2024年黑龙江省哈尔滨四十九中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省哈尔滨四十九中中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．2B．3.333C．﹣πD．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8B．x3•x2＝x6
C．（x2y）3＝x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）反比例函数y＝的图象上有两个点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则k的取值为（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1
5．（3分）由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，DC、AE的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．40°B．30°C．50°D．65°
8．（3分）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x＝16（27﹣x）B．16x＝22（27﹣x）
C．2×16x＝22（27﹣x）D．2×22x＝16（27﹣x）
9．（3分）如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15°B．16°C．29°D．58°
10．（3分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（ ）千米到达甲地．
A．70B．80C．90D．100
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算﹣＝ ．
14．（3分）把多项式x3﹣2x2y+xy2分解因式的结果是 ．
15．（3分）不等式组的解集为 ．
16．（3分）如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD的长为 ．
17．（3分）在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球（除所标数字外，其余均相同），从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），两次数字之和为奇数的概率是 ．
18．（3分）若扇形的圆心角为150°，半径为4，则该扇形的面积为 ．
19．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 ．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AB的长为 ．
三、解答题（21题、22题每题各7分，23题、24题每题各8分，25题-27题每题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求值的值，其中x＝2cs60°﹣3tan45°．
22．（7分）在8×8的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中，找一点D，使点D在线段BC上，且∠ADC＝2∠B；
（2）在图2中，将线段BC绕点A逆时针旋转90°后得到线段MN．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N；
（3）填空：tan∠MBC的值为 ．
23．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的a的值为 ；
（2）A组数据的众数为 h，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求AC的长．
25．（10分）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3600元购进A、B两类粽子1000个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的1.5倍．
（1）（列分式方程解应用题）求A、B两类粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过8100元的资金再次购买A、B两类粽子共1900个，已知A、B两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
26．（10分）①请阅读下面材料，并完成相应的任务：
定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”．
例：如图 ①，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠A，则△BCP∼△CAB，故点P为△ABC的“相似点“．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，PC平分∠ACB，求证：点P为△ABC的“相似点”；
（2）如图③，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE，若＝，求的值；
（3）如图④，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，且AC＝4EF，连接DE与AC交于点G，连接DF，GF，若点G是△DEF的“相似点”，且∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，求证：DE＝2EF．
27．（10分）已知：与x轴交于A、B两点，与y的轴交点C（0，3），对称轴为直线．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，连接CD，且∠OCD＝120°，过D作DG⊥OB于点G，连接CG，试判断△CGD的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在抛物线上，点Q在PD延长线上，FG＝GQ，CD∥GQ，在线段CF上取点M，MG交CQ于N，当CM＝DE，CN：NQ＝1：2时，求P点坐标．
2024年黑龙江省哈尔滨四十九中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．2B．3.333C．﹣πD．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：2，3.333，是有理数，
﹣π是无理数，
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8B．x3•x2＝x6
C．（x2y）3＝x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决．
【解答】解：∵x4+x4＝2x4，故选项A错误；
∵x3•x2＝x5，故选项B错误；
∵（x2y）3＝x6y3，故选项C正确；
∵（x﹣y）（y﹣x）＝﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；
