2024年浙江省宁波市鄞州区十二校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年浙江省宁波市鄞州区十二校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.如果盈利90元记作+90元，那么亏本60元记作( )
A. −60元B. −70元C. +60元D. +70元
2.中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为( )
A. 37×104B. 3.7×104C. 0.37×106D. 3.7×105
3.下列运算中，正确的是( )
A. 3a2b−3ba2=0B. 3a+2b=5abC. 2x3+3x2=5x5D. 5y2−4y2=1
4.下列说法正确是( )
A. 选举中，人们通常最关心的是众数
B. 若甲组数据的方差S甲2=0.3，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
C. 数据3，2，5，2，6的中位数是5
D. 某游艺活动抽奖的中奖率为16，则参加6次抽奖，一定有1次能获奖
5.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知A(1,y1)，B(3,y2)均在一次函数y=(m2+1)x+2n(m,n为常数)的图象上，则y1，y2的大小关系为( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y18.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F；②分别以B、F为圆心，以大于12BF的长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交边BC于点E.若BF=8，AB=5，则AE的长为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 12
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点G，点F是CD上一点，且满足CFFD=13，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= 52；④S△DEF=4 5.其中正确的是结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图1，四边形ABCD中，AB/​/CD，∠ADC=90°，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t s，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为( )
A. 7B. 7.5C. 8D. 8.6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.使二次根式 x+3有意义的x的取值范围是______．
12.在学校组织的百科知识问答中10名参赛选手得分情况如表：
那么这10名选手所得分数的平均数是______分.
13.已知a，b是关于x的一元二次方程x2+2x−1=0的两实数根，则式子1a+1b的值是______．
14.分解因式：9x3−xy2= ______．
15.如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA=OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y=1x(x>0)的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE−EC=______．
16.如图，四边形ABCD为矩形，AB>AD.将矩形沿着过点C的直线l翻折，点B的对应点为点F.已知AB=5，AD=3，若直线l与射线BA交于点E，且△CFD是直角三角形时，则BE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：−12024+| 2−2|+2sin45°+( 3−1)0．
18.(本小题6分)
先化简，后求值：(2m+1)(2m−1)−(m−1)2−m2，其中m是方程x2+x−6=0的根．
19.(本小题6分)
国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星.如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
(1)求证：AE2=EF⋅EM；
(2)若AF=1，求AE的长．
20.(本小题8分)
某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=nx图象于A(32,4)，B(3,m)两点．
(1)求m，n的值；
(2)点E是y轴上一点，且S△AOB=S△EOB，求E点的坐标；
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>nx的解集．
22.(本小题10分)
新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+1.已知抛物线C1：y=4ax2+ax+4a−3(a≠0)的“关联抛物线”为C2．
(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标；
(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a−4≤x≤a−2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
23.(本小题12分)
已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．

(1)如图1，求证：OF⊥AC；
