2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（三）数学试卷（含答案）

这是一份2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（三）数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了下列计算正确的是，《孙子算经》中有一道题，原文是等内容，欢迎下载使用。
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（ ）
A．+3米B．﹣3 米C．+2米D．﹣2 米
2．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．8B．7C．6D．5
4．下列计算正确的是（ ）
A．2a×2a＝8a B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a2+a2＝2a4D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
5．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m＜﹣2C．m≥0且m≠1D．m＞﹣1且m≠0
6．已知不等式组3x−2＜1−2x≤4，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
7．关于函数y＝﹣2x﹣5，下列说法不正确的是（ ）
A．图象是一条直线 B．y的值随着x值的增大而减小
C．图象不经过第一象限 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A．y=x+4.512y=x+1 B．y=x+4.512y=x−1C．y=4.5−x12y=x+1 D．y=4.5−x12y=x−1
9．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
10．如图，在矩形ABCD中，AB=42，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AD边于点M，N，分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC边于点E，再以A为圆心，AE长为半径画弧，交AD边于点F，将扇形EAF剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（ ）
A．1B．32C．2D．52
9题 10题
二．填空题（共5小题，共15分）
11．计算18÷9= ．
12．如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
13．有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 ．
14．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC边交于点E，若S△AEF=16k时，则k＝ ．
12题 14题 15题
15．如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，PC＝10，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连接P′P，P′C，四边形APCP′的面积为 ，S△APB+S△BPC＝ ．
三．解答题（共8小题共75分）
16．（10分）（1）计算（−12）﹣2﹣（π﹣3）0+|3−2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：(x2−1x2−2x+1−1x)÷1x−1，其中x＝﹣1．
17．（8分）某区城曾是市里有名的积水点，为了降低该区域积水的风险，市政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了20%，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际每天改造排水管道的长度；
（2）改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？
18．（9分）某校为了解七年级学生最喜爱的棋类情况，校团委通过学校公众号向七年级学生发放如图所示的调查问卷，要求如实填写并提交．
调查问卷：
你最喜爱的棋类是______．（只选一项）
A．中国象棋 B．围棋 C．跳棋 D．五子棋 E．其他
收集数据：校团委从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABD CADEB EBCED ACADC CADDC DBDAE CECDC ADCDC
整理数据：整理所收集的数据如表．
描述数据：将结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）如果该校七年级有学生400名，估计选“围棋”的学生约有多少名？
19．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）（不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
20．（8分）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直（∠BAC＝90°，AB＝2.7米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，又测得CE＝2.2米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cs33°≈0.84，cs66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．
22．（12分）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式；
（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；
②此时叠放达到的最大高度．
23．（12分）【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝CD，∠ACD+∠BAC＝180°，CE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2CE．
①如图2，小涵同学从∠ACD+∠BAC＝180°，这个条件出发，给出如下解题思路：得出∠BAC＝2∠CAD，作AF平分∠BAC交BC于点F，将∠ACD+∠BAC＝180°转化为∠CAF与∠CAD之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长CE至点G，使CE＝EG，连接AG，将线段CE与BC之间的数量关系转化为线段CG与BC之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，在BE上截取EF＝CE，连接AF交CD于点G．求证：BF＝2EG．
【学以致用】：
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，sinB=45，D是BC中点，点E在线段BD上，连接AE，延长AC至点F，使CF＝BE，连接DF，若∠CDF＝∠BAE．求DEAB的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．2．C．3．C．4．D．5．D．6．B．7．D．8．B．9．B．10．A．
二．填空题（共5小题）
11．2．12．（4，4）．13．16．14．4．15．93+24；163+24．
三．解答题（共8小题）
16．（1）5；（2）x2+1x，−2．
17．解：（1）设原计划每天改造排水管道x米，则实际每天改造排水管道（1+20%）x米，
根据题意得：4800x−4800(1+20%)x=10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+20%）x＝（1+20%）×80＝96．
答：实际每天改造排水管道96米；
（2）改造完排水管道总长的一半所需时间为4800÷2÷96＝25（天）．
设接下来每天改造管道时，还要增加y米，
根据题意得：（96+y）（40﹣25）≥4800÷2，
解得：y≥64，
∴y的最小值为64．
答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64米．
