2024年浙江省杭州市观成中学教育集团中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年浙江省杭州市观成中学教育集团中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.|−3|−(−2)=( )
A. −1B. 5C. 1D. −5
2.2022年9月10日至25日第19届亚运会将在杭州举办，可容纳8万人的运动会主体育场“白莲花”总建筑面积约为210000平方米，其中数字210000用科学记数法可表示为( )
A. 0.21×106B. 2.1×106C. 2.1×105D. 21×104
3.将抛物线y=2(x+3)2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是( )
A. (5,−2)B. (1,−2)C. (−1,4)D. (−5,−2)
4.要使分式x−2(x+1)(x−2)有意义，x的取值应该满足( )
A. x≠−1B. x≠2C. x≠−1或 x≠2D. x≠−1且 x≠2
5.如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B=40°，∠C=60°，则∠AFE的度数( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
6.甲、乙两人各射击5次，成绩如表.根据数据分析，在两人的这5次成绩中( )
A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数小于乙的中位数
C. 甲的众数大于乙的众数D. 甲的方差小于乙的方差
7.已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为( )
A. 12π cm2B. 15π cm2C. 24π cm2D. 30π cm2
8.下列命题中，真命题的是( )
A. 两组对角相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的图象如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
10.等积变换法是证明勾股定理的常用方法之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边向下作正方形ADEB，CN平分∠ACB分别交AB，DE于M，N，过点A，B分别作AG/​/BC，BF/​/AC，交CN于点G，F，连结DG，利用此图形可以证明勾股定理，记△AMG，△DGN的面积分别为S1，S2，若S1+S2=7，FG=2 2，则AB的长为( )
A. 2 6B. 5C. 26D. 34
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：m2−36= ______．
12.一个布袋中装有除颜色外都相同的5个球，其中3个红球，2个白球.从中任意摸出一球后，从剩余的球中再摸出一球，则两次摸出的球均为白球的概率为______．
13.为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y(m)和离运动员出手点的水平距离x(m)之间的函数关系为y=−110x2+45x+2，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是______．
14.江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度AB=6米，拱高CD= 3米，那么桥拱所在圆的半径OA= ______米，弧AB的长度为______米.
15.如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点(点E与点B不重合)，AB=5，AD=8，将△ABE沿AE对折得到△AFE，其中点F落在矩形内部.若点F到边AB和CD的距离相等，则tan∠BAE= ______．
16.图1是挂桶式垃圾车的联动装置，通过钢轴先后作两次旋转移动垃圾桶，实现对垃圾桶提升和翻转，将垃圾桶内的垃圾自动收入车厢.图2，图3是该装置的侧面示意图，AB与地面所成的锐角为60°，AB=110cm，BC=30 3cm，CD=30cm.第一次转轴BC绕点B把竖直放置垃圾桶旋转，转轴转至BC1，使A，B，C1共线，在此转动过程中，转轴BC与转轴DE所成锐角为30°保持不变.第二次转轴D1E1绕点C1旋转至D2E2，使D2，E2，B，A共线.当转轴外端点D到达最高处时，点D2离地面的距离为______cm.垃圾桶从举起到倒掉垃圾的整个过程中，转轴外端点D所经过的路径长为______cm．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：(−13)2−2sin30°+(π−2023)0．
(2)先化简x2−4x+4x+1÷(3x+1+1−x)，然后从−2≤x−3时，求m的取值范围．
(3)根据图象直接写出y1>y2时x的取值范围．
20.(本小题10分)
【发现】如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，在AD上取一点E，连结CE，若∠BAD=∠ACE，CD=CE，求证：∠ABD∽∠CAE．
【应用】如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE=∠DCO，BE=DO，若BD=12，OE=5，求AC的长．
21.(本小题10分)
如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程，y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象．
(1)填空：a的值为______，m的值为______，AB两地的距离为______km．
(2)求m小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式．
(3)请直接写出乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过300km时行驶时间x的取值范围．