(2)如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD=2∠BAD，求证：AK=AC；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM.若∠OMH=3∠DKE，BE=OH，AM=24 75，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO=EP；
②计算cs∠OEC；
③求HF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如果盈利90元记作+90元，那么亏本60元记作−60元．
故选：A．
根据正负数表示具有相反意义的量即可解答．
本题考查了正负数的意义，熟知正负数可以表示具有相反意义的量是关键．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查科学记数法表示绝对值较大的数，绝对值较大的数用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：370000=3.7×105，
故选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变．
根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；
B、不是同类项不能合并，故B错误；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，5y2−4y2=y2，故D错误；
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：A.选举中，人们通常最关心的是众数，故本选项正确；
B.若甲组数据的方差S甲2=0.3，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定，故本选项错误；
C.数据3，2，5，2，6的中位数是3，故本选项错误；
D.某游艺活动抽奖的中奖率为16，则参加6次抽奖，很可能获奖，但不是一定获奖，故本选项错误．
故选：A．
根据众数、中位数、方差、概率的意义分别对每一项进行判断即可．
本题考查了众数、中位数、方差、概率，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
7.【答案】C
【解析】解：∵m2≥0，
∴m2+1>0，
∴y值随x的增大而增大．
∵1<3，
∴y1故选：C．
利用一次函数的性质可得出y值随x的增大而增大，再结合1<3，即可得出y1本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接EF，设AE与BF相交于点O．
由作图可知，AF=AB=5，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形，
∴OA=OE，OB=OF=4．
在Rt△AOF中，由勾股定理得，OA= AF2−OF2= 52−42=3，
∴AE=2OA=6．
故选：B．
连接EF，设AE与BF相交于点O.由作图可知，AF=AB=5，AE⊥BF，则可得OB=OF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质以及菱形的判定可得四边形ABEF为菱形，进而可得OA=OE，OB=OF=4.在Rt△AOF中，利用勾股定理求出OA的长，即可得出答案．
本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点G，
∴AC=AD，∠AGF=∠AGD=90°，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，
故①正确；
∵CFFD=13，CF=2，AF=3，
∴FD=3CF=6，
∴CD=CF+FD=8，
∴CG=DG=12CD=4，
∴FG=CG−DF=2，
故②正确；
∵AG= AF2−FG2= 32−22= 5，
∴tan∠AED=tan∠ADF=AGDG= 54，
故③错误；
连接CE，作EH⊥DC交DC的延长线于点H，则∠H=90°，
∵∠CEF=∠ADF，∠CFE=∠AFD，
∴△CFE∽△AFD，
∴CFAF=FEFD，
∴FE=CF⋅FDAF=2×63=4，
∵∠EFH=∠AFG，
∴EHFE=sin∠EFH=sin∠AFG=AGAF= 53，
∴EH= 53FE= 53×4=4 53，
∴S△DEF=12FD⋅EH=12×6×4 53=4 5，
故④正确，
故选：C．
由垂径定理得AC=AD，则∠ADF=∠AED，而∠FAD=∠DAE，所以△ADF∽△AED，可判断①正确；由CFFD=13，CF=2，AF=3，得FD=3CF=6，则CD=8，所以CG=DG=4，则FG=2，可判断②正确；因为AG= AF2−FG2= 5，所以tan∠AED=tan∠ADF=AGDG= 54，可判断③错误；连接CE，作EH⊥DC交DC的延长线于点H，可证明△CFE∽△AFD，得CFAF=FEFD，则FE=CF⋅FDAF=4，由EHFE=sin∠EFH=sin∠AFG=AGAF= 53，求得EH= 53FE=4 53，可求得S△DEF=12FD⋅EH=4 5，可判断④正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂径定理、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD=2，
点P运动到C点时，△ADP面积为4，
则AD=4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB=5，则运动时间为5秒，
∴E(5,10)，
设当5∴10=5k+b4=10k+b，
解得k=−65b=16，
∴当5当P运动到BC中点时时间t=7.5，
则S=7，
故选：A．
首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当5本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
11.【答案】x≥−3
【解析】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥−3．
故答案为：x≥−3．
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】88.5
