2024年河南省平顶山市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省平顶山市中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）龙年伊始，平顶山市迎来了新年文旅“满堂红”．今年春节期间，平顶山市共接待游客599.66万人次，实现旅游收入36.4亿元．数据36.4亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.64×108B．36.4×108C．0.364×109D．3.64×109
4．（3分）如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线m，n上，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．（a2）3＝a8
C．（2a）5＝10a5D．a2•a3＝a5
6．（3分）如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠OAC＝20°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
7．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝3根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
8．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，2），则一次函数y＝kx+k的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
10．（3分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
12．（3分）分式方程的解是 ．
13．（3分）某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为 ．
14．（3分）如图，直线y＝kx+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝﹣（x＜0）图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，若P是射线AD上一个动点，连接BP，点A关于直线BP的对称点为M，连接MP，MC，当P，M，C三点共线时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：32÷|﹣3|﹣×2﹣1；
（2）解不等式组：．
17．（9分）为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息．
a.10架A款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min）分别是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
b.10架B款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min）在中等组的数据分别是：70，71，72，72，73．
c．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
d．B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架，B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线CE，与BD的延长线交于点E，连接BC．
（1）求证：∠CEB＝90°．
（2）连接CD，当CD∥AB时：
①连接OC，判断四边形OBDC的形状，并说明理由．
②若BE＝3，图中阴影部分的面积为 （用含有π的式子表示）．
20．（9分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
21．（9分）如图是某篮球架的侧面示意图，四边形ABCD为平行四边形．其中BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接．旋转点F处的螺栓可以调节EF长度，使支架BE绕点A旋转，进而调节篮板的高度．已知DH＝209cm．
（1）如图1，当∠GAE＝60°时，测得点C离地面的高度为289cm，求CD的长度．
（2）如图2，调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6，tan54°≈1.4）
22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门OB高为2.44m，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为y＝﹣x2+bx+c．结果足球“画出一条美妙的曲线”在点O正上方2m处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离．
（注：题中的x表示球到球门的水平距离，y表示球飞行的高度）
23．（10分）（1）观察发现：已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，旋转角为α，直线DE交直线AC于点F．如图1，当α＝90°时，判断：四边形BCFE的形状为 ，CF与EF的数量关系为 ．
（2）深入探究：在图1的基础上，将△DBE绕点B逆时针旋转，旋转角为β，如图2，当0°＜β＜90°时，直接写出线段AF，EF，DE的数量关系： ；继续旋转，如图3，当90°＜β＜180°时，请写出线段AF，EF，DE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的基础上，当∠CBE＝∠BAC时，若BC＝9，AC＝12，请直接写出AF的长．
2024年河南省平顶山市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
2．（3分）如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的定义判断即可．
【解答】解：圆锥的俯视图是：．
故选：B．
3．（3分）龙年伊始，平顶山市迎来了新年文旅“满堂红”．今年春节期间，平顶山市共接待游客599.66万人次，实现旅游收入36.4亿元．数据36.4亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.64×108B．36.4×108C．0.364×109D．3.64×109
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：36.4亿＝3640000000＝3.64×109，
故选：D．
4．（3分）如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线m，n上，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】先根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝70°，再利用平角的定义得到∠3+∠2+∠ABC＝180°，进而得解．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝70°，
又∵∠3+∠2+∠ABC＝180°，
∴∠2＝50°．
故选：B．
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．（a2）3＝a8
C．（2a）5＝10a5D．a2•a3＝a5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项和同底数幂的乘法等运算法则逐一计算并判断即可．
【解答】解：A、a3+a4＝a3（1+a），故选项A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故选项B不符合题意；
C、（2a）5＝32a5，故选项C不符合题意；
D、a2a3＝a5，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠OAC＝20°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝20°，从而利用三角形内角和定理可得∠AOC＝140°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝140°，
∴∠ABC＝∠AOC＝70°，
故选：A．