故选：C．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）反比例函数y＝的图象上有两个点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则k的取值为（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1
【分析】根据题意可得在图象的每一支上y随x的增大而减小，因此k﹣1＞0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：A．
5．（3分）由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，DC、AE的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△FEC∽△FAD，△AEB∽△FEC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
A、∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
B、∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＝≠，错误，故本选项符合题意；
C、∵BC∥AD，
∴△FEC∽△FAD，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴△AEB∽△FEC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．40°B．30°C．50°D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
8．（3分）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x＝16（27﹣x）B．16x＝22（27﹣x）
C．2×16x＝22（27﹣x）D．2×22x＝16（27﹣x）
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
∴可得2×22x＝16（27﹣x）．
故选：D．
9．（3分）如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15°B．16°C．29°D．58°
【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，
故选：C．
10．（3分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有（ ）千米到达甲地．
A．70B．80C．90D．100
【分析】求出相遇前y与x的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可确定出所求．
【解答】解：设第一段折线解析式为y＝kx+b，
把（1.5，70）与（2，0）代入得：，
解得：，即y＝﹣140x+280，
令x＝0，得到y＝280，即甲乙两对相距280千米，
设两车相遇时，乙行驶了x千米，则甲行驶了（x+40）千米，
根据题意得：x+x+40＝280，
解得：x＝120，即两车相遇时，乙行驶了120千米，则甲行驶了160千米，
∴甲车的速度为80千米/时，乙车速度为60千米/时，
根据题意得：（280﹣160）÷80＝1.5（小时），1.5×60＝90（千米），280﹣120﹣90＝70（千米），
则快车到达乙地时，慢车还有70千米到达甲地，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为 1.058×108 ．
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【解答】解：105800000用科学记数法表示为1.058×108．
故答案为：1.058×108．
12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x+1≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x+1≠0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
13．（3分）计算﹣＝ ．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：原式＝3﹣＝．
故答案为：．
14．（3分）把多项式x3﹣2x2y+xy2分解因式的结果是 x(x﹣y)2 ．
【分析】直接提取公因x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2y+xy2
＝x(x2﹣2xy+y2)
＝x(x﹣y)2．
故答案为：x(x﹣y)2．
15．（3分）不等式组的解集为 ﹣2＜x≤1 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
故答案为：﹣2＜x≤1．
16．（3分）如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD的长为 ．
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，
∴△ACB∽△ABD，
∴，
∴AD＝＝cm，
故答案为：
17．（3分）在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球（除所标数字外，其余均相同），从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），两次数字之和为奇数的概率是 ．
【分析】列表得出共有9种等可能的结果，其中两次数字之和为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次数字之和为奇数的结果有4种，
∴两次数字之和为奇数的概率是，
故答案为：．
18．（3分）若扇形的圆心角为150°，半径为4，则该扇形的面积为 ．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，n＝150°，r＝4，
故可得扇形的面积．
故答案为：．
19．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 2或3 ．
【分析】根据平行四边形中，AB＜BC，要使△AB′C是直角三角形，则∠B′AD＝90°，∠AB′D＝90°，画出图形，分类讨论，即可．
【解答】解：①当∠B′AD＝90°，AB＜BC，延长B′A交BC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠B′AD＝∠B′GC＝90°，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴，∠B＝∠AB′C＝30°，BC＝B′C
∴，，
∴，
在Rt△B′GC中，B′C2＝B′G2+CG2，
设GC＝x，
∴B′C＝2x，
∴，
解得：，
∴B′C＝3，
∴BC＝3；
②当∠AB′D＝90°时，设AD交B′C于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴BC＝B′C，∠2＝∠BCA，
∴AD＝BC＝B′C，
∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠1，