22.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2+4ax+1(a≠0)．
(1)直接写出该函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标．
(2)若该函数图象开口向上，且图象上的一点(x0,y0)在x轴的下方，求证：a>14．
(3)已知点(−3,y1)，(−1,y2)，(1,y3)，(2,y4)在该函数图象上，若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，试求a的取值范围．
23.(本小题12分)
等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β．
(1)求∠ACB的大小(用α，β表示)；
(2)连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
(3)在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α−45°，
①求证：GM//BC，GM=12BC；
②请直接写出OMMC的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−3|−(−2)=3+2=5．
故选：B．
−3的绝对值等于3，减去−2就相当于加上2．
本题考查了有理数的减法法则及绝对值的定义．减去一个数，等于加上这个数的相反数．一个负数的绝对值等于它的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：210000=2.1×105，
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|0，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2>0，
由图象可知，反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象有两个交点(1,k)和(k,1)，
∴−1+b=k，
∴k−b=−1，
∴b=k+1，
∴对于函数y=x2−bx+k−1，当x=1时，y=1−b+k−1=−1，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象过点(1,−1)，
∵反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象有两个交点，
∴方程kx=−x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4k=(k+1)2−4k=(k−1)2>0，
∴k−1≠0，
∴当x=0时，y=k−1≠0，
∴函数y=x2−bx+k−1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
根据反比例函数y=kx与一次函数y=−x+b的图象，可知k>0，b>0，所以函数y=x2−bx+k−1的图象开口向上，对称轴为直线x=b2>0，根据两个交点为(1,k)和(k,1)，可得k−b=−1，b=k+1，可得函数y=x2−bx+k−1的图象过点(1,−1)，不过原点，即可判断函数y=x2−bx+k−1的大致图象．
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
10.【答案】A
【解析】解：设AC=x，BC=y，
∵∠MAC=∠DAG，AD=AB，AG=AC，
∴△AGD≌△ACB(SAS)，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴△DNG∽△AMC，
∴S2S△AMC=y2x2，
同理可得S1S△BMC=x2y2，
S1+S2=x2y2S△BMC+y2x2S△AMC，
∵CN平分∠ACB，
∴AMMB=xy，
∴S△AMCS△BMC=xy，
∴S1+S2=(x2y2+yx)S△BMC，S△BMC=xy22(x+y)，
得：(x2y2+yx)×xy22(x+y)=7，
∵FC= 2y，CG= 2x，FG=2 2，
∴ 2x− 2y=2 2，
即x=y+2，
∴AB= x2+y2=2 6，
故选：A．
通过分析题目，结合勾股定理以及相似三角形的判定和性质进行合理推理即可求解．
本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题关键在于通过分析题意进行合理的推理．
11.【答案】(m−6)(m+6)
【解析】解：m2−36
=(m−6)(m+6)，
故答案为：(m−6)(m+6)．
用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
12.【答案】110
【解析】解：设3个红球分别用A、B、C表示，2个白球分别用D、E表示，列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中两次摸出的球均为白球的结果数有2种，
∴两次摸出的球均为白球的概率为220=110，
故答案为：110．
先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球均为白球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
13.【答案】10m
【解析】解：令y=0(x>0)，则x=10，
故答案为：10m．
铅球的落地点与运动员出手点的水平距离，即该二次函数y=0(x>0)时，x的值．
本题考查了二次函数的应用，关键是掌握铅球的落地点与运动员出手点的水平距离表示y=0(x>0)，x的值．
14.【答案】2 3 4 33
【解析】解：由题意可知，AD=BD，OD⊥AB，
∵AB=6米，
∴BD=3米，
拱高CD= 3米，
设OB=x，则DO=x− 3，
BD2+DO2=AO2，
根据题意可得：
32+(x− 3)2=x2
解得：x=2 3，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是2 3米．
∵sin∠DOB=DBOB=32 3= 32，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴弧AB的长度=120π×2 3180=4 33π.
故答案为：2 3，4 33π.
