2024年山东省淄博市九年级中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正负数的实际意义可进行求解．
【详解】解：由题意可知零上3摄氏度记为；
故选：C．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
3. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方与幂的乘方；
根据合并同类项，同底数幂的乘除运算，积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，原式错误；
C.，计算正确；
D.，原式错误；
故选：C．
5. 已知一元二次方程，则该方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无解．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为，
故选：C．
7. 如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据点I是的内心，可得，进而再根据三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点I是的内心，
∴，，
即，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
8. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为
A. 12B. 20C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴根据勾股定理，得：OC=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴点B的坐标为（8，4），
∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，
∴，
∴k=32，
故选：D.
9. 如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，
当时，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下图，取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题．
10. 如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案．
【详解】根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时最小，
如图，即，
∴由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
【点睛】此题考查了函数图象理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解题的关键．
二、填空题：
11. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ．
故答案为：
12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】根据关于一元二次方程有实数根可得到，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
综上所述：的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义以及有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件是解题的关键．
13. 斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．根据平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：斐波那契数列中的第2个数的值是
故答案为：1
14. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米．
【答案】
【解析】
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题
16. 已知代数式，．
（1）求；
（2）当，时，求的值；
（3）若的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）
（2）27 （3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运用，化简求值以及与某些字母取值无关：
（1）把，直接代入，进行化简即可作答．
（2）把，代入，即可作答．
（3）整理得，令的系数为0，进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
把，直接代入得：
；
即；
【小问2详解】
解：由（1）知，
把，代入得
；
【小问3详解】
解：由（1）知，
∵的值与的取值无关，
∴
即
17. 在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
【答案】(1)详见解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：解（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：．
考点：列表法可树状图法．
18. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．

（1）本次调查共抽取学生______人，学生读书量的众数是______，中位数是______，扇形统计图中“本”部分所对应的圆心角的度数为______；
（2）求该样本中平均每人的读书量；
（3）已知该校有名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“本”的学生人数．
（4）后来又抽取几名学生的读书量，他们的读书量都不低于本，把这几名学生的读书量与原来的数据一起统计中位数没有发生改变，则最多又抽取______名学生．
【答案】（1），，，
（2）该样本中平均每人的读书量是本．
（3）五月份读书量不少于“本”的学生人数为人．
（4）
【解析】
【分析】（1）根据众数定义、中位数定义、扇形统计图求解即可．
（2）根据加权平均数的定义直接求解即可．
（3）先计算样本中五月份读书量不少于“本”的学生比例，然后计算总体中五月份读书量不少于“本”的学生人数即可．
（4）将这组新的数据按从小到大的顺序排列，中位数保持不变仍为，则中位数最大为第个数，且这组新的数据的个数为奇数，那么这组新数据中读书量都不低于本的学生人数为人，然后可求得最多抽取的学生数量．
【小问1详解】
读书量为本的共人，占，则本次调查共抽取学生人数(人)．
读书量为本的学生人数(人)．
观察统计表可知，这组数据的众数为，中位数为．
．
故答案为：，，，；
【小问2详解】
(本) ．
答：该样本中平均每人读书量是本．
【小问3详解】
样本中，五月份读书量不少于“本”的学生比例．
总体中，五月份读书量不少于“本”的学生人数(人)．
答：五月份读书量不少于“本”学生人数为人．
【小问4详解】
根据题意，将这组新的数据按从小到大的顺序排列，中位数保持不变仍为，则中位数最大为第个数，且这组新的数据的个数为奇数，那么这组新数据中读书量都不低于本的学生人数为人，最多抽取的学生数量(人) ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数据的集中趋势，包括平均数的定义、众数的定义、中位数的定义，牢记平均数的定义、众数的定义、中位数的定义是解题的关键．
19. 如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．

（1）求出点A，B的坐标；
（2）点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或；
（3）Q点坐标为：或．
【解析】
【分析】（1）由直线的解析式列方程即可得到结论；
（2）设，分三种情况，根据面积公式列方程即可得到结论；
（3）设， 可得，，， 分三种不同的情况列出方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：令，解得，
∴，
令，，
∴；
【小问2详解】
①如图，当P点在线段上，设，

∵，，，
∴，，
∵，
∴ ， 即，
解得，
∴；
②当P在线段的延长线上时，，不合题意．
③如图2，当点P在线段的延长线上时，

设，
∵，
∴，即 ，
解得，
∴，
综上，或；
【小问3详解】
存在，Q点坐标为：或． 理由如下：
∵过点作平行于y轴的直线，点Q在直线m上，
∴设，
∵，，
∴，
，
，
故当，即， 解得：或，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
故当，即， 解得：，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
当，即， 解得：，
∵在直线上，故舍去．
∴Q点坐标为：或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
20. 【感知】如图（1）已知四边形是圆O的内接四边形，，易知．（不用证明）
【拓展】在【感知】的条件下，与交于点E，已知，，求的长．
【应用】已知中，点D为中点，以为斜边向上作等腰直角三角形，当把的面积分为两部分时，___________．
【答案】[感知]见解析；[拓展]；[应用]或
【解析】
【分析】[感知]根据弦与弧之间的关系可得，根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
[拓展]证明即可，继而根据相似三角形的性质求解即可；
[应用]根据[拓展]可知，，分和两种情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可
【详解】[感知] 解：∵
∴
[拓展]
∵
∴
又
，，
[拓展] 中，点D为中点，
是等腰直角三角形
四点共圆
当时，
即
解得
当时，
即
解得
【点睛】本题考查了等弦对等弧，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
21. 平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若，当时，求y的取值范围；
（3）已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．
【答案】（1）直线
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线代入求解即可；
（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；
（3）分两种情况讨论和时．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
解：当时，抛物线解析式为，
∴对称轴，抛物线开口向上，
∴当时，取得最小值，即最小值为，
∵离对称轴更远，
∴时取得最大值，即最大值为，
∴当时，y的取值范围是；
【小问3详解】
解：∵，
∴，，即；或，，即，
∵抛物线对称轴，
∴是抛物线顶点坐标，
若，则抛物线开口向上，，
在对称轴的右侧，
当在对称轴右侧时，，解得：；
当在对称轴左侧时，，解得：，不符合题意；
∴a的取值范围是；
若，则抛物线开口向下，，
在对称轴的右侧，
当在对称轴右侧时，，解得：，不符合题意，
当在对称轴左侧时，，解得：；
∴a的取值范围是；
综上所述：a的取值范围是或；
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
（1）求的面积；
（2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】（1）的面积为6
（2）或
（3）①见解析；②的大小不变，总为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解．
（2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解．
（3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解；
②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：，
，，
解得：，．
，，
的面积．
【小问2详解】
当点C在上方时：
作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：

，，
，，四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，即：，
解得：，
，
；
当点C在下方时；
作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：

，，
，，四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，即：，
解得：，
，
，
综上所述：点的坐标为：或．
【小问3详解】
）①延长，，它们相交于点，如图：

等腰直角中，，，且，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
．
②的大小不变，总为，理由如下：
作，，垂足分别是，，如图：

，
由①可知：，，
在和中，
，
，
，
是的角平分线，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．
读书量
本
本
本
本
本
人数
人
人
人
人