【解析】解：这10名选手所得分数的平均数是1×80+3×85+4×90+2×9510=88.5(分)，
故答案为：88.5．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13.【答案】2
【解析】解：根据题意得a+b=−2，ab=−1，
所以1a+1b=a+bab=−2−1=2．
故答案为：2．
先根据根与系数的关系得到a+b=−2，ab=−1，再通过通分得到原式=a+bab，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
14.【答案】x(3x+y)(3x−y)
【解析】解：9x3−xy2
=x(9x2−y2)
=x(3x+y)(3x−y)，
故答案为：x(3x+y)(3x−y)．
先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解．
本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
15.【答案】 10− 22
【解析】解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上，OA=OB，点E为AB的中点，
∴直线OC的解析式为y=x，
设C(a,a)
∵点C在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴a2=1，
∵a>0，
∴a=1，
∴C(1,1)，
∴D(1,0)，
∴设直线AB的解析式为y=−x+b，则B(b,0)，BD=b−1．
∵点D和点F关于直线AB对称，
∴BF=BD=b−1，
∴F(b,b−1)，
∵F在反比例函数y=1x的图象上，
∴b(b−1)=1，
解得b1=1+ 52，b2=1− 52(舍去)，
∴B(1+ 52,0)，
∵C(1,1)，
∴OD=CD=1，
∴OC= 2，
易证△ODC∽△OEB，
∴OEOD=OBOC，即OE1=1+ 52 2，
∴OE= 2+ 104，
∴OE−EC=OE−(OC−OE)=2OE−OC= 2+ 102− 2= 10− 22．
故答案为： 10− 22．
由题意可得直线OC的解析式为y=x，设C(a,a)，由点C在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，求得C(1,1)，求得D的坐标，根据互相垂直的两条直线斜率之积为−1，可设直线AB的解析式为y=−x+b，则B(b,0)，BD=b−1.由点D和点F关于直线AB对称，得出BF=DB=b−1，那么F(b,b−1)，再将F点坐标代入y=1x，得到b(b−1)=1，解方程即可求得B的坐标，然后通过三角形相似求得OE，根据OE−EC=OE−(OC−OE)=2OE−OC即可求得结果．
本题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征，互相垂直的两条直线斜率之积为−1，设直线AB的解析式为y=−x+b，用含b的代数式表示F点坐标是解题的关键．
16.【答案】1或9
【解析】解：分两种情况：①直线l与边BA交于点E，点F落在矩形ABCD内部，△CFD是直角三角形时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5，BC=AD=3，∠A=∠B=90°，
设BE=x，
由折叠可知：EF=EB=x，CF=CB=3，∠CFE=∠B=90°，
∴∠CFD=90°，DF= CD2−CF2= 52−32=4，
∴DE=DF+EF=4+x，AE=AB−BE=5−x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：
AD2+AE2=DE2，
∴32+(5−x)2=(4+x)2，
∴x=1，
∴BE=1；
②直线l与射线BA交于点E，点F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形时，如图2，
由折叠可知：∠FEC=∠BEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD/​/AB，
∴∠DCE=∠BEC，
∴∠DCE=∠FEC，
∴DE=DC=5，
∴AE= DE2−AD2= 52−32=4，
∴BE=AE+AB=4+5=9，
综上所述：BE的长为1或9，
故答案为：1或9．
分两种情况讨论：①直线l与边BA交于点E，点F落在矩形ABCD内部，△CFD是直角三角形时，如图1，②直线l与射线BA交于点E，点F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形时，如图2，然后利用折叠的性质和勾股定理即可解决问题．
本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，矩形的性质，解题关键是利用分类讨论思想．
17.【答案】解：原式=−1+2− 2+2× 22+1
=−1+2− 2+ 2+1
=2．
【解析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】解：x2+x−6=0，
(x+3)(x−2)=0，
x+3=0或x−2=0，
x1=−3，x2=2，
∵m是方程x2+x−6=0的根，
∴m=−3或2，
原式=4m2−1−(m2−2m+1)−m2
=4m2−1−m2+2m−1−m2
=2m2+2m−2，
当m=−3时，
原式=2×(−3)2+2×(−3)−2
=2×9−6−2
=18−8
=10；
当m=2时，
原式=2×22+2×2−2
=2×4+2×2−2
=8+4−2
=10．
【解析】先利用分解因式法解一元二次方程，求出x，从而得到m的值，然后利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再把m的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的一般步骤、平方差公式和完全平方公式．
19.【答案】(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠AED=108°，
∴∠FAE=180°−∠BAE=72°，∠AEF=180°−∠AED=72°，
∴∠F=180°−∠FAE−∠AEF=36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠MAE=12∠FAE=36°，
∴∠F=∠MAE，
∵∠AEM=∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴AEEF=EMEA，
∴AE2=EF⋅EM；
(2)解：设AE=x，
由(1)可得：∠F=∠FAM=36°，
∴FM=AM，
由(1)可得：∠FAE=∠AEF=72°，
∴FA=FE=1，
∵∠AME=∠F+∠FAM=72°，
∴∠AME=∠AEF=72°，
∴AM=AE，
∴AM=AE=FM=x，
∴ME=EF−FM=1−x，
由(1)可得：AE2=EF⋅EM，
∴x2=1⋅(1−x)，
解得x= 5−12或x=−1− 52(舍去)，
∴AE= 5−12，
∴AE的长为 5−12．
【解析】(1)根据正五边形的性质可得∠BAE=∠AED=108°，从而利用平角定义可得∠FAE=∠AEF=72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F=36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM=∠MAE=36°，从而可得∠F=∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
(2)设AE=x，利用(1)的结论可得：∠F=∠FAM=36°，从而可得FM=AM，在利用(1)的结论可得：∠FAE=∠AEF=72°，从而可得FA=FE=1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME=∠AEF=72°，从而可得AM=AE，进而可得AM=AE=FM=x，再利用线段的和差关系可得ME=1−x，最后利用(1)的结论可得：AE2=EF⋅EM，从而可得x2=1⋅(1−x)，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：测角仪显示的度数为50°，
∴α=90°−50°=40°，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，CE⊥AE，
∴∠ABD=EDB=AED=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD=10m，ED=AB=1.54m，
在Rt△CAE中，CE=AE·tanα=AE·tan40°≈8.39(m)，
∴CD=CE+ED≈8.39+1.54=9.93≈9.9(m)．
答：古树高度CD约为9.9m．
【解析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可得到α的度数，证明四边形ABDE是矩形得到DE=AB，再解直角三角形求得CE，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
21.【答案】(1)把点A(32,4)代入y=nx中，得：n=32×4=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
将点B(3,m)代入y=6x得m=63=2；
(2)设直线AB的表达式为y=kx+b，
把A(32,4)，B(3,2)代入得32k+b=43k+b=2，
解得 k=−43b=6
∴直线AB的表达式为y=−43x+6，
∴D点的坐标为(0,6)，
∴S△AOB=S△BOD−S△AOD=12×6×3−12×6×32=92，
设E点的坐标为(0,b)，
∵S△AOB=S△EOB，
∴12|b|×3=92，
解得：|b|=3，
∴E点的坐标为(0,3)或(0,−3)；
(3)不等式kx+b>nx的解集是x<0或32【解析】(1)把点A(32,4)代入y=nx中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B(3,m)代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
(2)根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB=S△BOD−S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为(0,b)，根据S△AOB=S△EOB得到关于b的方程12，解方程求得b，从而求得E点的坐标；
(3)根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
22.【答案】解：(1)根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y=ax2+4ax+4a−3，
∵y=ax2+4ax+4a−3=a(x+2)2−3，
∴C2的顶点坐标为(−2,−3)；
(2)①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M(m,4am2+am+4a−3)，N(m,am2+4am+4a−3)，
∴MN=|4am2+am+4a−3−(am2+4am+4a−3)|=|3am2−3am|，
∵MN=6a，
∴|3am2−3am|=6a，
解得m=−1或m=2，
∴P(−1,0)或(2,0)．
②∵C2的解析式为：y=a(x+2)2−3，
∴当x=−2时，y=3，
当x=a−4时，y=a(a−4+2)2−3=a(a−2)2−3，
当x=a−2时，y=a(a−2+2)2−3=a3−3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a−4≤−2≤a−2时，0且当0∴a(a−2)2−3−(−3)=2a，解得a=2− 2或a=2+ 2(舍)；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3−3；函数的最小值为−3，
∴a3−3−(−3)=2a，解得a= 2或a=− 2(舍)；
Ⅱ、当−2≤a−4≤a−2时，a≥2，
函数的最大值为a3−3，函数的最小值为a(a−2)2−3；