根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案，再根据特殊角的三角函数值求出∠DOB的值，利用弧长公式即可求解．
此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
15.【答案】12
【解析】解：如图，过点F作AB的平行线，交AD，BC于点G，H，
在矩形ABCD中，AB/​/CD，∠B=∠BAD=90°，
∴GH/​/AB/​/CD，
∴∠AGF=∠FHE=90°，
∵点F到边AB，CD的距离相等，
∴AG=BH=12AD=4，
由折叠知，AF=AB=5，∠AFE=∠B=90°，
∴FG= AF2−AG2= 52−42=3，
∴FH=GH−FG=AB−FG=2，
∵∠EFH+∠AFG=90°，∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AFG=∠FEH，
∵∠AGF=∠FHE，
∴△AGF∽△FHE，
∴AGFH=AFEF，
∴42=5EF，
∴EF=52，
∴tan∠BAE=tan∠EAF=EFAF=525=12，
故答案为：12．
过点F作AB的平行线，交AD，BC于点G，H，可得GH//AB//CD，根据勾股定理求出FG，然后证明△AGF∽△FHE，可得AGFH=AFEF，进而可以解决问题
此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．
16.【答案】(70 3+45) (20 7+5)π
【解析】解：(1)如图，过点D2作D2F⊥地面与点F，
由旋转性质可知：BC=BC1，CD=C1D2，
∵AB=110cm，BC=30 3cm，CD=30cm，
∴AD2=AB+BC1+C1D2=AB+BC+CD=140+30 3(cm)，
∵AB与地面所成的锐角为60°，即∠FAD2=60°，D2F⊥地面，
∴D2离地面的距离为：D2F=AD2sin60°=70 3+45(cm)，
(2)过点B作BG⊥CE，交CE延长线于点G，连接BD，BD1，作弧DD1，
∵转轴BC与转轴DE所成的锐角为30°保持不变，即∠BCE=30°，
∴∠ABC=360°−∠BAH−∠AHC−(180°−∠BCE)=60°，
∵∠BCE=30°，BG⊥CE，BC=30 3(cm)，
∴BG=12BC=15 3(cm)，CG= BC2−BF2=45cm，
又∵CD=30(cm)，
∴DG=CG+CD=75(cm)，
∴BD= BG2+DG2=30 7(cm)，
由旋转性质可知：∠DBD1=∠CBC1=180°−∠ABC=120°，
∴弧DD1的长度为：120π×BD180=120π×30 7180=20 7π(cm)．
如图，作弧D1D2，
由旋转的性质可知：∠D1C1D2=∠BC1E1=∠BCE=30°，
∴弧D1D2的长度为：30π×CD180=30π×30180=5π(cm)，
转轴外端点D所经过的路径，即为弧DD1与弧D1D2的长度和为：20 7π+5π=(20 7+5)π(cm)．
故答案为：(70 3+45)；(20 7+5)π．
(1)过点D2作D2F⊥地面与点F，利用AB=110cm，BC=30 3cm，CD=30cm，求出AD2.再利用AB与地面所成的锐角为60°即可求出D2离地面的距离．
(2)先求出BD，再用弧长公式求出弧DD1与弧D1D2的长度，再求和即可．
本题考查旋转的性质，弧长公式，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据题意画出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−13)2−2sin30°+(π−2023)0
=19−2×12+1
=19−1+1
=19；
(2)x2−4x+4x+1÷(3x+1+1−x)
=(x−2)2x+1÷3+(1−x)(1+x)x+1
=(x−2)2x+1⋅x+13+1−x2
=(x−2)2x+1⋅x+1(2+x)(2−x)
=2−x2+x，
∵−2≤x−3，解得m>1；
(3)由(1)可得直线AC解析式为：y2=−x+2，
联立方程组得y=−3xy=−x+2，解得x=−1y=3，或x=3y=−1，
∴C(3,−1)，A(−1,3)．
根据函数图象及交点坐标可知y1>y2时x的取值范围为：−1−3列出关于m的不等式解答即可；
(3)根据两个函数图象及交点坐标，直线写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵CD=CE，
∴∠ADC=∠CED，
∴180°−∠ADC=180°−∠CED，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠BAD=∠ACE，
∴△ABD∽△CAE；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=12BD=6，AC=2OC，
∵BE=DO，
∴BE=OB，
∴∠BEO=∠BOE，
∴∠BEC=∠COD，
∵∠CBE=∠DCO，
∴△COD∽△BEC，
∴CEOD=BEOC，
∴OC −56=6OC，
∴OC=9，
∴AC=18．
【解析】(1)由CD=CE得∠ADC=∠CED，从而∠ADB=∠AEC，进而得出结论；
(2)可证得BE=OB，利用(1)结论得出△COD∽△BEC，从而CEOD=BEOC，即OC −56=6OC，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
21.【答案】(1)120，1.5，480；
(2)设1.5小时后，乙车离C站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式y=kx+b，
360=6k+b0=1.5k+b，
解得：k=80b=−120，
∴函数关系式为y=80x−120；
(3)当0≤x≤1.5时，360−60x+120−80x≤300，
∴x≥97，
∴当97≤x≤32，两车与车站C的路程之和不超过300km，
当1.50，即(4a)2−4a⋅1>0，
∴a>14；
(3)∵函数图象的对称轴为直线x=−2，
∴点(−3,y1)关于对称轴的对称点为(−1,y1)，
∵2y4，
∴y3>0，y40
x=2时，y4=4a+8a+10，解得即可；
(3)根据二次函数的性质即可得出y3=a+4a+1>0，y4=4a+8a+1