2024年四川省内江市第一中学九年级中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
【详解】解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2. 人的大脑每天能记录大约条信息，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义去判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
答案：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某一条直线折叠，直线两旁的图形完全重合和中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形重合的识别，正确掌握定义是解题的关键．
4. 如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质求得，根据平行线的性质即可求解．
详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
6. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得如图：
．
故选：B．
7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 1.65，1.70B. 1.70，1.65C. 1.70，1.70D. 3，5
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数的定义，先排序，找中间数据；根据众数是出现次数最多的数据，进行解答即可．
【详解】解：∵共有15名运动员，按照从小到大进行排列后，第8个数据即为中位数，
∴中位数为：1.65
∵1.70出现的次数最多，
∴众数为：1.70
故选A．
【点睛】本题考查数据的中位数和众数，求中位数时，要先进行排序，众数是出现次数最多的数据，可能不唯一．
8. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≥﹣3C. x≥3且x≠0D. x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，分别以点为圆心大于长为半作弧，两弧交于点，作交于点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
如图，过点作交于．证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明，推出，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点作交于．
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
11. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解析：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
12. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④（的任意实数）；⑤．正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由图象得：，，，即可判断①；利用函数图象与x轴的交点个数即可判断②；利用对称轴判断③；利用函数的最值判断④；利用函数的对称性得到与时的函数值相等，由此判断⑤．
【详解】解：由图象得：，，，
∴，故①正确；
由图象知：二次函数图象与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵图象对称轴为直线，
∴，故③正确；
当时，该函数图象有最高点，即函数有最大值，此时，
当（的任意实数）时，，
∴，即，故④正确；
∵图象对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∴当时函数值大于零，即，故⑤错误；
综上分析可知，正确的有4个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查根据二次函数的图象判断式子的符号正负，正确理解二次函数的图象与字母系数的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分解因式，先提公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【详解】解：由题意得：母线长l为，，
，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解∶设点，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，
∴CD=3a，
∵．轴，
∴BC∥y轴，
∴点B，
∴，
∵，四边形间面积为6，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为BD的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形ADCF是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，结合，可证，根据全等三角形的性质即求解；
（2）由，，易得四边形ADCF是平行四边形，若，点D是AB的中点，可得，即得四边形ADCF是菱形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形ADCF是菱形．
证明如下：
由（1）知，，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵，
∴是直角三角形．
∵点D是AB的中点，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．
19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，； （2）详见解析；
（3），详见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，
（1）由的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
【小问1详解】
共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
（2）由图知，D的人数为：（人），
∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．

（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】（1）3m （2）塔的高度约为
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
即的长为．
【小问2详解】
设，
在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、两点，点A坐标为，点坐标为，直线交轴于点，过作轴的垂线，交反比例函数图象于点，连接、．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请你根据图象直接写出不等式的解集，
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为
（2）或
（3）18
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点在反比例函数图象上，可得点的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据图象即可确定不等式的解集；
（3）先求出点和点坐标，再根据四边形的面积求解即可．
【小问1详解】
解：点坐标为，
，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点坐标为，
将点，点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数表达式为，反比例函数表达式为；
【小问2详解】
由图象可知，不等式的解集是或．
小问3详解】
当时，，
点坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点在反比例函数上，
点横坐标为，
，
四边形的面积
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22. 若m，n为方程的两根，则多项式的值为_______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及方程的解的定义，灵活运用概念求解是解题的关键，利用根与系数的关系及解的概念求解即可；
【详解】解：∵m为方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵m，n为方程的两根，
∴，
∴．
故答案为：30．
23. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数a的和为___．
【答案】13
【解析】
【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，则和为13．
【详解】
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x＜5，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x-1）得：ax-2-3=x-1，
解得：x= ，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴＞0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13．
故答案为：13．
【点睛】考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解题关键是掌握不等式解集的确定，转化思想和解分式方程不要忘记检验．
24. 如图，在第一象限内的直线：上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；…，依次类推，则点的横坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
【详解】解：，是等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为1，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为2，
依此类推：的横坐标为
的横坐标为，
故答案为：．
25. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
（2）45副 （3）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润2225元
【解析】
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
【小问2详解】
设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
【小问3详解】
设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
27. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点，，连接交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．所以，即是的切线．
（2）设的半径为，所以．由，可得．在中，由勾股定理得，结合，可得，解得或（不符合题意舍），再对运用勾股定理求解即可．
（3）由，可得．可求出．由于，可得．所以在中，运用三角函数求出，则面积可求，扇形面积可求，最后利用求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
即是的切线．
【小问2详解】
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得：或（不符合题意舍），
∴；
【小问3详解】
解： ，
，
，
，
，
在中，．
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查知识点为：切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式．证明切线的辅助线，一般为连接圆心和切点，再证明垂直．求阴影部分面积，思路是用我们已知得几何图形面积来表示阴影部分面积．熟练掌握切线的判定、圆的性质、勾股定理、解直角三角形，扇形的面积公式，是解决本题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）时的周长最小；
（3）当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【解析】
【分析】（）由，，，的长度可得出点，，，的坐标，由点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接，交抛物线对称轴于点，此时和最小，即的周长最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标；
（）由点，的坐标可得出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，过点P作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，由三角形的面积结合可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【小问1详解】
∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
【小问3详解】
∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．跳高成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
跳高人数
1
3
2
3
5
1