2024年浙江省九年级学业水平考试数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效．
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形定义即可解答．
【详解】A．满足轴对称图形的条件，故不符合题意；
B．满足轴对称图形的条件，故不符合题意；
C．不满足轴对称图形的条件，故符合题意；
D．满足轴对称图形的条件，故不符合题意；
故选C．
3. 杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：,
故选：D．
4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
5. 如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.
6. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A. 20、15B. 20、17.5C. 20、20D. 15、15
【答案】B
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.
【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元;
30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故选B.
【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错
7. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A. 3B. 4
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
详解】解：连接OB，OD，OP，过O作，交于点，过O作，交于点．
∵AB=CD=8，
∴BM=DN=4，
由垂径定理，勾股定理得：OM=ON==3，
∵AB，CD是互相垂直的两条弦，
∴∠DPB=90°
∵，，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP==，
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
8. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
【详解】过点P作轴于点E， 如图所示：

依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
9. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A. 是的平分线B.
C. 点在线段的垂直平分线上D.
【答案】D
【解析】
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
10. 如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接交于点，连接，当时，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键，延长到K，使得，延长交于点L，延长，过点E作，根据正方形的性质及全等三角形的判定证明，，，再由其性质及勾股定理求解即可
【详解】解：延长到K，使得，
延长交于点L，延长，过点E作，
∵正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵, ，
∴即，
在中，连接，
∵，
∴，
故选：B
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填写在横线上
11. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
13. 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为_____．
【答案】人
【解析】
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为，利用得到，即可得到答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
点A在第二象限，
，，
，
，
是反比例函数的图象上一点，
，
故答案为：．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为____．
【答案】或
【解析】
【分析】BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E， OF⊥CD于F，如图，设的半径为r，先利用勾股定理计算出BD=5，根据切线的判定方法，当0E=OB时， 与AD相切，根据平行线分线段成比例定理得求出r得到BP的长；当0F= OB时利用同样方法求出BP的长．
【详解】解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，
设⊙O的半径为r，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
当OE＝OB时，⊙O与AD相切，
∵OE∥AB，
即解得r＝，
此时
当OF＝OB时，⊙O与DC相切，
∵OF∥BC，
即解得
此时
综上所述，BP的长为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了平行线分线段成比例定理．
16. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的中点，即，，，
∴，
∴，
∴点为的中点，
在，中，是的中线，
∴，
∵，即，，
∴，且，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题:（本大题有8个小题，17-19每题6分、20-21每题8分、22-23每题10分、第24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），-5
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数米，负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后根据实数的混合计算法则求解即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把对应分式分解因式，接着把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
当时，原式．
18. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元
（2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润=每个的利润×销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
【小问2详解】
解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 个，
根据题意得：，
解得：，
设商店共获利w元，则，即，
，
∴w随m的增大而增大，且，
∴当时，w取得最大值，
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长．
【答案】图见解析，周长分别为或
【解析】
【分析】分线段是边和对角线两种情况作出图形并求解周长即可．
【详解】解：如图1，
连接，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴是直角三角形，,
∴四边形是正方形，
∴四边形的周长是；
如图2，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴是直角三角形，,
∴四边形是正方形，
∴四边形的周长是．
【点睛】此题考查正方形的判定、勾股定理及其逆定理等知识，准确做出图形是解题的关键．
20. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
【答案】（1）280名
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用树状图或列表法求概率，能从统计图中找到相关信息是解答的关键．
（1）用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；
（2）求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；
（3）画出树状图得到所有等可能的结果，再找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（名），
答：这次调查的学生共有280名；
【小问2详解】
解：关注“互助”的人数为（名），关注“进取”的人数为（名），
补全条形统计图，如图所示，
【小问3详解】
解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，
列树状图如下：
由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种，
所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率．
21. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面的距离约为
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【解析】
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【小问1详解】
解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
【小问2详解】
解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
∴，
在中，，即，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．

（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）；
（3）不能．
【解析】
【分析】（1）求得上边缘抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
【小问2详解】
由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
【小问3详解】
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与轴交点等问题，解题的关键是理解题意，正确求得解析式．
23. 综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）证明，可得；
（2）通过证明，可得；
（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
；
（2）解：，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
由（2）知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去），
当或时，点不存在，
当在延长线上时，设，则，
，，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．

（1）的度数为 °；
（2）如图2，连结，取中点，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）120 （2）2
（3）
（4） 为定值，证明见详解
【解析】
【分析】（1）由已知条件可以得到垂直平分，所以，由于，所以可以证得三角形为等边三角形，得到；
（2）由于直径，根据垂径定理，可以得到是的中点，又是的中点，连接，则，，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大；
（3）由于直径，根据垂径定理，可以得到，所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以；
（4）由直径，可以得到垂直平分，所以，，将绕点顺时针旋转至，可以证明，，三点共线，所以，可以证明是顶角为的等腰三角形，过做于，由于，可以通过勾股定理或者三角函数证明，所以．
【小问1详解】
（1）连接，，

、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
故答案为：120．
【小问2详解】
由题可得，为直径，且，

由垂径定理可得，，
连接，如图2，
又为中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为2，
故答案为：2．
【小问3详解】
连接，，

直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
．
【小问4详解】
由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，

由（1）得，，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
、、三点共线，
，
过A作于，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
为定值．
【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．每天使用零花钱（单位：元）
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