7．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝3根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
【分析】利用根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
x（x﹣2）＝3，
即x2﹣2x﹣3＝0，
所以b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，2），则一次函数y＝kx+k的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意知，k＝﹣1×2＝﹣2＜0，所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2，根据k，b的值判断一次函数y＝kx﹣2的图象经过的象限．
【解答】解：∵反比例函数y＝经过（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2＜0，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2，根据k、b的值得出图象经过二、三、四、象限，不过第一象限．
故选：A．
9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图象，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作AD⊥BC，当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时，当动点P运动到点C时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．
【解答】解：作AD⊥BC，垂足为D，
当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点C时，运动结束，线段AP的长度就是AC的长度，此时，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴AB＝2BD，
∴，
∴，，
∴，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，
∴△ABC的面积为，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ﹣3，答案不唯一 ．
【分析】根据题意可知，点P在数轴上，且到原点的距离大于2，可得|点P表示的数|＞2，因此即可写出一个点P表示的负数．
【解答】解：∵点P在数轴上，且到原点的距离大于2，
∴|点P表示的数|＞2，
∴点P表示的负数：﹣3，
故答案为：﹣3，答案不唯一．
12．（3分）分式方程的解是 x＝2 ．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x﹣1＝x+1，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的解，
故原方程的解为x＝2．
13．（3分）某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为 ．
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：共30+20+18+12＝80人，
选择篮球的有30人，
所以该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，直线y＝kx+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝﹣（x＜0）图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在反比例函数y＝﹣上，
∴点C（﹣1，4），
∴﹣k+3＝4，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，若P是射线AD上一个动点，连接BP，点A关于直线BP的对称点为M，连接MP，MC，当P，M，C三点共线时，AP的长为 1或9 ．
【分析】分两种情况画图：根据当P，M，C三点共线时画出图形，利用点A关于直线BP的对称点为M，得∠A＝∠BMP＝90°，BM＝AB＝3，AP＝MP，根据勾股定理列出方程即可解决问题．由轴对称的性质得AP＝MP，∠APB＝∠MPB，由平行线的性质得∠APB＝∠CBP，进而可以解决问题．
【解答】解：①当P，M，C三点共线时，如图1所示：
在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，
∵点A关于直线BP的对称点为M，
∴∠A＝∠BMP＝90°，BM＝AB＝3，AP＝MP，
∴CM＝＝＝4，
设AP＝x，
则PD＝AD﹣AP＝5﹣x，CP＝CM+PM＝4+x，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：PC2＝PD2+CD2，
∴（4+x）2＝（5﹣x）2+32，
∴x＝1，
∴AP的长为1；
②如图2，由轴对称的性质得AP＝MP，∠APB＝∠MPB，
由平行线的性质得∠APB＝∠CBP
∴∠CPB＝∠CBP，
∴CP＝CB＝5，
在RtABCM中，BM＝AB＝3，由勾股定理得CM＝4，
∴MP＝CP+CM＝9，
∴AP＝9，
综上所述：AP的长为1或9，
故答案为：1或9．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：32÷|﹣3|﹣×2﹣1；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）依据题意，根据实数的运算法则进行计算可以得解；
（2）依据题意，分别解出组成不等式组的两个不等式然后可以得解．
【解答】解：（1）原式＝9÷3﹣2×
＝3﹣1
＝2．
（2）由①得，x＞3；
由②得x≥1．
∴原不等式组的解集为：x＞3．
17．（9分）为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息．
a.10架A款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min）分别是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
b.10架B款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min）在中等组的数据分别是：70，71，72，72，73．
c．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
d．B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，a＝ 72 ，b＝ 70.5 ，m＝ 10 ．
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架，B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；
（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（3）利用样本估计总体可求解．
【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，
把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝（70+71）÷2＝70.5，
m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．
故答案为：72，70.5，10；
（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
（3）200×（6÷10）+120×（1﹣40%）
＝120+72
＝192（架），
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据已知条件以及线段垂直平分线的性质可得DE为△ABC的中位线，进而可得BD＝CD＝4，则△BCD的周长为BC+BD+CD＝5+4+4＝13．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）∵直线DE为线段BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，点E为BC的中点，CD＝BD．
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴点D为线段AB的中点，
