江苏省高邮市2023-2024学年高三下学期3月学情调研测试数学试题

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（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列命题中，正确的是（ ）
. B..
C. . D..
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知（ ）
A． B． C． D．
6. 已知的外接圆圆心为，,,则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则=( )
A. 4B. 8 C. D.
8. 已知函数，，若当时，总有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A．在正三角形中，，的夹角为.
B．若，且，则.
C．若且，则.
D．对于非零向量，，“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件.
10. 下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上的点，点是直线上的点，且，平面内一点满足：，则（ ）
A．为直角三角形
B．
C．面积的最小值是
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上．
12. 如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为2，则=___________.
13. 若为第一象限角，且，则___________.
已知平面单位向量，满足，向量的夹角为，则的最小值是___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）
在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，．
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形所在平面内一点，且，求证：E，G，F三点不能构成三角形．
16.（15分）
已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
17.（15分）
（1）已知 且及，求的值；
（2）已知，且，求的值．
18.（17分）
如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点E，F,，设，．
若，，求的值；
（2）若点为线段的中点，求的最小值.
19.（17分）
如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“正余弦生成函数”，实数对为函数的“生成数对”；
（1）求函数的“生成数对”；
（2）若实数对的“正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围；
（3）已知实数对为函数的“生成数对”，试问：是否存在正实数使得函数的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.