∴∠BCA＝∠1＝∠2，
∴AO＝CO，
∴DO＝B′O，
∴∠3＝∠4，
∵∠AOC＝∠DOB′，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴AC∥B′D，
∴∠B′AC＝∠BAC＝90°，
∵∠B＝30°，，
∴，
设AC＝x，
∴BC＝2x，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴
解得：x＝1，
∴BC＝2．
综上所述，当BC的长为2或3时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：2或3．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AB的长为 20 ．
【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得DN＝12，AD＝BC＝20．
【解答】解：如图，连接AE，AF，EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20．
∴AB＝AD＝20．
方法二、设正方形的边长为x，
∵AN⊥EF，
∴∠F+∠ANF＝90°＝∠F+∠FEC，
∴∠AND＝∠FEC，
又∵∠ADC＝∠DCE＝90°，
∴△ADN∽△FCE，
∴，
∴，
∴x＝20，
∴AB＝20，
故答案为：20．
三、解答题（21题、22题每题各7分，23题、24题每题各8分，25题-27题每题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求值的值，其中x＝2cs60°﹣3tan45°．
【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝，
当x＝2cs60°﹣3tan45°＝2×﹣3×1＝﹣2时，原式＝＝3．
22．（7分）在8×8的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中，找一点D，使点D在线段BC上，且∠ADC＝2∠B；
（2）在图2中，将线段BC绕点A逆时针旋转90°后得到线段MN．点B的对应点为点M，点C的对应点为点N；
（3）填空：tan∠MBC的值为 ．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，则点D即为所求．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据锐角三角函数的定义计算即可．
【解答】解：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，
则△ABD为等腰三角形，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
则点D即为所求．
（2）如图2，线段MN即为所求．
（3）在Rt△BCM中，tan∠MBC＝＝．
故答案为：．
23．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）本次调查的样本容量为 60 ，频数分布表中的a的值为 12 ；
（2）A组数据的众数为 0.4 h，B组所在扇形的圆心角的大小为 72° ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
【分析】（1）用频数分布表中D组的频数除以扇形统计图中D组的百分比可得本次调查的样本容量；用本次调查的样本容量分别减去频数分布表中A，C，D，E组的频数，可得a的值．
（2）根据众数的定义可得答案；用360°乘以本次调查中B组的百分比，即可得B组所在扇形的圆心角的大小．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中学生劳动时间超过1h的人数所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为15÷25%＝60．
频数分布表中的a的值为60﹣5﹣20﹣15﹣8＝12．
故答案为：60；12．
（2）由题意可知，A组数据的众数为0.4h．
B组所在扇形的圆心角的大小为360°×＝72°．
故答案为：0.4；72°．
（3）1200×＝860（名）．
∴该校学生劳动时间超过1h的约有860名．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求AC的长．
【分析】（1）由切线的性质得∠1+∠2＝90°；由同角的余角相等得到∠C＝∠2．由圆周角定理知∠BED＝∠2，故∠BED＝∠C；
（2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，由勾股定理求得．
由△OAC∽△BDA得OA：BD＝AC：DA，从而求得AC的值．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，
∴AB⊥AC．
则∠1+∠2＝90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠1+∠C＝90°，
∴∠C＝∠2，
而∠BED＝∠2，
∴∠BED＝∠C；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD＝AC：DA，
即5：6＝AC：8，
∴AC＝．
25．（10分）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3600元购进A、B两类粽子1000个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同，已知A粽子的单价是B粽子单价的1.5倍．
（1）（列分式方程解应用题）求A、B两类粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过8100元的资金再次购买A、B两类粽子共1900个，已知A、B两类粽子的进价不变，求A粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.5x元/个，根据“某商场在端午节来临之际用3600元购进A、B两类粽子1000个，购买A粽子与购买B粽子的费用相同”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（1900﹣m）个，根据“计划用不超过8100元的资金再次购买A、B两类粽子共1900个”，列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.5x元/个，
根据题意得：
，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的根，
∴1.5x＝4.5（元），
答：A种粽子单价为4.5元/个，B和粽子单价为3元/个；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（1900﹣m）个，
依题意得：4.5m+3（1900﹣m）≤8100，
解得：m≤1600，
答：A种粽子最多能购进1600个．
26．（10分）①请阅读下面材料，并完成相应的任务：
定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”．
