与平方差公式是解题的关键．
12. 如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为(2，1)和(8，2)，则熊猫馆P用坐标表示为________．

【答案】(6，6)
【解析】
【分析】根据猴山M，狮虎山N的坐标建立平面直角坐标系，进而可得出熊猫馆P的坐标．
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
∴熊猫馆P用坐标表示为(6，6)，
故答案为：(6，6)．
【点睛】本题考查坐标确定位置，由点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键．
13. 有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 __________________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据列表法求概率即可求解．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的汉字不相同的有12种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的汉字不相同）．
故答案为：．
14. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限作正方形，已知双曲线过点D，则_______．
【答案】
【解析】
分析】当时，，即，当时，可得，，即，则，如图，作轴于，证明，则，则，将代入，计算求解即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
如图，作轴于，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，当点A的对应点F落在矩形一边的垂直平分线上时，的长为 ______．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①过F作交于M，交于N，则直线是矩形的对称轴，得出，由勾股定理得到，求得，再由勾股定理解得即可；②过F作交于P，交于Q；求出，由三角函数求出．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，过F作交于M，交于N，

则直线是边的垂直平分线，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，过F作交于P，交于Q，连接，

则直线是边的垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴等边三角形，
，
∴，
∴设，则，
在，
即，
解得：或（舍去）
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，正确画出图形是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
当时，原式．
17. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等.
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，为了普及科普知识，书店举办了每买三本科普书就赠一本文学书的优惠活动，这所中学今年计划在优惠活动期间，再购进文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，这所中学今年最多能购进多少本文学书？
【答案】(1)去年购买的文学书单价为8元，科普书单价为12元;(2)110
【解析】
【分析】（1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为（x+4）元/本，根据数量=总价÷单价结合用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）由今年文学书的单价比去年提高了25%可求出今年文学书的单价，设今年购进y本文学书，则购进科普书（200-y）本，根据总价=单价×数量，再结合购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为（x+4）元/本，
根据题意得：
解得：x=8，
经检验：x=8是原分式方程的解，
∴x+4=12．
答：去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本．
（2）今年文学书的单价为8×（1+25%）=10（元/本）．
设今年购进y本文学书，则购进科普书（200-y）本，
根据题意得：，
解得：y≤110，
∴y的最大值为110．
答：今年最多能购进110本文学书．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
a．设计方案
学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生及在初三年级中随机抽取部分女生进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生进行调查分析．
b．收集数据：
抽取的20名学生每周用于课外阅读时间的数据如下：（单位：min）
30 60 81 50 40 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
c．整理数据
按如下分段整理样本数据：
d．分析数据
绘制如下条形统计图和扇形统计图：
请根据以上统计调查结果，回答下列问题：
（1）抽取的样本具有代表性的方案是 ；（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）请补全条形统计图，并求出B等级所在扇形的圆心角的度数；
（4）如果每周阅读时间不低于80分钟为优秀，请估计该校800名学生优秀人数为多少？
【答案】（1）方案三；（2）5，4，25；（3）图见解析，；（4）480人
【解析】
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）根据给出的数据直接得出a和b的值，再根据C等级的人数和抽取的人数即可求出c；
（3）根据a，b的值即可补全条形统计图，用360°乘以B等级的人数所占的百分比即可求出B等级所在扇形的圆心角的度数；
（4）用该校学生总数乘以所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本具有代表性的方案是方案三，
故答案为：方案三；
（2）由已知数据知a=5，b=4；
c%=×100%=25%，
∴c=25，
故答案为：5，4，25；
（3）补全条形统计图如图：
B等级所在扇形的圆心角的度数是：360°×40%=144°；
（4）估计该校800名学生优秀人数为：800×（40%+20%）=480（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
【答案】（1）
（2）购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法分别求出当和时的函数关系式即可；
（2）设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元，先求出．再求出．根据一次函数的性质得到当时，有最小值为元．即可得到答案．
【小问1详解】
解：由图知：当时，设函数关系式为，把点代入得到，
，
解得，
∴．
当时，设与的函数关系式为．
它的图象经过点与点．
，
解这个方程组，得，
∴，
与的函数关系式为．
【小问2详解】
设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元．
由题知：且，解得．
．
，
随增大而减小．
，
当时，有最小值为元．
此时，A种类型的玫瑰花：（束）．
答：购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元．
20. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点A与点B是支架部分与太阳能板的连接点，点C是支架部分与灯杆的连接点，点D是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求点A和点B距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】点A和点B距地面的高度差约为；
【解析】
【分析】过点A作交的延长线于点G，过点B作交的延长线于点H，在与中根据三角函数即可得到答案；
【详解】解：如答图，过点A作交的延长线于点G，过点B作交的延长线于点H，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：点A和点B距地面的高度差约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出相应的辅助线建立直角三角形及熟练掌握几种三角函数定义．
21. 如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若，求证：CE是的切线．
（2）若的半径为，，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）连接OC，可证明OC//DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．
（2）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以=，设BC=x，AC=2x，所以AB=x，列出方程即可求出x的值．
【小问1详解】
解：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠COB=2∠OAC，
∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∴OC//DE，
∵CE⊥DB，∠CED=90°，
∴∠OCE=90°，OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
【小问2详解】
连接BC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴，
设BC=x，AC=2x，
∴AB=，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴x=2，
∴AC=2x=4．
【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理．
22. 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．
（1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式：
（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由：
（3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
【答案】（1）
（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，理由见解析
（3）小明应该向前走1米才能命中篮圈中心
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）求得当时的函数值，与3比较即可；
（3）由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将代入求得的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：，
当时，，
小明的这次投篮未能命中篮圈中心；
【小问3详解】
解：出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
，
解得：，，
向前走7米，因为原来是八米，向前七米，还剩一米呢！应该是球处于上升趋势，故舍去．
小明应该向前走1米才能命中篮圈中心．
23. 探究性学习
（1）【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．

①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．

②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

（2）【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．

（3）【学以致用】
如图，在中，，点D在边上，过B作交延线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．

【答案】（1）选择小辉同学的思路，证明见解析；选择小龙同学的思路，证明见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理是解题的关键．
（1）选择小辉同学的思路：如图：在上截取，连接．先证可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；择小龙同学的思路：如图,过A作交延长线于G，先证可得，再证可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（2）如图:在上截取，连接；先说明为等腰直角三角形可得，再证明可得，再说明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答；
（3）如图：过A作于H，先说明，根据等角对等边可得；再证明可得，进而得到，，最后根据三角形民间公式即可解答．
【小问1详解】
解：选择小辉同学的思路，证明如下：
如图：在上截取，连接．

，
，
又，
，
．
，
,
．
选择小龙同学的思路，证明如下：
证明:如图,过A作交延长线于G，

∵，，
∴.
又∵于E,于G,
∴，
又∵,
∴,
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴.
【小问2详解】
证明：如图:在上截取，连接，

为等边三角形，
，即为等腰直角三角形，
∴，
，，．
又，
，
．
是边上的中线，
平分，
，
∴是等边三角形，
．
【小问3详解】
解：如图：过A作于H

，
，
，
于E,
，
,
．
于，
，
，
，
又，
，
．
，
又，
，
．
，
，
．
．
决
胜
中
考
决
决
决胜
决中
决考
胜
胜决
胜胜
胜中
胜考
中
中决
中胜
中中
中考
考
考决
考胜
考中
考考
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数（人）
3
a
8
b