∴BD＝CD＝4，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝5+4+4＝13．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线CE，与BD的延长线交于点E，连接BC．
（1）求证：∠CEB＝90°．
（2）连接CD，当CD∥AB时：
①连接OC，判断四边形OBDC的形状，并说明理由．
②若BE＝3，图中阴影部分的面积为 （用含有π的式子表示）．
【分析】（1）连接OC，AD，证明OC∥BE，由切线的性质可得出结论；
（2）①由菱形的判定可得出结论；
②连接OD，AC，证明△BOD都是等边三角形，得出∠OBD＝∠DOC＝60°，求出AB＝4，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，AD，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴OC∥BE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥BE，
∴∠CEB＝90°；
（2）解：①四边形OBDC为菱形，
理由：∵CD∥AB，OC∥BE，
∴四边形OBDC为平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形OBDC为菱形；
②连接OD，AC，
∵四边形OBDC是菱形，
∴BD＝OB，∠OBC＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD都是等边三角形，
∴∠OBD＝∠DOC＝60°，
∴，
∵BE＝3，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2，
∴AC＝2，
∴AB＝4，
∵CD∥AB，
∴S△COD＝S△CDB，
∴S阴影＝S扇形COD＝＝．
故答案为：．
20．（9分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥（40﹣m），
解得m≥，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
21．（9分）如图是某篮球架的侧面示意图，四边形ABCD为平行四边形．其中BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接．旋转点F处的螺栓可以调节EF长度，使支架BE绕点A旋转，进而调节篮板的高度．已知DH＝209cm．
（1）如图1，当∠GAE＝60°时，测得点C离地面的高度为289cm，求CD的长度．
（2）如图2，调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6，tan54°≈1.4）
【分析】（1）当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC∥AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根据已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；
（2）当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为289cm，DH＝209cm，
∴DK＝289﹣209＝80（cm），
则CD＝160cm；
（2）点C离地面的高度升高了，理由：
如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD•cs54°≈160×0.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
22．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门OB高为2.44m，现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为y＝﹣x2+bx+c．结果足球“画出一条美妙的曲线”在点O正上方2m处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离．
（注：题中的x表示球到球门的水平距离，y表示球飞行的高度）
【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）求出第二次射门时足球路线的解析式，求出顶点坐标，再根据两点间的距离公式计算两个抛物线最高点之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（2，3），抛物线与x轴交点为A（8，0），
将点A（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得：36a+3＝0，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，
当x＝0时，y＝﹣+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）根据题意点（0，2）、（8，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2++2，
此抛物线最高点横坐标为：﹣＝﹣＝2，此抛物线最高点纵坐标为：y＝﹣×4++2＝，
∴两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离：3﹣＝．
23．（10分）（1）观察发现：已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，旋转角为α，直线DE交直线AC于点F．如图1，当α＝90°时，判断：四边形BCFE的形状为 正方形 ，CF与EF的数量关系为 CF＝EF ．
（2）深入探究：在图1的基础上，将△DBE绕点B逆时针旋转，旋转角为β，如图2，当0°＜β＜90°时，直接写出线段AF，EF，DE的数量关系： AF+EF＝DE ；继续旋转，如图3，当90°＜β＜180°时，请写出线段AF，EF，DE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的基础上，当∠CBE＝∠BAC时，若BC＝9，AC＝12，请直接写出AF的长．
【分析】（1）由∠ACB＝∠CBE＝∠FEB＝90°得出四边形BCFE是矩形，结合CB＝BE得出四边形BCFE是正方形，从而CF＝EF；
（2）可证得Rt△BEF≌Rt△BCF，从而CF＝EF，进一步得出结论；
（3）当0°＜β＜90°时，延长BC，交EF的延长线于G，可证得△ABC∽△BGE，从而，从而求得BG，可证得△GCF∽△BCA，从而，从而求得CF，进而得出结果，同样求得当90°＜β＜180°时得结果．
【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝∠CBE＝∠FEB＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∵CB＝BE，
∴四边形BCFE是正方形，
∴CF＝EF，
故答案为：正方形，CF＝EF；
（2）如图1，
当90°＜β＜180°时，连接BF，
由旋转特征可得：BC＝BE，∠ACB＝∠E＝90°，AC＝DE，
∵∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠E，
∵BF＝BF，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴CF＝EF，
∴AF＝AC+CF＝DE+EF，
如图2，
当0°＜β＜90°时，连接BF，
同理可得：EF＝CF，
∵AF+CF＝AC，AC＝DE，
∴AF+EF＝DE，
故答案为：AF+EF＝DE；
（3）如图3﹣1，
当0°＜β＜90°时，延长BC，交EF的延长线于G，
由（2）知：BE＝BC＝9，
∵∠CBE＝∠BCA，∠ACB＝∠BEF＝90°，
∴△ABC∽△BGE，
∴，
∵AC＝12，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AB＝15，
∴，
∴BG＝，
∴CG＝BG﹣BC＝，
同理可得：△GCF∽△BCA，
∴，
∴，
∴CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，
如图3﹣2，
当90°＜β＜180°时，
AF＝AC+CF＝12+3＝15，
综上所述：AF＝9或15．
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
31.6
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
31.6