∴a3−3−[a(a−2)2−3]=2a，
解得a=32；
Ⅲ、当a−4≤a−2≤−2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2− 2或 2或32．
【解析】(1)根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
(2)①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a−4≤−2≤a−2时，当−2≤a−4≤a−2时，当a−4≤a−2≤−2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵点F是弧AC的中点，
∴AF=FC，
∵OF为⊙O的半径，
∴OF⊥AC；
(2)证明：连接KC，如图，

设∠BAD=α，则∠CAD=2α．
∵∠BAD=∠BCK，
∴∠BCK=α．
∵AD是△ABC的高，
∴∠B=90°−α，ACB=90°−∠DAC=90°−2α，
∴∠K=∠B=90°−α，∠ACK=∠BCK+∠ACD=90°−2α+α=90°−α，
∴∠K=∠ACK，
∴AK=AC；
(3)解：①连结AO，并延长AO交BC于点P，如图，

过点O作OG⊥AK于点G，
则AG=GK=12AK，BN=CN=12BC．
由(2)知：AK=AC，
∵OG⊥AK，OH⊥AC，
∴OG=OH，
∴OA平分∠DAC，
∴∠DAP=∠PAC=12∠DAC，
∴∠BAD=∠DAP=∠CAP=α，
∴∠APE=90°−∠DAP=90°−α，
∵∠ACD=90°−2α，
∴∠HEC=90°−∠ACD=2α．
∴∠EOP=180°−∠HEC−∠APE=180°−2α−(90°−α)=90°−α，
∴∠EOP=∠APE=90°−α，
∴EO=EP；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，
∵OG⊥AK，ON⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形OGDN为矩形，
∴OG=DN，ON=GD．
∵BE=OH，
∴BE=DN=OG=OH，
设BE=m，DE=n，
∴BD=m+n，BE=DN=OG=OH=m，BN=BD+DN=2m+n，
∴BC=2BN=4m+2n，
∴EC=BC−BE=3m+2n，EN=BN−BE=m+n，
在△ABD和△APD中，
∠BAD=∠PAD=α∠ADB=∠ADP=90°AD=AD，
∴△ABD≌△APD(AAS)，
∴BD=PD=m+n，
∴PE=PD+ED=m+2n，
∴OE=PE=m+2n，
∴EH=EO+OH=2m+2n，
∵cs∠OEC=ENOE=EHEC，
∴m+nm+2n=2m+2n3m+2n，
∴m=2n，
∴EN=3n，OE=PE=4n．
∴cs∠OEC=ENOE=3n4n=34；
③∵m=2n，
∴EC=3m+2n=8n，EH=2m+2n=6n，
∴CH= EC2−EH2=2 7n.
∴AH=CH=2 7n，AC=2CH=4 7n，
∴AK=AC=4 7n.
∵BC=4m+2n=10n，BD=PD=m+n=3n，
∴CD=BC−BD=7n，
∴AD= AC2−CD2=3 7n，
∴AB= AD2+BD2=6 2n，
∵12BC⋅AD=12AB⋅CQ，
∴CQ=5 142n，
∴AQ= AC2−CQ2=7 22n.
∴DK=AK−AD= 7n.
∵DE=n，
∴DEDK=BDAD=1 7，
∵∠EDK=∠BDA=90°，
∴△EDK∽△BDA，
∴∠DKE=∠BAD=α，
∵∠OMH=3∠DKE，
∴∠OMH=3α，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=3α，
∴∠OMH=∠BAC，
∵∠OHM=∠CQA=90°，
∴△OHM∽△CQA，
∴OHHM=CQAQ，
∴2nHM=5 142n7 22n，
∴HM=2 75n，
∴AM=AH+HM=12 75n.
∵AM=24 75，
∴n=2．
∴OH=4，AH=4 7，
∴OA= AH2+OH2=8 2，
∴OF=OA=8 2，
∴HF=OF−OH=8 2−4．
【解析】(1)利用垂径定理的推论解答即可；
(2)连接KC，利用圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
(3)①过点O作OG⊥AK于点G，利用圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，角平分线的性质定理得到OA平分∠DAC，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，利用矩形的判定与性质得到BE=DN=OG=OH，设BE=m，DE=n，利用m，n的代数式表示出线段BD，BC，CE，BN，利用全等三角形的判定与性质得到BD=PD=m+n，进而得EN，EH，利用直角三角形的边角关系定理得出cs∠OEC=ENOE=EHEC，m+nm+2n=2m+2n3m+2n，则m=2n；代入求得线段EN=3n，OE=PE=4n，利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
③利用关系式m=2n和②这的结论，用含n的代数式求得线段AH，AC，AK，BC，BD，AQ，CQ的长度，再利用相似三角形的判定与性质得到AM的长度，利用已知条件求得n值，利用勾股定理求得圆的半径，则HF=OF−OH．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．人数
1
3
4
2
分数
80
85
90
95
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据
如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α.测出眼睛到地面的距离AB=1.54m.测出所站地方到古树底部的距离BD=10m．
【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m)
(参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839)