2024年山东省东营市利津县中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 16算术平方根是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键
【详解】解：∵，
∴16的算术平方根是4，
故选：C
2. 用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，＝，显示的结果是（ ）
A. B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据按键顺序列式为：23，再根据乘方法则计算即可.
【详解】解：由题意得：23=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了计算器-有理数的乘方的应用，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
3. 将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
4. 由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5. 已知直线，将一块含角的直角三角板（，）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个不透明口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B. 一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【答案】D
【解析】
【分析】根据简单事件的概率计算即可对A作出判断；根据概率的含义即可对B作出判断；根据方差反映了数据的波动程度这一特征即可对C作出判断；根据普查的适用范围即可对D作出判断．
【详解】A、由题意知，从中任意摸出一个球共有5种可能的结果数，摸出的一个球是红球有2种可能的结果数，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为，故A选项错误；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，只能说抽奖2次，可能有一次中奖，也可能一次不中甚至2次都中，故B选项错误；
C、方差的大小反映了一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动程度越小，由于且，所以乙的波动程度更小，说明乙的成绩更稳定，故C选项错误；
D、由于一个班的学生人数不多，可以用普查的方法来调查，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了统计与概率部分中的有关知识，包括概率的含义及计算，数据收集中的普查，反映一组数据特征的方差，熟悉这些知识是解决本题的关键．
7. 化简－的结果是（ ）．
A. a－bB. a+bC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8. 初三(1)班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教师前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列表求概率即可．
【详解】解：列表如下
故能一次开锁的概率为
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将沿轴翻折，得到△，那么点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：将沿轴翻折，得到△，
点与点关于轴对称，
，
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变换-对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，，……，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴505组相加后个位数字为0，
∵，
∴的个位数字为4，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
11. 如图，矩形的一边在轴上，顶点、分别落在双曲线、上，边交于点，连接，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形ABCD的面积减去梯形ADCE的面积即可．
【详解】如图所示：过点B作BF⊥y轴于点F，
∵点B在上，
∴设点B的坐标为（a，），
∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a，
∵点A在y＝上，
∴点A的横坐标为，
∵A，B分别落在双曲线y＝、上，
∴矩形AFOD的面积为1，矩形BFOC的面积为4，
∴矩形BADC的面积为3，
∴S△ABE＝S矩形BADC﹣S梯形AECD＝3﹣（a﹣）×（+）＝＝．
故选：D．
【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
12. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A. 22B. 20C. 18D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】解：过点P作，垂足为G、H，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
14. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

【答案】2
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
15. 如图，在中，，，、的平分线相交于点，过点，且，分别交、于点、．则的周长为________．
【答案】18
【解析】
【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于．
【详解】解：在中，、的平分线相交于点，
，
，
，，
，，
，，
的周长是：
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，线段的和差，求得的周长等于是解决本题的关键．
16. 若关于方程无解，则______________。
【答案】9或3或-3
【解析】
【分析】去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】分式方程化简，得
整理，得
当时，即，整式方程无解；
当，即或时，分式方程无解，
当时，；
当时，．
故答案为：9或3或﹣3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
17. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．
【答案】．
【解析】
【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决．
【详解】联立得，
解得，或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
∵直线与轴的夹角是，
∴点到直线的距离是：，
∴的面积是：，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18. 已知的直径为，点是上的动点，点是的中点，延长线交于点，则的最大值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的性质，以为直径作，当直线切于时，的值最大，然后利用相似三角形的判定与性质即可求解，解题的关键是灵活运用所学知识．
【详解】如图，以为直径作，当直线切于时，的值最大，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共83分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【解析】
【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
20. 某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元？（用含x的代数式表示）
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
【答案】（1）x+10
（2）定价70元，进货量200个
【解析】
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价进行计算即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量列出方程进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意得：50+x﹣40＝x+10；
【小问2详解】
解：由题意得，（x+10）（400﹣10x）＝6000，
整理得：
解得，，
∵进货量较少，
∴x＝20，
进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．
答：每个定价为20元，进货200个．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售利润问题．根据题意正确的列出方程是解题的关键．
21. 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且==m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m=，求证：AE=DF；
（2）如图2，若m=，求的值．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【解析】
【详解】分析：（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
详解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH∥CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴HE=DC，
∵EH∥DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵，HE=DC，
∴HE=DC，
∴，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
（2）如图，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG∥CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴，
∴，
∵，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴.
点睛：此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
22. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查．并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图．
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，表中的 ， ， ；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级其有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数．
【答案】（1）50，5，24，0.48；（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为；（3）九年级每天课前预习时间不少于的学生约有860人.
【解析】
【分析】（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c；
（2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上360°，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数；
（3）根据每天课前预习时间不少于20min的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．
【详解】（1）16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48；
故答案为50，5，24，0.48；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°；
（3）每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率=1--0.10=0.86，
∴1000×0.86=860，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．

（1）求的值和点的坐标；
（2）求的周长．
【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28
【解析】
【分析】（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标；
（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.
【详解】（1）将点A（3,4）代入中，得k=，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴MA=MC，
作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，
∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴，
∴ME=2，
将y=2代入中，得x=6，
∴点M的坐标为（6,2）；

（2）∵A（3,4），
∴OD=3，AD=4，
∴,
∵A（3,4），M（6,2），
∴DE=6-3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴的周长=2(OA+OC)=28.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.
24. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；
（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：

=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
25. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
26. 已知，为等边三角形，点在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析．
【解析】
【分析】基本图形：只需要证明得到，即可证明；
迁移运用：过点作，交于点，然后证明得到，即可推出；
类比探究：过点作，交于点，然后证明，得到，再由，即可得到．
【详解】基本图形：证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
迁移运用：证明：过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
类比探究：解：，理由如下：
过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
27. 如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；
（3）当点运动到使时，请简要求出的值．
【答案】（1）抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线，直线为：；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴；
（2）设，由轴， 轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：，得，，进而得，由得，解，即可得解；
（3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过，，三点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线：，
∵，在上，
∴，
解得，
∴直线为：；
【小问2详解】
解：由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设，
∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，，，，
∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴点关于直线的对称点为，
∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，
∴与关于直线成轴对称，
∴，
过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分交抛物线于点，交于点，
∴，，
∴，，
∴即，
设直线为：，
∵直线为：过，，
∴，
解得，
∴直线为：，
联立直线为：与抛物线解析式为得，
，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质式解题的关键．
A
B
C
D
前门
开
不开
不开
不开
后门
不开
开
不开
不开
组别
课前预习时间
频数（人数）
频率
1
2
2
0.10
3
16
0.32
4
5
3
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