18．解：（1）根据统计给出的数据知喜欢五子棋有12人，喜欢其他有5人，补全统计图如下：
（2）m%=1240×100%=30%，
即m＝30，n%=540×100%=12.5%，
即n＝12.5，
故答案为：30，12.5；
（3）400×10%＝40，
故七年级400名学生中，估计选“围棋”的学生约有40人．
19．解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数过（10，200）和（15，150），
∴10k+b=20015k+b=150，
解得：k=−10b=300，
∴y＝﹣10x+300，
∵x＞8且﹣10x+300＞0，
∴8＜x＜30，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+300（8＜x＜30）；
（2）设每天的利润为w元，根据题意，得：
w＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+380x﹣2400
＝﹣10（x﹣19）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＝19时，w最大，最大值为1210，
∴售价定为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．
20．解：（1）由题意得，∠BAC＝90°，AB＝2.7 米，∠ACB＝33°，∠DBE＝66°，CE＝2.2 米，DE⊥BC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sin∠ACB=ABBC，
即BC=ABSin33°= （米），
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣2.2＝2.8 （米），
在Rt△BED中，∠BED＝90°，cs∠DBE=BEBD，
即BD=BEcs66°≈ （米），
答：该支架的边BD的长7米；
（2）过点D作DH⊥AM，垂足为H，过点B作BF⊥DH，垂足为F，
∵BF∥AM，
∴∠FBC＝∠ACB，
∵∠ACB＝33°，
∴∠FBC＝33°，
∵∠DBE＝66°，
∴∠DBF＝33°，
在Rt△DBF中，∠DFB＝90°，sin∠DBF=DFBD，
即DF＝BD•sin∠ACB≈7×0.54＝3.78 （米），
∵FH＝AB＝2.7 （米），
∴DH＝DF+FH＝3.78+2.7＝6.48≈6 （米），
答：支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为6米．
21．（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD＝∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB＝10，
∴BC＝6，
∵OF⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠BOE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠BOE，
∴∠BAC＝∠BCD，
∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BHBC=35，
∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，
∴1855=BDBD+5，
解得BD=907，
故BD的长为907．
22．解：（1）依题意得：
y=12（x+1）x=12x2+12x；
（2）当y＝36时，12x2+12x＝36，
解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），
答：第一层杯子的个数为8个；
（3）①∵第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，
∴4×2x≤80，
解得x≤10，
x取最大值为10，
即第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，
∴杯子的总数为y=12（10+1）×10＝55（ 个）；
答：杯子最多能叠放10层和此时杯子的总数为55个；
②在图4Rt△OMA中，OA＝24cm，MA＝4cm，
∴OM=OA2−MA2=242−42=435（cm），
∵ND∥MA，
∴△OND∽△OMA，
∴ONOM=ODOA=1524=58，
∴ON=58OM=5352cm，
∴MN＝OM﹣ON=3352cm，
∴10层杯子的高度是10MN=3352×10＝1535（cm），
答：杯子叠放达到的最大高度是1535cm．
23．（1）证明：选择小涵同学的解题思路：
作AF平分∠BAC交BC于点F，如图，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴∠ACD+2∠CAD＝180°．
又∵∠ACD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝2∠CAD．
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAF，
∴∠CAF＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2CF，AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
又∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
在△ACF和△ACE中，
∠FAC=∠EAC∠AFC=∠AEC=90°AC=AC，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴CF＝CE，
∴BC＝2CE；
选择小慧同学的解题思路：
延长CE至G，使CE＝EG，连接AG，如图，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴∠ACD+2∠CAD＝180°，
又∵∠ACD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵AE⊥CG，CE＝GE，
∴AE为线段CG的垂直平分线，
∴AG＝AC，∠CAE＝∠EAG，
∴∠CAG＝2∠CAD，
∴∠CAG＝∠BAC．
又∵AB＝AC，
∴AB＝AG，
在△ABC和△AGC中，
AB=AG∠BAC=∠GACAC=AC，
∴△ABC≌△AGC（SAS），
∴BC＝CG，
∵CG＝2CE，
∴BC＝2CE．
（2）证明：过A作AM⊥CD交CD延长线于点M，如图，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD．
在△CBE和△ACM中，
∠ACM=∠CBE∠AMC=∠BEC=90°AC=CB，
∴△CBE≌△ACM（AAS），
∴CE＝AM，
∴BE＝CM．
∵CE＝EF，
∴EF＝AM．
在△EFG和△MAG中，
∠AMG=∠FEG=90°∠AGM=∠FGEFE=AM，
∴△EFG≌△MAG（AAS），
∴EG＝MG，
∴EM＝2EG．
∵BE＝CM，CE＝EF，
∴BE﹣EF＝CM﹣CE，
即 BF＝EM，
∴BF＝2EG；
（3）解：连接AD，过F作FM∥AB交BC的延长线于点M，如图，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sinB=ADAB=45，
设AD＝4a，AB＝5a，
根据勾股定理得：BD=AB2−AD2=(5a)2−(4a)2=3a，
∴CD＝BD＝3a，BC＝2BD＝6a．
∵FM∥AB，
∴∠B＝∠M，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠FCM，
∴∠FCM＝∠M，
∴FC＝FM．
∵CF＝BE，
∴BE＝FM．
在△BAE和△FDM中，
∠BAE=∠FDM∠B=∠MBE=MF，
∴△BAE≌△FDM（AAS），
∴AB＝DM＝5a，
∴CM＝DM﹣DC＝2a．
∵FM∥AB，
∴△CAB∽△CFM，
∴ABFM=BCCM=6a2a=3，
∴FM=53a，
∴BE＝FM=53a，
∴DE＝BD﹣BE＝3a−53a=43a，
∴DEAB=43a5a=415．
最喜爱的棋类
A
B
C
D
E
人数
8
4
11
百分比
20%
10%
27.5%
m%
n%
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…