例：如图 ①，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠BCA，∠PCB＝∠A，则△BCP∼△CAB，故点P为△ABC的“相似点“．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，PC平分∠ACB，求证：点P为△ABC的“相似点”；
（2）如图③，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE，若＝，求的值；
（3）如图④，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，且AC＝4EF，连接DE与AC交于点G，连接DF，GF，若点G是△DEF的“相似点”，且∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，求证：DE＝2EF．
【分析】（1）根据条件可得△BCP∽△BAP，所以点P为△ABC的自相似点；
（2）先得出△BEC∽△ACB，得出∠EBC＝∠CAB，再根据角平分线的性质得出∠ABF＝∠CBF＝∠A，得出△CBF∽△CAB，得出结论；
（3）先得出四边形AEHC是平行四边形，再根据∠EDF＝∠H，∠DEF＝∠HED，得出△EDF∽△EHD，进而得出ED2＝EF•EH，最后依据EH＝AC＝4EF，得出结论．
【解答】（1）证明：AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP＝36°，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCP∽△BAC，
∴点P为△ABC的“相似点“；
（2）解：∵点E是△ABC的“相似点“，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线上，
∴△BEC∽△ACB，
∴∠EBC＝∠CAB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠A，
∴FA＝FB，
∵∠BCF＝∠ACB，∠CBF＝∠A，
∴△CBF∽△CAB，
∴；
（3）证明：∵点G是△DEF的“相似点“，∠GEF＝∠FED，
∴△GEF∽△FED，
∴∠EFG＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠FGC，
∴∠EFG＝∠FGC，
∴AC∥EF，
分别延长EF，DC，交于点H，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∵AC∥EF，
∴四边形AEHC是平行四边形，
∴AC＝EH，AE＝CH，∠EAC＝∠H，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠H，
又∵∠DEF＝∠HED，
∴△EDF∽△EHD，
∴，
∴ED2＝EF•EH，
∵EH＝AC＝4EF，
∴DE2＝4EF2，
∴DE＝2EF．
27．（10分）已知：与x轴交于A、B两点，与y的轴交点C（0，3），对称轴为直线．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，连接CD，且∠OCD＝120°，过D作DG⊥OB于点G，连接CG，试判断△CGD的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在抛物线上，点Q在PD延长线上，FG＝GQ，CD∥GQ，在线段CF上取点M，MG交CQ于N，当CM＝DE，CN：NQ＝1：2时，求P点坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点D作DK⊥y轴于K，则∠CDG＝∠DCK＝60°，设CK＝m，利用解直角三角形可得：CD＝2m，DK＝m，得出D（m，3+m），把点D的坐标代入抛物线解析式可求得m＝3，进而可证得△CGD是等边三角形；
（3）连接GE，过点Q作QR⊥x轴于R，利用SAS可证得△CGF≌△DGQ，得出∠GCF＝∠GDQ，GF＝GQ，再证得△CGM≌△GDE（SAS），可得GM＝GE，∠CGM＝∠DGE，再证得△MGE是等边三角形，得出ME＝MG，由PQ∥MG，可得＝＝，进而得出＝＝，再由△DFE∽△GFM，可得＝＝，即GF＝2DF，进而求得Q（5，2），运用待定系数法可得直线DQ的解析式为y＝﹣x+12，与抛物线解析式联立即可求得答案．
【解答】解：（1）∵由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）△CGD是等边三角形，理由如下：
如图，过点D作DK⊥y轴于K，
∵∠OCD＝120°，
∴∠DCK＝180°﹣∠OCD＝60°，
∵DG⊥OB，
∴∠DGB＝∠KOB＝90°，
∴DG∥OK，
∴∠CDG＝∠DCK＝60°，
设CK＝m，
∵∠CKD＝90°，∠DCK＝60°，
∴CD＝＝＝2m，DK＝CK•tan∠DCK＝m•tan60°＝m，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∴OK＝OC+CK＝3+m，
∴D（m，3+m），
把D（m，3+m）代入y＝﹣x2+x+3，得：3+m＝﹣（m）2+×m+3，
解得：m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，6），CD＝6，DG＝6，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝60°，
∴△CGD是等边三角形；
（3）如图，连接GE，过点Q作QR⊥x轴于R，
∵△CDG是等边三角形，
∴CG＝DG，
∵CD∥GQ，
∴∠DGQ＝∠CDG＝60°＝∠CGF，
∴∠QGR＝90°﹣60°＝30°，
∵CG＝DG，∠CGF＝∠DGQ，FG＝GQ，
∴△CGF≌△DGQ（SAS），
∴∠GCF＝∠GDQ，GF＝GQ，
∵CG＝DG，∠GCM＝∠GDE，CM＝DE，
∴△CGM≌△GDE（SAS），
∴GM＝GE，∠CGM＝∠DGE，
∴∠DGE+∠MGF＝∠CGM+∠MGF＝∠CGD＝60°，
∴∠MGE＝60°，
∴△MGE是等边三角形，
∴ME＝MG，
∵∠FCG+∠FGC+∠CFG＝180°，∠FDE+∠FED+∠DFE＝180°，∠CFG＝∠DFE，
∴∠FED＝∠FGC＝60°，
∴∠FED＝∠GME＝60°，
∴PQ∥MG，
∴＝＝，
∵CM＝DE，
∴＝＝，
∵∠DFE＝∠GFM，∠DEF＝∠GMF，
∴△DFE∽△GFM，
∴＝＝，即GF＝2DF，
∵GF+DF＝6，
∴DF＝2，GF＝4，
∴GQ＝GF＝4，
在Rt△GQR中，GR＝GQ•cs∠QGR＝4cs30°＝2，QR＝GQ•sin∠QGR＝4sin30°＝2，
由（2）知D（3，6），DG⊥x轴，
∴OG＝3，
∴OR＝OG+GR＝3+2＝5，
∴Q（5，2），
设直线DQ的解析式为y＝kx+n，把Q（5，2），D（3，6）代入，
得，
解得：，
∴直线DQ的解析式为y＝﹣x+12，
与抛物线解析式联立得：﹣x2+x+3＝﹣x+12，
解得：x＝或x＝3（舍去），
把x＝代入y＝﹣x+12，得：y＝﹣×+12＝10，
∴P（，10）．
组别
时间t/h
频数
A
0＜t≤0.5
5
B
0.5＜t≤1
a
C
1＜t≤1.5
20
D
1.5＜t≤2
15
E
t＞2
8
2
3
4
2
4
5
6
3
5
6
7
4
6
7
8
组别
时间t/h
频数
A
0＜t≤0.5
5
B
0.5＜t≤1
a
C
1＜t≤1.5
20
D
1.5＜t≤2
15
E
t＞2
8